专题04 角平分线的性质（知识串讲 7大考点）(解析版）.docx

1、专题04 角平分线的性质 考点类型 知识串讲（一）角平分线的性质（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言：MOP=NOP，PAOM PBON PA=PB（二）角平分线的判定（1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上数学语言：PAOM PBON PA=PBMOP=NOP 考点训练考点1：尺规作图角平分线典例1：（2023陕西宝鸡统考二模）如图，在ABC中，B=40，BAC=120请用尺规作图法在BC上求作一点D，使得ADC=100（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解

2、析【分析】BAD=ADC-B=100-40=60，求得BAD=12BAC，故点D在BAC的角平分线上，按尺规作图即可【详解】解：BAD=ADC-B=100-40=60BAD=12BAC点D是BAC的角平分线与BC的交点，如图所示，作BAC的角平分线，与BC的交于点D，点D即为所求【点睛】本题考查尺规作图作角平分线，熟练掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键，难点是分析所给条件证明点D在BAC的角平分线【变式1】（2022秋江苏八年级统考期末）如图，在ABC中，AB=AC，D为BA延长线上一点，E为AC的中点(1)利用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不要求写

3、作法）；作DAC的平分线AP；连接BE并延长交AP于点F(2)猜想AF与BC位置和数量的关系，并说明理由【答案】(1)见解析；见解析(2)AFBC且AF=BC；理由见解析【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法按要求作图即可；（2）求出FAE=C，利用ASA证明AEFCEB，根据全等三角形的性质可得结论【详解】（1）如图（2）证明：AB=AC，ABC=C，DAC=ABC+C=2C，即C=12DAC，AF平分DAC，FAE=12DAC，FAE=C，又AE=CE，AEF=CEB，AEFCEBASA，AF=BC【点睛】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线定义，全等三角

4、形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键【变式2】（2023广东汕尾校考二模）如图，点D在ABC的AB边上，且ACD=A(1)作BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；(2)在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并证明你的结论【答案】(1)见解析(2)DEAC【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作BDC的平分线DE即可；（2）先根据角平分线的定义得出BDE=CDE，再利用三角形外角的性质得出BDC=A+ACD，结合ACD=A可得出BDE=A，最后利用平行线的判定即可得出【详解】（1）解：如图，DE为所作；（2）

5、解：DEAC理由如下：DE平分BDC，BDE=CDE，又BDC=A+ACD，BDE+CDE=A+ACD，ACD=A，BDE=A，DEAC【点睛】本题考查了基本作图作已知角的平分线，平行线的判定，三角形外角的性质，掌握平行线的判定是解题的关键.【变式3】（2022秋福建南平八年级福建省南平第一中学校考期中）如图，在ABC中，BAC=70,ACB=60,ACB的平分线交AB于点D(1)尺规作图：作ABC的平分线BO交CD于点O（保留作图痕迹，不写作法）(2)求BOD的度数【答案】(1)见解析(2)55【分析】（1）根据角平分线的作法即可作ABC的平分线BO交CD于点O；（2）根据内角和定理求出AB

6、C，再根据角平分线定义求出OCB，OBC，再利用外角的性质求解【详解】（1）解：如图，BO即为所求；（2）BAC=70，ACB=60，ABC=180-70-60=50，CD平分ACB，BO平分ABC，OCB=12ACB=30，OBC=12ABC=25，BOD=OCB+OBC=30+25=55【点睛】本题考查了作图-基本作图，三角形内角和定理和外角的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法考点2：角平分线的性质应用证明线段典例2：（2022秋北京朝阳八年级校考期中）如图，在ABC中，C=90，DEAB，于点E，AD平分CAB，点F在AC上，BD=DF求证：BE=FC【答案】证明见详解【分析】根据

7、角平分线的性质可知DE=DC，再证明DEBDCF，即可证明BE=FC【详解】证明：AD平分CAB，C=90，DEAB，DE=DC，C=DEB=90，在RtDEB和RtDCF中，DE=DCBD=DF，DEBDCFHL，BE=FC【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得出DE=DC是解答本题的关键【变式1】（2023秋河南安阳八年级校考期中）如图，ABC的两条高BE、CD相交于点O，BDCE(1)求证：BECD；(2)判断点O是否在BAC的平分线上，并说明理由【答案】(1)见解析(2)点O在BAC的平分线上，理由见解析【分析】（1）由三角形的高得BEC=CDB

8、=90，由对顶角得BOD=COE，结合BD=CE，可证得BODCOE，从而得到OD=OE，OB=OC，则有OD+OC=OE+OB，即CD=BE；（2）连接AO，由三角形的高可得ADC=AEB=90，结合（1）中的BE=CD，公共角BAE=CAD，可证得ADCAEB，从而得AD=AE，易证得ADOAEO，有DAO=EAO，从而得证（1）证明：BE、CD是ABC的高，且相交于点O，BEC=CDB=90，在BDO和CEO中，CDB=BEC=90BOD=COEBD=CE，BODCOE(AAS)，OD=OE，OB=OC，OD+OC=OE+OB，即CD=BE；（2）解：点O在BAC的平分线上，理由如下：连

