专题04 全等三角形中的对角互补模型(解析版).docx

1、专题04 全等三角形中的对角互补模型 【模型展示】特点如图，在四边形ABCD中，1+2180，BABC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：BAEBCD【证明】证明：1+2180，BAD+C180，BAE=BCD在BAE和BCD中AE=CDBAE=BCDAB=BC BAEBCD（SAS）结论BAEBCD【模型证明】解决方案【结论一】（对角互补含90角）如图，在四边形ABCD中，1=90，290，BABC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：BAEBCD；BED为等腰Rt【证明】证明：证明：1+2180，BAD+C180，BAE=BCD在BAE和BCD

2、中 AE=CDBAE=BCDAB=BC BAEBCD（SAS）证明：BAEBCDEBA=DBC,BE=BD DBC+ABD90 EBA+ABDEBD90 EBD为等腰Rt【结论二】（对角互补含60角）如图，在四边形ABCD中，1=60，2120，BABC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立：BAEBCD；BED为等边【证明】证明：证明：1+2180，BAD+C180，BAE=BCD在BAE和BCD中 AE=CDBAE=BCDAB=BC BAEBCD（SAS）证明：BAEBCDEBA=DBC,BE=BD DBC+ABD60 EBA+ABDEBD60EBD为等边【题型演练】一

3、、单选题1RtABC中，AB=AC，点D为BC中点MDN=90，MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点下列结论(BE+CF)=BC，ADEF，ADEF，AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是【】A1个B2个C3个D4个【答案】C【详解】解:RtABC中，AB=AC，点D为BC中点MDN=90，AD =DC，EAD=C=45，EDA=MDNADN =90ADN=FDCEDAFDC（ASA）AE=CFBE+CF= BE+ AE=AB在RtABC中，根据勾股定理，得AB=BC(BE+CF)=BC结论正确设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= ab结论正确如图，过点E作

4、EIAD于点I，过点F作FGAD于点G，过点F作FHBC于点H，ADEF相交于点O四边形GDHF是矩形，AEI和AGF是等腰直角三角形，EOEI（EFAD时取等于）=FH=GD，OFGH（EFAD时取等于）=AGEF=EOOFGDAG=AD结论错误EDAFDC，结论错误又当EF是RtABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分结论正确综上所述，结论正确故选C二、填空题2如图，在RtABC和RtBCD中，BACBDC90，BC8，ABAC，CBD30，BD4，M，N分别在BD，CD上，MAN45，则DMN的周长为_【答案】4+4【分析】将ACN绕点A逆时针旋转，得到ABE，由旋转得出

5、NAE90，ANAE，ABEACD，EABCAN，求出EAMMAN，根据SAS推出AEMANM，根据全等得出MNME，求出MNCN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出DMN的周长BD+DC，代入求出即可【详解】将ACN绕点A逆时针旋转，得到ABE，如图：由旋转得：NAE90，ANAE，ABEACD，EABCAN，BACD90，ABD+ACD3609090180，ABD+ABE180，E，B，M三点共线，MAN45，BAC90，EAMEAB+BAMCAN+BAMBACMAN904545，EAMMAN，在AEM和ANM中，AEMANM（SAS），MNME，MNCN+BM，在RtBCD中，BDC9

6、0，CBD30，BD4，CDBDtanCBD4，DMN的周长为DM+DN+MNDM+DN+BM+CNBD+DC4+4，故答案为4+4【点睛】此题主要考查利用三角形全等的性质和解直角三角形，进行等量转换，关键是做辅助线.3如图，在四边形中，于，则的长为_【答案】【分析】过点B作 交DC的延长线交于点F，证明 推出，可得，由此即可解决问题；【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示， ， ， ，即，故答案为【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型三、解答题4（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与

7、点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE求证：BCPDCE；（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC点G是FC与BP的交点若CD=2PC时，求证：BPCF；若CD=nPC（n是大于1的实数）时，记BPF的面积为S1，DPE的面积为S2求证：S1=（n+1）S2【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；证明见解析【分析】（1）由SAS即可证明BCPDCE（2）在（1）的基础上，再证明BCPCDF，进而得到FCD+BPC=90，从而证明BPCF；设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CDCP=n1，分别求出S1与S2的值，得，所以S1=（n+1）S2结论成立【详解

