专题04 函数的性质（教师版）.docx

1、专题04 函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数是上的奇函数，当时，则当时，（ ）ABCD【答案】C【解析】时，.当时，由于函数是奇函数，因此，当时，故选C.例

2、2、（2020山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在上的奇函数，满足时，则的值为（ ）A-15B-7C3D15【答案】A【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称则,解得因为奇函数当时,则故选:A例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数是奇函数，则使的的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意，函数是奇函数，则，即，可得，则，有，解可得，即函数的定义域为，设，则，则在上为增函数，而在上为增函数，则在上为增函数，若，即，解可得，则，即，解得，又由，则有，即的取值范围为；故选：A.例4、【2018年高考全国卷理数】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A B C D

3、【答案】D【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数.简称：同增异

4、减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数在上为单调増函数，则实数的取值范围为_【答案】【解析】函数在上为单调増函数，需，解得.故答案为：.例6、函数的单调递增区间是 【答案】 【解析】思路：先分析的定义域：，再观察解析式可得可视为函数的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，可分别分析两个函数的单调性，对于而言，对是减函数。所以如要求得增区间，则中对也应为减函数。结合定义域可得的单调增区间为 例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是_【答案】【解析】根据已知条件：当时，有恒成立，得函数是

5、定义在上的减函数，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故等价于，所以，即.故答案为：.题型三、 函数的周期性1、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期2、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期（3）的周期（4）（为常数）的周期（5）（为常数）的周期例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x(0，4时，f(x)则f的值为_【答案】 0【解析】因为函数f(x)的周期为4，所以fflog221，故ff(1)cos0.例9、(2017南京三模）已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数当x2，4时，f(x)|log

6、4(x)|，则f()的值为 【答案】 【解析】由题意可得：题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称 （3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同例10、（2020

7、届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称.若当时，则（ ）A0B1C2D4【答案】C【解析】是定义在上的奇函数，的图像关于直线对称，是周期为的周期函数，.故选:C.例11、（2018年徐州模拟）已知，方程在内有且只有一个，则在区间 内根的个数为 【答案】2018【解析】，可得关于轴对称，因为在内有且只有一个零点，所以由对称性可得在只有两个零点。所以一个周期中含有两个零点，区间共包含1009个周期，所以有2018个零点例12、（2019年宿迁中学模拟）已知定义在上的函数满足：，当时，则_【答案】- 【解析】：由可得：关于中心对称，由可得：关于轴对称，所以可求

8、出的周期，则题型五、单调性与奇偶性的结合例13、【2020年高考全国卷理数】设函数，则f(x)A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合

9、函数“同增异减”性得到结论.例14、【2019年高考全国卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A（log3）（）（） B（log3）（）（）C（）（）（log3） D（）（）（log3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，又在(0，+)上单调递减，即.故选C例15、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）A函数是周期函数B函数的图象关于点对称C函数为上的偶函数D函数为上的单调函数【答案】ABC【解析】因为，所以，即，故A正确；因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令

10、代有，即函数为上的偶函数，C正确；因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，所以函数不单调，D不正确.故选：ABC.二、达标训练1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）ABCD【答案】AD【解析】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.对于C选项，为奇函数，不符合题意.对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.故选：AD.2、【2020年新高考全国卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是A B

11、C D【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或.解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D3、【2019年高考全国卷理数】设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意，都有，则m的取值范围是AB C D【答案】B【解析】，时，；时，；时，如图：当时，由解得，若对任意，都有，则.则m的取值范围是.故选B.4、【2020年高考江苏】已知y=f(x)是奇函数，当x0时，则的值是 【答案】【解析】，因为为奇函数，所以故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.5、【2019年高考全国卷理数】已知

12、是奇函数，且当时，.若，则_【答案】【解析】由题意知是奇函数，且当时，又因为，所以，两边取以为底数的对数，得，所以，即【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算6、【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不

13、等式的解集为_【答案】【解析】是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则不等式等价为不等式，即，即不等式的解集为，故答案为：.8、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，则_.【答案】-2【解析】因为图像关于对称，则，故是以8为周期的周期函数，故答案为：.9、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）函数为定义在上的奇函数，则_，_.【答案】 【解析】根据题意，为定义在上的奇函数，则有，解可得：，则，则；故答案为：；.10、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知表示不超过的最大整数，如，.令，则下列说法正确的是_.是偶函数 是周期函数方程有4

14、个根 的值域为【答案】【解析】， 显然，所以不是偶函数，所以错误；，所以是周期为1的周期函数，所以正确；作出函数的图象和的图象：根据已推导是周期为1的周期函数，只需作出在的图象即可，当时，根据周期性即可得到其余区间函数图象，如图所示：可得值域为，函数的图象和的图象一共4个交点，即方程有4个根，所以正确，错误；故答案为：11、.（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）设函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】因为,所以,所以函数为奇函数,因为(当且仅当时,等号成立)所以函数为上的递增函数,所以不等式可化为,所以根据函数为奇函数可化为,所以根据函数为增函数可化为,可化为,可化为,解得:,所以不等式的解集为:.故答案为12、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）已知是定义在上的偶函数.当时，则不等式的解集为_.【答案】【解析】是定义在上的偶函数，不等式等价为，当时，则函数为增函数，由，得，即（4），则不等式等价为，则，即，即，即不等式的解集为，故答案为：