9、接AO，如图所示：BE、CD是ABC的高，且相交于点O，ADC=AEB=90，由（1）得BE=CD，在ABE和ACD中，ADC=AEB=90CAD=BAECD=BE，ACDABE(AAS)，AD=AE，由（1）得OD=OE，在AOD和AOE中，AD=AEADC=AEB=90OD=OE，AODAOE(SAS)，DAO=EAO，点O在BAC的平分线上【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是结合图形分析清楚题中的条件与图中的条件，特别是图中的公共角与公共边【变式2】（2022秋江苏八年级专题练习）如图，ABC中，ABAC，BAC90，CD平分ACB，BECD，垂足E在CD的延长线上求

10、证：BE12CD【答案】见解析【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出CFECBE，从而得到BEEF12BF，然后证明BFACDA，得到BFCD，即可得出结论【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F，BECD，BECFEC90CD平分ACB，FCEBCE在CFE与CBE中，BECFEC，FCEBCE，CECE，CFECBE，BEEF12BF在CFE与CAD中，FFCEADCACD 90，FADC在BFA与CDA中，FADC，BACFAB，ABAC，BFACDA，BFCD BE12CD【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并

11、且准确判定全等三角形是解题关键【变式3】（2022秋全国八年级专题练习）如图，ABC中，A60，ACB的平分线CD和ABC的平分线BE交于点G（1）求BGC的度数（2）求证：GDGE【答案】（1）120；（2）见解析【分析】（1）利用角平分线的定义，结合三角形内角和定理可得出GBCGCB，进一步求得BGC；（2）连接AG，过点G作GMAB于M，GNAC于N，GFBC于F由角平分线的性质及逆定理可得GNGMGF，AG是CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得NGM18060120；在BCG中，根据三角形内角和定理，可得CGB120，即EGD120，EGNDGM，证明RtEGNRtDGM（AAS）

12、即可得证GEGM【详解】解：（1）A60，ABCACB18060120，ACB的平分线CD和ABC的平分线BE交于点G，GBCGCB12ABC12ACB12（ABCACB）60，BGC180（GBCGCB）120；（2）连接AG，过点G作GMAB于M，GNAC于N，GFBC于FA60，ACBABC120，CD，BE是角平分线，BCGCBG120260，CGBEGD120，G是ACB平分线上一点，GNGF，同理，GFGM，GNGM，AG是CAB的平分线，GAMGAN30，NGMNGAAGM6060120，EGDNGM120，EGNDGM，又GNGM，在RtEGNRtDGM，RtEGNRtDGM（

13、AAS），GEGD【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及角平分线的性质，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键考点3：角平分线性质应用和差关系典例3：（2022秋河南安阳八年级校考阶段练习）如图，点E是BC的中点，ABBC，DCBC，AE平分BAD求证：(1)DE平分ADC；(2)ADAB+CD【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由角平分线的性质得到EBEF，等量代换得到EFEC，利用HL证明RtEFDRtECD，再根据全等三角形的性质即可得解；（2）由（1）得出FDCD，利用HL证明RtAEFRtAEB，得到AFAB，再根据线段的和差即可得解【详解】（1）证明：如下图，过E作E

14、FAD于F，ABBC，AE平分BAD，EBEF，点E是BC的中点，EBEC，EFEC，DCBC，EFAD，EFDECD90，在RtEFD和RtECD中，EF=ECED=ED，RtEFDRtECD（HL），FDECDE，DE平分ADC；（2）解：由（1）知，RtEFDRtECD，FDCD，在RtAEF和RtAEB中，EF=EBAE=AE，RtAEFRtAEB（HL），AFAB，ADAF+FD，ADAB+CD【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解决问题的关键【变式1】（2023春广东广州七年级广州市天河区汇景实验学校校考

15、期中）已知，如图，ABC=ADC，BF，DE分别平分ABC与ADC，且1=3，求证：1+4=180请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由证明： BF，DE分别平分ABC与ADC（已知） 1=12ABC，2=12ADC（_） ABC=ADC（_） 1=2（等量代换） 1=3（已知） 2=_（_） AB/CD（_） 1+4=180（_）【答案】见解析【分析】首先根据角平分线定义可得1=12ABC，2=12ADC，根据等式的性质可得1=2，再由条件1=3可得2=3，根据内错角相等，两直线平行可得ABCD，根据两直线平行，同旁内角互补得到1+4=180【详解】解：证明：BF，DE分别平分AB

16、C与ADC（已知）， 1=12ABC，2=12ADC（角平分线的定义），ABC=ADC（已知），1=2（等量代换），1=3（已知），2=3（等量代换），ABCD（内错角相等，两直线平行），1+4=180（两直线平行，同旁内角互补）故答案为：角平分线的定义；已知；等量代换；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质以及角平分线的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键【变式2】（2023秋四川南充八年级四川省南充市白塔中学校考期中）如图，BC90，M是BC上一点，且DM平分ADC，AM平分DAB，求证：ADCDAB【答案】证明见解析【分析】过