8、】证明：（1）在BCP与DCE中，BCPDCE（SAS）（2）CP=CE，PCE=90，CPE=45，FPD=CPE=45，PFD=45，FD=DPCD=2PC，DP=CP，FD=CP在BCP与CDF中，BCPCDF（SAS），FCD=CBPCBP+BPC=90，FCD+BPC=90，PGC=90，即BPCF设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CDCP=n1易知FDP为等腰直角三角形，FD=DP=n1S1=（n+1）S2【点睛】本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点，试题的综合性强，难度较大5已知，ABC是边长为4cm的等边三角形

9、，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度均为1cm/s当点P到达点B时，P、Q两点停止运动设点P的运动时间为t（s）（1）如图1，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数（2）如图2，当t为何值时，PBQ是直角三角形？（3）如图3，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，请直接写出CMQ度数【答案】（1）不变，60；（2）或；（3）120【分析】（1）通过证ABQCAP得到BAQ=ACP，所以由三角形外角定理得到CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC

10、=60；（2）需要分类讨论：分PQB=90和BPQ=90两种情况；（3）通过证ABQCAP得到BAQ=ACP，所以由三角形外角定理得到CMQ=BAQ+APC=ACP+APC=180-BAC=120【详解】（1）不变在ABQ与CAP中，ABQCAP（SAS）， BAQ=ACP，CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60；（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t，当PQB=90时，B=60，PB=2BQ， 4-t=2t，；当BPQ=90时，B=60，BQ=2BP， t=2（4-t），t=； 当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形；（3）在ABQ与CAP中，ABQCAP（SAS）， B

11、AQ=ACP，CMQ=BAQ+APC=ACP+APC=180-BAC=120【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键6如图1，在等腰直角三角形ABC中，ABAC，BAC90，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AGAH且AGAH，连接GC，HB（1）证明：AHBAGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q证明：在点H的运动过程中，总有HFG90；当AQG为等腰三角形时，求AHE的度数【答案】（1）见解析；（2）见解析；当AQG为等腰三角形时，AHE的度数为67.5或90【分析】（1

12、）根据SAS可证明AHBAGC；（2）证明AEHAFG（SAS），可得AFG=AEH=45，从而根据两角的和可得结论；分两种情况：i）如图3，AQ=QG时，ii）如图4，当AG=QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论【详解】（1）证明：如图1，由旋转得：AH=AG，HAG=90，BAC=90，BAH=CAG，AB=AC，ABHACG（SAS）；（2）证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，ABC=ACB=45，点E，F分别为AB，AC的中点，EF是ABC的中位线，EFBC，AE=AB，AF=AC，AE=AF，AEF=ABC=45，AFE=ACB=45，EAH=FAG，AH=AG

13、，AEHAFG（SAS），AFG=AEH=45，HFG=45+45=90；分两种情况：i）如图3，AQ=QG时，AQ=QG，QAG=AGQ，AGAH且AG=AH，AHG=AGH=45，AHG=AGH=HAQ=QAG=45，EAH=FAH=45，AE=AF，AH=AH，AEHAFH（SAS），AHE=AHF，AHE+AHF=180，AHE=AHF=90；ii）如图4，当AG=QG时，GAQ=AQG，AEH=AGQ=45，GAQ=AQG=67.5，EAQ=HAG=90，EAH=GAQ=67.5，AHE=AQG=67.5；H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），不存在AG=AQ的情况综上，当AQG

14、为等腰三角形时，AHE的度数为67.5或90【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解7回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，B=ADC=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E、F

15、分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，ABC+ADC=180，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出EAF与DAB的数量关系【答案】（1）BAE+FAD=EAF；（2）仍成立，理由见解析；（3）EAF=180-DAB【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定ABEADG，进而得出BAE=DAG，AE=AG，再判定AEFAGF，可得出EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF，据此得出结论；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连

16、接AG，先判定ABEADG，进而得出BAE=DAG，AE=AG，再判定AEFAGF，可得出EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定ADGABE，再判定AEFAGF，得出FAE=FAG，最后根据FAE+FAG+GAE=360，推导得到2FAE+DAB=360，即可得出结论【详解】解：（1）BAE+FAD=EAF理由：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，B=ADF=90，ADG=ADF=90，B=ADG=90，又AB=AD，ABEADG（SAS），BAE=DAG，AE=AG，EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=

17、AF，AEFAGF（SSS），EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF；故答案为：BAE+FAD=EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，B+ADF=180，ADG+ADF=180，B=ADG，又AB=AD，ABEADG（SAS），BAE=DAG，AE=AG，EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，AEFAGF（SSS），EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF；（3）EAF=180-DAB证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，ABC+ADC=180，ABC+ABE=180，ADC=ABE，又AB=AD，ADGA

18、BE（SAS），AG=AE，DAG=BAE，EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，AEFAGF（SSS），FAE=FAG，FAE+FAG+GAE=360，2FAE+（GAB+BAE）=360，2FAE+（GAB+DAG）=360，即2FAE+DAB=360，EAF=180-DAB【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形解题时注意：同角的补角相等8在内有一点，过点分别作，垂足分别为，且，点，分别在边和上（1）如图1，若，请说明；（2）如图2，若，猜想，具有的数量

19、关系，并说明你的结论成立的理由【答案】（1）见解析；（2），见解析【分析】（1）根据题目中的条件和，可以证明，从而可以得到；（2）作辅助线，过点作，交于点，从而可以得到，然后即可得到，再根据题目中的条件可以得到，即可得到，然后即可得到，具有的数量关系【详解】解：（1），在和中，；（2），理由：过点作，交于点，在和中，在和中，【点睛】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答9如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，EAF=BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系（1）思路梳理将ABE

20、绕点A逆时针旋转至ADG，使AB与AD重合，由B+ADC=180，得FDG=180，即点F，D，G三点共线，易证AFGAFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为_；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，EAF=BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D，E均在边BC上，且DAE=45，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为_.【答案】（1）EFBEDF；（2）EFDFBE；证明见解析；（3）.【分析】（1）将ABE绕点A逆时针旋转至ADG

21、，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出EAFGAF，然后证明AFGAFE，根据全等三角形的性质解答；（2）将ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到ADE，首先证明E，D，F三点共线，求出EAFEAF，然后证明AFEAFE，根据全等三角形的性质解答；（3）将ABD绕点A逆时针旋转至ACD，使AB与AC重合，连接ED，同（1）可证AEDAED，求出ECD90，再根据勾股定理计算即可【详解】解：（1）将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，使AB与AD重合，BADC180，FDG180，即点F，D，G三点共线，BAEDAG，EAFBAD，EAFGAF，在AFG和AFE中，AFGAFE

22、，EFFGDGDFBEDF；（2）EFDFBE；证明：将ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到ADE，则ABEADE，DAEBAE，AEAE，DEBE，ADEABE，ABCADC180，ABCABE180，ADEADC，即E，D，F三点共线，EAFBAD，EAFBAD（BAFDAE）BAD（BAFBAE）BADEAFBAD，EAFEAF，在AEF和AEF中，AFEAFE（SAS），FEFE，又FEDFDE，EFDFBE；（3）将ABD绕点A逆时针旋转至ACD，使AB与AC重合，连接ED，同（1）可证AEDAED，DEDEACBBACD45，ECD90，在RtECD中，ED，即DE，故答

23、案为：【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键10五边形ABCDE中，求证：AD平分CDE【答案】见解析【分析】延长DE至F，使得，连接AC，易证ABCAEF，得到，然后证明ADCADF即可解决问题【详解】延长DE至F，使得，连接AC.，ABCAEF，ADCADF，即AD平分CDE【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题关键.11探究问题：(1)方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足BAF45，连接EF，求

24、证DEBFEF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：ABAD，BGDE，12，ABGD90，ABGABF9090180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF4523BADEAF90454512，1345即GAF_又AGAE，AFAEGAF_EF，故DEBFEF(2)方法迁移：如图，将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAFDAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想【答案】(1)EAF、EAF、GF；(2)DEBFEF.【分析】（1）利用角之间的等量代换得出GAF=FAE，再利用