17、M作MEAD于E，根据垂直定义和角平分线性质得出CDEM90，BAEM90，CDMEDM，CMEM，EAMBAM，BMME，根据全等三角形性质，推导得MCDMED，根据全等得出CDDE，同理得AEAB，即可得出答案【详解】如图，过M作MEAD于E，BC90，DM平分ADC，AM平分DAB，CDEM90，BAEM90，CDMEDM，CMEM，EAMBAM，BMEM，CDM=EDMC=DEMCM=EM， MCDMED（AAS），CDDE，BAM=EAMB=AEMBM=EMABMAEM（AAS），AEAB，ADAEDECDAB【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线

18、、全等三角形的性质，从而完成求解【变式3】（2022秋全国八年级专题练习）已知：如图，PC平分APB，CMPA于M，CNPB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CDCE求证：APB+DCE180【答案】见详解【分析】根据PC平分APB，CMPA于M，CNPB于N，得出CM=CN，PMC=90，PNC=90，得出MPN+MCN=180，再证RtMCDRtNCE（HL），得出MCD=NCE即可【详解】解：PC平分APB，CMPA于M，CNPB于N，CM=CN，PMC=90，PNC=90，MPN+MCN=360-PMC-PNC=360-90-90=180，在RtMCD和RtNCE中，CD=CEC

19、M=CN，RtMCDRtNCE（HL），MCD=NCE，APB+DCE=APB+DCN+NCE=APB+DCN+MCD=APB+MCN=180【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键考点4：角平分线性质应用面积问题典例4：（2023春陕西西安八年级西安行知中学校联考期中）如图，P为ABC外角CBM,BCN的平分线的交点，PDBC,PEAB,PFAC，垂足分别为D，E，F(1)求证：PE=PF(2)若四边形ABPC的面积为20，且PD=4，求AB+AC的长【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）根据角平分

20、线的性质得出PD=PE,PD=PF，即可证明结论；（2）连接AP，根据四边形ABPC的面积为20，得出SABP+SACP=20，即12ABPE+12ACPF=20，根据PE=PF=PD=4，得出AB+AC=10【详解】（1）证明：P为CBM,BCN的平分线的交点，PDBC,PEAB,PFAC，PD=PE,PD=PF，PE=PF（2）解：如图，连接AP，四边形ABPC的面积为20，SABP+SACP=20，12ABPE+12ACPF=20，由（1）知PE=PF=PD=4，12ABPD+12ACPD=20，即12PDAB+AC=20，2AB+AC=20，AB+AC=10【点睛】本题主要考查了角平分

21、线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等【变式1】（2023春全国八年级专题练习）已知：如图，AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且ADC+B=180(1)若AB=12,AD=8，则AF=(2)若ABC的面积是24，ADC的面积是16，则BEC的面积等于 【答案】(1)10(2)4【分析】（1）利用角平分线的性质可得CE=CF,F=CEB=90，根据等角的补角相等得B=CDF，利用AAS证出RtBCERtDCF，求出DF=BE，证明RtAFCRtAEC，推出AF=AE，由BE=DF可得AB-AE=AF-AD=AB-AF，即可得AB+AD=2AF；

22、（2）利用全等三角形的面积相等，设BEC的面积为x，列出方程可得结果【详解】（1）AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于FCE=CF,F=CEB=90，ADC+B=180,ADC+CDF=180，B=CDF，在RtBCE与RtDCF中，B=CDFCEB=FCE=CF，RtBCERtDCF(AAS)，DF=BE， 在RtACE与RtACF中，CE=CFAC=AC，RtACERtACF(HL)，AF=AE，AB-AE=AF-AD=AB-AF，AB+AD=2AF，AB=12,AD=8，AF=10，故答案为：10（2）RtBCERtDCF，SBCE=SDCF，设BEC的面积为x，ABC的面积是24，

23、ADC面积是16，24-x=16+x,，x=12(24-16)=4即BEC的面积等于4，故答案为：4【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键【变式2】（2023秋吉林八年级统考期末）如图，在RtABC中，AC=BC，C=90，AP平分BAC交BC于点P，若PC=4，AB=14回答问题：(1)P到AB的距离PD长为_，PDB的周长为_；(2)求APB的面积【答案】(1)4，14(2)APB的面积为28【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可得出PD=PC，可得答案；先证明PDAPCA，得出AD=AC，再求出PDB的周长为PB

24、+PD+BD=PB+PC+BD=AC+BD=AD+BD=AB，可得答案；（2）由角平分线的性质可知，PD=PC=4，再根据三角形的面积公式计算即可【详解】（1）解：C=90，AP平分BAC，PD=PC，PC=4，PD=4，PDA=PCA，PD=PC，AP=AP，PDAPCA，AD=AC，PDB的周长为PB+PD+BD=PB+PC+BD=AC+BD=AD+BD=AB，AB=14，PDB的周长为14；故答案为：4，14；（2）解：由角平分线的性质可知，PD=PC=4， SPDB=12ABPD=12144=28【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，掌握角平分线的性质定理是解题的

25、关键【变式3】（2023春湖南岳阳八年级统考阶段练习）如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，ABC的面积是84cm2，AB=15cm，AC=13cm，求DE的长【答案】DE=6cm【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据SABC=SABD+SACD，列方程计算即可得解【详解】解：AD为BAC的平分线， DEAB，DFAC，DE=DF，SABC=SABD+SACD=12ABDE+12ACDF，SABC=12AB+ACDE即1215+13DE=84，解得：DE=6，DE=6cm【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角

26、形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键考点5：角平分线的判定典例5：（2023春河南洛阳八年级统考期中）如图，DEAB交AB延长线于E，DFAC于F，BD=CD，BE=CF(1)求证：AD平分BAC；(2)直接写出AB+AC与AE之间的数量关系【答案】(1)见解析(2)AB+AC=2AE【分析】（1）求出E=DFC=90，根据全等三角形的判定定理得出RtBEDRtCFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AE=AF，再根据BE=CF，即可求出答案【详解】（1）解：证明：DEAB，DFAC，E=DFC=90，在RtBED和RtCFD中，BD=CDBE=CF

27、，RtBEDRtCFDHL，DE=DF，DEAB，DFAC，AD平分BAC；（2）解：AB+AC=2AE理由如下：由（1）知AD平分BAC，DE=DF，在RtADE和RtADF中，DE=DFAD=AD，RtADERtADFHL，AE=AF，BE=CF，AB+AC=AE-BE+AF+CF=2AE【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等【变式1】（2023春全国七年级专题练习）如图，ABC的平分线与ACB的外角平分线相交于点D，连接AD求证：AD是BAC的外角平分线【答案】证

28、明见解析【分析】作DEBA交BA的延长线于E，DFAC于F，DGBH于G，根据角平分线的性质得到DE=DF，根据角平分线的判定定理证明结论【详解】证明：作DEBA交BA的延长线于E，DFAC于F，DGBH于G，DB平分ABC、DC平分ACH，DE=DG，DF=DG，DE=DF，又DEBA，DFAC，AD是BAC的外角平分线【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键【变式2】（2023春全国八年级专题练习）如图，ABC和EBD中，ABC=DBE=90，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于

29、点M，AE与BC交于点N(1)求证：AE=CD；(2)求证：AECD；(3)连接BM，有以下两个结论：BM平分CBE；MB平分AMD其中正确的有 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据SAS证明ABECBD即可得出答案；（2）根据ABECBD，得出BAE=BCD，利用三角形内角和定理，求出NMC=90，即可得出答案；（3）作BKAE于K，BJCD于J，根据全等三角形的性质，得出AE=CD，SABE=SCDB，证明BK=BJ，根据角平分线的性质，即可得出答案【详解】（1）证明：ABC=DBE，ABC+CBE=DBE+CBE，即ABE=CBD，在ABE和CBD中，AB=CBABE

30、=CBDBE=BD，ABECBD，AE=CD（2）证明：ABECBD，BAE=BCD，NMC=180-BCD-CNM，ABC=180-BAE-ANB，又CNM=ANB，ABC=90，NMC=90，AECD（3）解：结论：理由：作BKAE于K，BJCD于J，如图所示：ABECBD，AE=CD，SABE=SCDB，12AEBK=12CDBJ，BK=BJ，BKAE，BJCD，BM平分AMD不妨设成立，则CBMEBM，则AB=BD，显然不可能，故错误故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质【变

31、式3】（2023秋浙江温州九年级校考期末）平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE=CF求证：DPA=DPC【答案】见解析【分析】过D作DQAE，DGCF，由SADE=12SABCD=SDFC，可得：AEDQ2=DGFC2，进而得出DQ=DG，得出PD为APC的角平分线，即可证明结论【详解】证明：过D作DQAE，DGCF，连接DF和DE，如图所示：则SADE=12SABCD=SDFC，AEDQ2=DGFC2，又AE=FC，DQ=DG，PD为APC的角平分线，DPA=DPC（角平分线逆定理）【点睛】本题考查平行四边形和角平分线的性质，有一定的难度，解题的关

32、键是准确作出辅助线，利用角平分线的性质进行证明考点6：角平分线性质与判定综合典例6：（2022秋山东日照八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，DE平分ADC，求证：AE是DAB的平分线.【答案】见解析【分析】先过点E作EHAB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EFAD于点F，由平行线的性质可知EGAC，由于E是BC的中点，可得出CGEBHE，故GE=EH，再根据角平分线的性质可知EF=GE，故EF=EH，进而可得出结论【详解】解：过点E作EHAB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EFAD于点F，如图所示：EHAB，EHB=90，A