25、SAS得出GAFEAF，得出答案；（2）将ADE顺时针旋转90得到ABG，再证明AGFAEF，即可得出答案；【详解】解：（1）如图所示；根据等量代换得出GAF=FAE，利用SAS得出GAFEAF，GF=EF，故答案为FAE；EAF；GF； (2)DEBFEF，理由如下：假设BAD的度数为m，将ADE绕点A顺时针旋转，m得到ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：ABAD，BGDE，12，ABGD90，ABGABF9090180，因此，点G，B，F在同一条直线上，12， 13即GAFEAF在AGF和AEF中，GAFEAF（SAS）GFEF又 GFBGBFDEBF，DEBFEF【点睛】此题主

26、要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得GAFEAF是解题的关键12在中，于点,（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：;【答案】(1) ；(2)见解析；(3)见解析.【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 ADBDDC ，求出 MBD30，根据勾股定理计算即可； （2）证明BDEADF，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 M作 MEBC交 AB的延长线于 E，证明BMEAMN，根据全等三角形的性质得到 BEAN，根据等腰直角三角形的性质

27、、勾股定理证明结论【详解】（1）解：，由勾股定理得，即，解得，；（2）证明：，在和中，；（3）证明：过点作交的延长线于，则，在和中，【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键13如图，ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，EDF=120，把EDF绕点D旋转，使EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F（1）当DFAC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.【分析】（1）根据四边形内角和为3

28、60，可求DEA=90，根据“AAS”可判定BDECDF，即可证BE=CF；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，易证MBDNCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到EMDFND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=2.【详解】（1）ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，B=C=60，BD=CD，DFAC，DFA=90，A+EDF+AFD+AED=180，AED=90，DEB=DFC，且B=C=60，BD=DC，BDECDF（AAS）（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，

29、则有AMD=BMD=AND=CND=90A=60，MDN=360-60-90-90=120EDF=120，MDE=NDF在MBD和NCD中，MBDNCD（AAS）BM=CN，DM=DN在EMD和FND中，EMDFND（ASA）EM=FN，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=2.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键14在中，BAC90，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧

30、作等腰直角三角形ADE（，），连接CE（1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由；（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由【答案】（1）BCCE，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立【分析】（1）先证2=3，再证ABDACE（SAS），得出4=5，求出4=6=45，5=45即可；（2）先证2=3，再证ABDACE（SAS），得出ABD=ACE，求出ABC=ACB=45，得出ABD=ACE=135即可；（3）先证BAD=CAE，再证

31、ABDACE（SAS），得出ABD=ACE，再求ABC=ACB=45，得出ABD=ACE=45【详解】解：（1）BC与CE的位置关系是BCCE，理由是： BAC=DAE=90，BAC-1=DAE-1，即2=3，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），4=5，BAC=90，AB=AC，4=6=45，5=45，BCE=5+6=45+45=90，即BCCE；（2）成立.理由是：BAC=DAE=90，BAC-1=DAE-1，即2=3，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），ABD=ACE，BAC=90，AB=AC，ABC=ACB=45，ABD=ACE=135，BCE=ACE-ACB=135-4

32、5=90，即BCCE；（3）成立BAC=DAE=90，BAC+CAD=DAE+CAD，即BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），ABD=ACE，BAC=90，AB=AC，ABC=ACB=45，ABD=ACE=45，BCE=ACE+ACB=45+45=90【点睛】本题考查图形变换中结论问题，等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系垂直的证法是解题关键15如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”（1）性质探究：如图1已知四边形ABCD中，ACBD垂足为O，求证：AB

33、2+CD2AD2+BC2；（2）解决问题：已知AB5BC4，分别以ABC的边BC和AB向外作等腰RtBCE和等腰RtABD；如图2，当ACB90，连接DE，求DE的长；如图3当ACB90，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH若GH2，则SABC【答案】（1）见解析；（2）；【分析】（1）根据ACBD可以得到AOB =COD=90即可得到AB=AO+OB，CD =DO+OC即AB+CD=AO+OB+DO+OC同理可以得到AD+BC=AO+OB+DO+OC即可得到答案;（2）连DC、AE相交于点F，先证明ABEDBC得到CDB=BAE从而证得AECD再利用勾股定理和（1）中的结论求解即可得到答案