33、BCD，CGE=EHB=90，GCE=B，EGDC，点E是BC的中点，CE=BE，在CGE与BHE中GCE=BCE=EBCEG=BEH，CGEBHE，GE=EH，DE平分ADC，EFAD，EGDC，GE=EF，GE=EH，EF=EH，AE是DAB的平分线【点睛】本题主要考查的是角平分线的判定和性质及全等三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键【变式1】（2023春全国八年级专题练习）四边形ABCD中，ABCD，DE平分ADC(1)如图1，若ABE=90，E是BC的中点，求证：AE平分BAD；(2)如图2，若AE平分BAD，求证：E是BC的中点；(3

34、)在（2）的条件下，若AE=8，DE=6，求四边形ABCD的面积【答案】(1)见解析(2)见解析(3)48【分析】（1）过点E作EFAD，垂足为F证明C=180-B=90，EF=EB，从而可得结论；（2）如图2，延长DE,AB相交于点F证明2=F，AEDAEF(AAS)可得DE=FE再证明DECFEB(ASA)可得结论；（3）证明S四边形ABCD=S四边形ABED+SDEC =SAED+SAEF，再利用三角形的面积公式进行计算即可【详解】（1）证明：过点E作EFAD，垂足为FABDC，B+C=180又ABE=90，C=180-B=90ECDC,EBABDE平分ADC，ECDC，EFDA，EC=

35、EFE是BC的中点，EC=EB，EF=EB又EFAD,EBAB，AE平分BAD（2）证明：如图2，延长DE,AB相交于点FAE平分BAD，DE平分ADC，1=2,3=4ABCD，1=F2=F在AED和AEF中，2=F3=4AE=AEAEDAEF(AAS)DE=FE在DEC和FEB中，1=FDE=FE5=6DECFEB(ASA)CE=BEE是BC的中点（3）解：由（2）得：AEDAEF，AED=AEF,SAED=SAEFAED+AEF=180，AED=AEF=90DECFEB，SDEC=SFEBS四边形ABCD=S四边形ABED+SDEC=S四边形ABED+SBEF=SAED+SAEF=2SAE

36、D=212AEDE=21286=48【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理与判定定理的应用，作出合适的辅助线，构建三角形全等是解本题的关键【变式2】（2022秋福建厦门八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，B=C=90，AM平分BAD交BC于点M，M为BC的中点，连接DM求证：(1)DM平分ADC；(2)AD=AB+CD【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）过点M作MEAD于点E，由角平分线的性质得ME=MB，再证ME=MC，即可得出结论；（2）证RtAMERtAMB（HL），得AE=AB，同理可证DC=DE，即可得出结论【详解】

37、（1）如图，过点M作MEAD于点E， B=C=90，MBAB，MCCD，AM平分DAB，MBAB，MEAD，ME=MB，又M为BC的中点，MC=MB，ME=MC，MCCD，MEAD，DM平分ADC；（2）在RtAME和RtAMB中，ME=MBAM=AM，RtAMERtAMB（HL），AE=AB，同理可证DC=DE，AD=AE+DE，AD=AB+CD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质和判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定与性质是解题的关键【变式3】（2022秋重庆璧山八年级校联考期中）如图，ABC中，点D在边AC延长线上，ACB=100，BAC的平分

38、线交BD于点E，过点E作EMAD，垂足为M，且CEM=50(1)求BCE的度数(2)求证：BE平分CBF【答案】(1)40(2)见解析【分析】(1)先计算BCD=80，再计算ECM=40，根据BCE=BCD-ECM计算即可(2) 过点E作EHBF,ENBC，垂足分为H，N证明EN=EH即可【详解】（1）因为ACB=100，所以BCD=80因为EMAD，垂足为M，且CEM=50，所以ECM=40，所以BCE=BCD-ECM=80-40=40（2）如图，过点E作EHBF,ENBC，垂足分为H，N因为BAC的平分线交BD于点E，过点E作EMAD，所以EM=EH；因为ECM=BCE，所以EM=EN；所

39、以EN=EH，所以BE平分CBF【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角的平分线性质和判定，熟练掌握角的平分线性质和判定是解题的关键考点7：角平分线性质的实际应用典例7：（2022秋江苏南京八年级南京市竹山中学校考阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解析【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得【详解】解：作法如下：1尺规作出A、EBC、BCF中任意两个角的角平分线，交点即为O1点；2尺规作出A、ABC、ACB中任意两个角的角平分线，交点即为O2点证明：点O1是A与BCF平分线的交点，

40、点O1到公路AE、AF、BC的距离相等；点O2是A与ABC平分线的交点，点O2到公路AE、AF、BC的距离相等；点O1、点O2即为所求作的点【点睛】本题考查了尺规作图角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性质是解决本题的关键【变式1】（2022秋江苏八年级专题练习）根据图片回答下列问题(1)如图，AD平分BAC，B+C=180，B=90，易知：DB_DC(2)如图，AD平分BAC，ABD+ACD=180，ABDSAPC其中结论正确的是（）（填写结论的编号）ABCD【答案】C【分析】过点P做PDAC，根据AP平分EAC，可以得到MP=PD，再证明PDCPNC即可得出结论；根据B

41、P和CP都是角平分线，结合三角形内角和定理，即可得到BPC=12ACN-12ABC，再根据三角形外角性质，可以得到BPC=12(BAC+ABC)-12ABC=12BAC，即可得到结论；由可得，PDCPNC，故APC=12MPN，根据PMB=PNB=90，所以MPN=180-ABC，代入得APC=90-12ABC，即可得出结论；由可得PDCPNC，故SAPM+SCPN=SAPC，即可得出结论【详解】解：过点P作PDAC，如图，AP是MAC的平分线，PMAE，PM=PDBP是ABC 的平分线，PNBF，PM=PN，PD=PNPC=PC，PDCPNC(HL)，PCD=PCN，故正确；BP和CP分别是

42、ABC和ACN的角平分线，PBC=12ABC，PCN=12ACNBPC=180-PBC-PCB，PCB=180-PCN，BPC=12ACN-12ABCACN=ABC+BAC，BPC=12BAC，故正确；由可得PDCPNC，同理又易证PMAPDA(HL)，APC=12MPN，PMB=PNB=90，四边形内角和为360，MPN=180-ABC，APC=12MPN=90-12ABC，故正确；由和可得PDCPNC，PMAPDA，SPDC=SPNC，SPMA=SPDASAPC=SPDC+SPDA，SAPM+SCPN=SAPC，故错误；综上可知正确的有：故选C【点睛】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角

43、形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键二、填空题16（2022秋云南昆明八年级校考期中）如图，在RtABC中，C=90，BD是ABC的平分线，DEAB，垂足为E若AC=5，DE=2，则AD的长为_【答案】3【分析】根据角平分线的性质求得DE=DC=2，则可求出AD的长度【详解】解：BD是ABC的平分线，DEAB，C=90DE=DC=2 AD=AC-DC=5-2=3故答案为：3【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，解题的关键是熟知性质及对应的模型17（2022广西贵港统考三模）如图，AB/CD，AE平分

44、CAB交CD于点E,若C=50，则AED_【答案】115【分析】根据平行线性质求出CAB的度数，根据角平分线求出EAB的度数，根据平行线性质求出AED的度数即可【详解】解：ABCD，CCAB180，C50，CAB18050130，AE平分CAB，EAB65，ABCD，EABAED180，AED18065115，故答案为115【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和平行线性质的应用.18（2022秋江苏连云港八年级校考阶段练习）已知：如图，D是BC上一点，AD平分BAC，AB5，AC4，若SABD=m，则SADC_（用m的代数式表示）【答案】45m/0.8m【分析】过点D作DEAB于点E，DFAC

45、于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，从而得到SADC:SADB=AC:AB，即可求解【详解】解：如图，过点D作DEAB于点E，DFAC于点F，AD平分BAC，DE=DF，SADC:SADB=12ACDF:12ABDE=AC:ABAB5，AC4，SABD=m，SADC:m=4:5，SADC=45m故答案为：45m【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键19（2023春全国七年级专题练习）如图，BO平分ABC,ODBC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD=5，则OE的最小值为_【答案】5【分析】根据角平分线的性质即可求出【详解】解：

46、当OEAB时，OE最小，BO平分ABC，ODBC，OD=5，OD=OE=5故答案为：5【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键20（2023秋广西南宁八年级统考期中）如图，在RtABC中，ACB=90,B=30,CAB的平分线AD交BC于点D若AD=6，则点D到AB边的距离是_【答案】3【分析】过点D作DEAB于点E，根据角平分线的性质定理，可得CD=DE，又由B=30，可得CAD=30，从而得到CD=12AD=3 ，即可求解【详解】解：如图，过点D作DEAB于点E，AD平分CAB，ACB=90，CD=DE，B=30，CAB=60，CAD=30，AD=6，CD=12A

47、D=3 ，DE=3，即点D到AB边的距离是3故答案为：3【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键21（2022秋内蒙古呼和浩特八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，C=90，B=30，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，DE= 3 ，则BC=_【答案】33【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角BDE中，根据30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得【详解】解：AD是ABC的角平分线，DEAB，C=90，CD=DE= 3 ，又直角BDE中，B=30，BD=2DE=2 3 ，BC=CD+BD=

48、3 +2 3 =3 3 故答案为：3 3 【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键22（2023春全国七年级专题练习）已知点A（-3+a,2a+9）在第二象限角平分线上，则a的值是_【答案】-2【分析】根据点A在角平分线上可知，点A到两个坐标的距离是相等的；第二象限的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，综合可得A点的横纵坐标之和为0，据此列方程即可求解【详解】点A(-3+a,2a+9)在第二象限的角平分线上，-3+a+2a+90，a2故答案为：2【点睛】此题是坐标与图形性质的题，主要考查了象限角平分线上点的特点，解本题的关键是掌握了象限角平分线上点的