34、；（3）连DC、AE相交于点F，作CPBD交DB延长线于点P，BP+CP=BC=（4）=32，DP+PC=DC=（）=96，(DP+PC)-(BP+CP)=96-32=64，DP-BP=64从而求出BP=，再证明ABPC则SABCABBP.【详解】解：（1）证明：ACBDAOB=90在RtAOB中AB=AO+OBCOD=90在RtCOD中CD =DO+OCAB+CD=AO+OB+DO+OC同理AD+BC=AO+OB+DO+OCAB2CD2AD2BC(2) 解：连DC、AE相交于点FRtBCE和RtABD是等腰三角形BE=BCAB=BDCBE=ABD=90ABE=DBC=90+ABCABEDBC

35、CDB=BAEABD=90CDB+CDA+DAB=90BAE+CDA+DAB=90AFD=90AECDAB=5，BC=4ACB=90AC=AB=5，BD=5ABD=90AD=BC=4，BE=4CBE=90CE=由（1）中结论AD+EC=AC+DE(10)+（8）=（3）+DEDE=连DC、AE相交于点F点G、H分别是AD、AC中点，GHDC=2GH=作CPBD交DB延长线于点PBP+CP=BC=（4）=32DP+PC=DC=（）=96(DP+PC)-(BP+CP)=96-32=64DP-BP=64（BD+BP)-BP=64（5+BP)-BP=64BP=PBA=90，P=90，PBA+P=90+

36、90=180ABPC则SABCABBP=5【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.16（1）如图，在四边形中，分别是边，上的点，且请直接写出线段，之间的数量关系：_；（2）如图，在四边形中，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，分别是边，所在直线上的点，且请画出图形（除图外），并直接写出线段，之间的数量关系【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析，【分析】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG证明AGE和AEF全等，则

37、EF=GE，则EF=BE+DF，证明ABE和AEF中全等，那么AG=AF，1=2，1+3=2+3=EAF=BAD从而得出EF=GE；（2）思路和作辅助线的方法同（1）；（3）根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF【详解】（1）延长至，使，连接，在和中，故答案为：（）（）中的结论仍成立，证明：延长至，使，在和中，,，即，在和中，即（），证明：在上截取使，连接，在和中，在和中，【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.17四

38、边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，请直接写出的长为 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）把DBM绕点D逆时针旋转120得到DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，ADQ=BDM，然后求出QDN=MDN，利用“边角边”证明MND和QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证；（2）把DAN绕

39、点D顺时针旋转120得到DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据DAN=DBP=90可知点P在BM上，然后求出MDP=60，然后利用“边角边”证明MND和MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证；（3）过点M作MHAC交AB于G，交DN于H，可以证明BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得QND=MND，再根据两直线平行，内错角相等可得QND=MHN，然后求出MND=MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明ANE和GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据B

40、G=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长【详解】解：（1）证明：把DBM绕点D逆时针旋转120得到DAQ，则DM=DQ，AQ=BM，ADQ=BDM，QAD=CBD=90，点Q在直线CA上，QDN=ADQ+ADN=BDM+ADN=ABD-MDN=120-60=60，QDN=MDN=60，在MND和QND中，MNDQND（SAS），MN=QN，QN=AQ+AN=BM+AN，BM+AN=MN；（2）：.理由如下：如图，把DAN绕点D顺时针旋转120得到DBP，则DN=DP，AN=BP，DAN=DBP=90，点P在BM上，MDP=ADB-ADM-BDP=120-ADM-ADN

41、=120-MDN=120-60=60，MDP=MDN=60，在MND和MPD中，MNDMPD（SAS），MN=MP，BM=MP+BP，MN+AN=BM；（3）如图，过点M作MHAC交AB于G，交DN于H，ABC是等边三角形，BMG是等边三角形，BM=MG=BG，根据（1）MNDQND可得QND=MND，根据MHAC可得QND=MHN，MND=MHN，MN=MH，GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，在ANE和GHE中，ANEGHE（AAS），AE=EG=2.1，AC=7，AB=AC=7，BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，BM=BG=2.8故答案为：2.8【点睛】本