49、特点23（2023秋湖北咸宁八年级校考期中）如图，点M是AOB平分线上一点，AOB60，MEOA于E，OM3，如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是_【答案】MP1.5【分析】作MHOB于H，根据含30角的直角三角形的性质求出EM，根据角平分线的性质解答【详解】作MHOB于H，M是AOB平分线上一点，AOB60，AOM30，又MEOA，OM=3，EM1.5，M是AOB平分线上一点，MEOA，MHOB，MHME1.5，则MP1.5，故答案为：MP1.5.【点睛】本题考查的是角平分线的性质及含30角的直角三角形的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等；30角所对的直角边等于斜边的一半24

50、（2022秋江苏八年级专题练习）如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OAOB，再分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C若C的坐标为（3a，a8），则a_【答案】2【分析】根据尺规作图可知，点C在AOB角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值【详解】解：根据题目尺规作图可知，交点C是AOB角平分线上的一点，点C在第一象限，点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标，即3a=-a+8，得a=2，故答案为：2【点睛】本题考查了角平分线尺规作图，角平分线的性质，以及平面直角坐标系的知识，结合直角坐标系的知识列方程求解是解答本题的关键25（2023春

51、八年级单元测试）如图，ABC与BDE都为等边三角形，连接AE与CD，延长AE交CD于点F，连接FB给出下面四个结论： AE=CD； AFC=60； BF平分EBD； FB平分EFD.其中所有正确结论的序号是_【答案】【分析】证明ABECBD SAS，根据全等三角形的性质即可判断，设BC,AF交于点G，根据三角形的外角的性质得出GFC=ABC=60，即可判断，过点B，分别作AF,CD的垂线，垂足分别为M,N，证明AMBCNBAAS，根据角平分线的判定得出正确，而判断的条件不够，进而即可求解【详解】解：ABC与BDE都为等边三角形，BA=BC,BE=BD,ABC=EBD=60，ABC-EBC=EB

52、D-EBC,即ABE=CBD,ABECBD SAS，AE=CD，故正确；如图，设BC,AF交于点G，ABECBD，DCB=EAB，CGA=GAB+ABC=GCF+GFCGFC=ABC=60，即AFC=60，故正确；如图所示，过点B，分别作AF,CD的垂线，垂足分别为M,N，AMB=CNB=90，又AB=CB,BCN=BAM，AMBCNBAASBM=BN，又BMAF,BNFD，FB平分AFD，故正确，若BF平分EBD，则BFED，根据已知条件不能得到，故不正确，故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键三、解答题26（2023春

53、山西七年级校联考期末）如图，已知ABC的高AD，BAC的平分线AE，B=26，AED=41，求CAD的度数【答案】34【分析】先根据三角形外角性质计算出BAE=15，再根据角平分线定义得到BAC=30，接着再利用三角形外角性质得到ACD，再利用三角形内角和可得CAD【详解】解：B=26，AED=41，BAE=15AE平分BAC，BAC=2BAE=30，ACD=BAC+B=56，CAD=90-ACD=90-56=34【点睛】本题考查三角形内角和定理：三角形内角和是180，合理使用三角形外角性质计算角度及掌握角平分线性质是解题关键27（2023秋八年级课时练习）如图，BE=CF，DEAB，交AB的

54、延长线于点E，DFAC于点F，且DB=DC，求证：AD是BAC的平分线【答案】证明见解析【分析】先根据全等三角形的判定定理得出RtBDERtCDF，进而得出DE=DF，由角平分线的判定即可得证【详解】证明：DEAB，DFAC，BED=CFD=90，RtBDE与RtCDF都是直角三角形，在RtBDE和RtCDF中，BD=CDBE=CF，RtBDERtCDFHL，DE=DF，AD是BAC的平分线【点睛】本题考查角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键28（2023春河北廊坊八年级校考期末）校园的一角如图所示，其中线段AB，BC，CD表示围墙，围墙

55、内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域中找到一点P，使得点P到三面围墙的距离都相等请在图中找出点P（用尺规作图，不用写作法，保留作图痕迹）【答案】图见解析【分析】由点P到三面围墙的距离都相等，所以P是ABC,BCD的角平分线的交点，作出两个角的角平分线的交点即可【详解】解：分别作ABC,BCD的角平分线，如图，交点P即为所求【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图29（2022秋吉林八年级校考期中）把两个同样大小的含30角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的RtABC和RtABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到

56、AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由【答案】见解析【分析】过点M作MEAB于点E，根据题意可得根据题意得：BAD=30，BAC=60，C=90，从而得到CAD=BAD，再根据角平分线的性质定理，即可求解【详解】解：如图，过点M作MEAB于点E，根据题意得：BAD=30，BAC=60，C=90，CAD=30，CAD=BAD，MEAB，AEM=90，CM=EM，即MC的长度就等于点M到AB的距离【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键30（2023春山东烟台九年级统考期中）如图，在ABC中，BAC的平分线交BC于点D,过点D作DEAB交A

57、C于点E.(1)求证：AE=DE(2)若C=100, B=40,求AED的度数【答案】(1)见解析(2)AED=140【分析】（1）根据角平分线性质可得BAD=CAD,由DEAB,根据平行线的性质得BAD=ADE,得到CAD=ADE,即可得到结论（2）根据三角形的内角和可求出BAC=40,由DEAB,根据平行线的性质即可得出结果【详解】（1）AD是BAC的平分线， BAD=CAD,DEAB,BAD=ADE,CAD=ADE,AE=DE.（2）C=100,B=40,BAC=40,DEAB,AED+BAC=180,AED=140.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等

58、腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键31（2023春广西贵港八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，C=90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF求证：(1)CF=EB；(2)AB=AF+2BE【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得DE=DC再根据RtCDFRtEBDHL，得CF=EB；（2）利用角平分线性质证明RtADCRtADEHL，得到AC=AE，再将线段AC进行转化【详解】（1）证明：AD是BAC的平分线，DEAB，C=90，DE=DC，在RtCDF和RtEBD中，BD=DFDC=D

59、E，RtCDFRtEBDHL，CF=EB；（2）证明：在RtADC与RtADE中，CD=DEAD=AD，RtADCRtADEHL，AC=AE，AB=AE+BE=AC+BE=AF+CF+BE=AF+2BE【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质32（2022全国八年级专题练习）如图，在RtABC中，ACB=90（1）作BAC的平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若CD=3，AB=10，则ABD的面积为_【答案】（1）见解析；（2）15【分析】（1）根据基本作图-作角平分线的方法作出图形即可（2）过点D

60、作DEAB于E证明DE=DC=3，再利用三角形的面积公式可得结论【详解】解：（1）如图所示：（2）过点D作DEAB于EACB=90，AD平分BAC，CD=3，AB=10，DE=DC=3，SABD=12ABDE=12103=15【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型33（2023春辽宁沈阳八年级统考期中）AD是ABC的角平分线，过点D作DEAB于点E，且DE3，SABC20（1）如图1，若ABAC，求AC的长；（2）如图2，若AB5，请直接写出AC的长【答案】（1）203；（2）253【分析】（1）作DFAC于F，根据角

61、平分线的性质得到DFDE，根据三角形的面积公式列式计算即可；（2）同（1）的方法计算【详解】解：（1）如图1，作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DFDE3，由题意得，12AB312AC320，解得，ACAB203；（2）如图2，作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DFDE3，由题意得，125312AC320，解得，AC253【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键34（2022秋八年级课时练习）已知：如图，在ABC中，ABAC，在ADE中，ADAE，且BACDAE，连接BD，CE

62、交于点F，连接AF(1)求证：ABDACE；(2)求证：FA平分BFE【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SAS证明结论即可；（2）作AMBD于M，作ANCE于N由（1）可得BDCE，SBADSCAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题【详解】（1）证明：BACDAE，BAC+CADDAE+CAD，即BADCAE，在BAD和CAE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE，BADCAE（SAS）；（2）证明：如图，作AMBD于M，作ANCE于N 由BADCAE，BDCE，SBADSCAE，12BDAM=12CEAN，AMAN，点A在BFE平分线上，FA平分BFE【点睛】本题考查全等三

63、角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明35（2022春湖南长沙七年级校考期末）（1）如图1，在ABC中，B、C的平分线BE，CD相交于点F，ABC=40，A=60，求BFC的度数；（2）如图2，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=42，求CAB的度数；求CAP的度数【答案】（1）120；（2）84；48【分析】（1）根据角平分线的定义可得FBC=12ABC，FCB=12ACB，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACD=BAC+ABC

64、，PCD=BPC+PCB，根据角平分线的定义可得PCD=12ACD，PBC=12ABC，然后整理得到PCD=42+12ABC，再代入数据计算即可得解；作PEBA于E，PFAC于F，PGBC于G，根据角平分线的性质与判定可得AP平分CAE，再根据角平分线的定义可求解【详解】解：（1）ABC=40，A=60，ACB=80，ABC、ACB的平分线相交于点F，FBC=12ABC=20，FCB=12ACB=40，BFC=180-（FBC+FCB）=120；（2）在ABC中，ACD=BAC+ABC，在PBC中，PCD=BPC+PBC，PB、PC分别是ABC和ACD的平分线，PCD=12ACD，PBC=12ABC， PCD=BPC+PBC=42+12ABC，12ACD=12ABC+42，ACD-ABC=84，BAC=ACD-ABC=84，即CAB=84作PEBA于E，PFAC于F，PGBC于G，PE=PG，PF=PG，PE=PF，AP平分CAE，CAP=12CAE=12（180-84）=48【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键本题也考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义