42、题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点18如图1，四边形ABCD中，BDAD，E为BD上一点，AEBC，CEBD，CEED（1）已知AB10，AD6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AFDE，连接BF，交BF交AE于G，过G作GHAB于H，BGH75求证：BF2GH+EG【答案】（1）2；（2）证明见解析【分析】（1）由勾股定理得出BD8，由HL证得RtADERtBEC，得出BEAD，则CEEDBDBEBDAD2，由等腰直角三角形的性质即可得出结果

43、；（2）连接CF，易证AFCE，ADCE，得出四边形AECF是平行四边形，则AECF，AECF，得出CFDEAD，CFBAGF，由RtADERtBEC，得出CBEEAD，推出CBECFD，证得BCF是等腰直角三角形，则BFBCCFAE，FBCBFC45，推出AGF45，AGH60，GAH30，则AG2GH，得出BFAE（AG+EG），即可得出结论【详解】（1）解：BDAD，BD8，CEBD，CEBEDA90，在RtADE和RtBEC中，RtADERtBEC（HL），BEAD，CEEDBDBEBDAD862，CDCE2；（2）解：连接CF，如图2所示：AFDE，DECE，AFCE，BDAD，CE

44、BD，ADCE，四边形AECF是平行四边形，AECF，AECF，CFDEAD，CFBAGF，由（1）得：RtADERtBEC，CBEEAD，CBECFD，FBD+BFC+CFD90，FBD+BFC+CBE90，BCF90，AEBC，BCCF，BCF是等腰直角三角形，BFBCCFAE，FBCBFC45，AGF45，BGH75，AGH180457560，GHAB，GAH30，AG2GH，BFAE（AG+EG），BF2GH+EG【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、含30角直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的性

45、质、作辅助线构建平行四边形是解题的关键19问题背景如图（1），在四边形ABCD中，B+D180，ABAD，BAD，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且EAF，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当BADBD90时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为_（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由（3）解决问题如图（3），在ABC中，BAC90，ABAC4，点D，E均在边BC上，且

46、DAE45，若BD，请直接写出DE的长【答案】（1）BE+DFEF；（2）成立；（3）DE【分析】（1）将ABE绕点A逆时针旋转90，得到ADG，由旋转的性质可得AEAG，BEDG，BAEDAG，根据EAF=BAD可得BAE+DAF45，即可得出EAFFAG，利用SAS可证明AFEAFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将ABE绕点A逆时针旋转得到ADH，由旋转的性质可得ABEADH，BAEDAH，AEAH，BEDH，根据BAD，EAF可得BAE+FAD，进而可证明FAHEAF，利用SAS可证明AEFAHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将AEC绕点A顺时针旋转90，得到A

47、EB，连接DE，由旋转的性质可得BEEC，AEAE，CABE，EACEAB，根据等腰直角三角形的性质可得ABCACB45，BC4，即可求出EBD90，利用SAS可证明AEFAHF，可得DEDE，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.【详解】解：（1）BE+DFEF，如图1，将ABE绕点A逆时针旋转90，得到ADG，ADCBADG90，FDG180，即点F，D，G共线由旋转可得AEAG，BEDG，BAEDAGBAE+DAFBADEAF90BAD=90-4545，DAG+DAF45，即FAG=45，EAFFAG，AFEAFG（SAS），EFFG又FGDG+DFBE+DF，BE+DFEF，故答案为BE

48、+DFEF（2）成立如图2，将ABE绕点A逆时针旋转得到ADH，可得ABEADH，BAEDAH，AEAH，BEDHB+ADC180，ADH+ADC180，点C，D，H在同一直线上BAD，EAF，BAE+FAD，DAH+FAD，FAHEAF，又AFAF，AEFAHF（SAS），EFFHDF+DHDF+BE；（3）DE，如图3，将AEC绕点A顺时针旋转90，得到AEB，连接DE可得BEEC，AEAE，CABE，EACEAB，在RtABC中，ABAC4，BAC=90，ABCACB45，BC4，CD=BC=BD=3，ABC+ABE90，即EBD90，EB2+BD2ED2易证AEDAED，DEDE，DE2BD2+EC2，即DE2，解得【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.