专题05 一次方程（组）（原卷版）.docx

1、主题二 方程与不等式专题05 一次方程（组）目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）考向一 解一元一次方程考向二 一元一次方程的应用考向三 二元一次方程求解与应用考向四 解二元一次方程组考向五 二元一次方程组的应用考向六 三元一次方程组的应用最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1. 掌握等式的基本性质；2. 能解一元一次方程；掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组；3. 能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界

2、数量关系的有效模型；4. 能利用一次方程解决实际应用问题，并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理1从考查的题型来看，填空题或选择题、解答题的形式都有考查,一般情况三种形式选择 其一,不同时存在一套试题,占比分相当大,难度属于中档题较多. 2从考查内容来看,由实际问题抽象出一次方程组为主要考查，其次考查列一次方程组、 判断一次方程（组）的解、解一次方程组. 3从考查热点来看,涉及本知识点的有:二元一次方程组的解法,由实际问题列出二元一次方程组,由二元一次方程组的解求有关问题等比较受命题者的关注. 一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程一

3、般形式一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0我们将ax+b0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a0）叫一元一次方程的标准形式这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解把方程的解代入原方程，等式左右两边相等等式的性质1等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式若ab，则acbc 应用：移项等式的性质2等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式若ab，则acbc 应用：去分母；若ab，c0，

4、则 应用：系数化为1一元一次方程的求解步骤解释去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号一元一次方程解应用题的类型一元一次方程解应用题的类型有：（1）销售打折问题

5、：利润售价-成本价；利润率=100；售价=标价折扣；销售额=售价数量（2）储蓄利息问题：利息=本金利率期数；本息和=本金+利息=本金(1+利率期数)；贷款利息=贷款额利率期数（3）工程问题：工作量=工作效率工作时间（4）行程问题：路程=速度时间（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度列一元一次方程解应用题

6、的五个步骤列一元一次方程解应用题的五个步骤1审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系2设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数3列：根据等量关系列出方程4解：解方程，求得未知数的值5答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句二元一次方程概念含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程二元一次方程的解1.使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解2.在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解二元一次方程组1.二元一次方

7、程组的定义：由两个一次方程组成，并含（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组2.二元一次方程组也满足三个条件：方程组中的两个方程都是整式方程方程组中共含有两个未知数每个方程都是一次方程3.一般形式为二元一次方程组的解1.定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解2.一般情况下二元一次方程组的解是唯一的

8、数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数解二元一次方程二元一次方程有无数解求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值二元一次方程组的解法1. 代入消元法：将方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化为一元一次方程适用类型：(1)方程组中有一个未知数的系数是1或1；(2)一个方程的 常数项为0用代入法解二元一次方程组的一般步

9、骤：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求出x（或y）的值将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值把求得的x、y的值用“”联立起来，就是方程组的解2. 加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后再相加(或相减)，消去其中一个未知数，化为一元一次方程适用类型：方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成整数倍用加减法解二元一次方程组的一般步骤：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程

10、的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求得未知数的值将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示基本思想消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程解三元一次方程组1.三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组2.解三元一次方程组的一般步骤：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个

11、未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值最后将求得的三个未知数的值用“”合写在一起即可二元一次方程的应用1.找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系2.找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来3.挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程4.根据未知数的实际意义求其整数解由实际问题抽象出二元一次方程组1.由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系

12、起来，找出题目中的相等关系2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：方程两边表示的是同类量；同类量的单位要统一；方程两边的数值要相符3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系 二元一次方程组的应用列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字

13、母表示出来（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组（4）求解（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答考向一 解一元一次方程解题技巧/易错易混/特别提醒1.一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法2.解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向xa形式转化3.解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一

14、般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号4.在解类似于“ax+bxc”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）xc使方程逐渐转化为axb的最简形式体现化归思想将axb系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负1（2023海南）若代数式x+2的值为7，则x等于（）A9B9C5D52（2022黔西南州）小明解方程1的步骤如下：解：方程两边同乘6，得3（x+1）12（x2）去括号，得3x+312x2移项，得3x2x23+1合并同类项，得x4以上解题

15、步骤中，开始出错的一步是（）ABCD3（2023衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：解：27x（4x1）+1，（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处（2）写出你的解答过程考向二 一元一次方程的应用解题技巧/易错易混/特别提醒利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答4（2023枣庄）算学启蒙是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快

16、马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）A240x+150x15012B240x150x24012C240x+150x24012D240x150x150125（2023台湾）有一东西向的直线吊桥横跨溪谷，小维、阿良分别从西桥头、东桥头同时开始往吊桥的另一头笔直地走过去，如图所示，已知小维从西桥头走了84步，阿良从东桥头走了60步时，两人在吊桥上的某点交会，且交会之后阿良再走70步恰好走到西桥头，若小维每步的距离相等，阿良每步的距离相等，则交会之后小维再走多少步会恰好走到东桥头（）A46B50C60D726

17、（2023陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价考向三 二元一次方程求解与应用解题技巧/易错易混/特别提醒在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值7（2023无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y4的解的是（）ABCD8（2023温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y

18、（g），可列出方程为（）Ax+y30Bx+y30Cx+y30Dx+y309（2023齐齐哈尔）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（）A5种B6种C7种D8种考向四 解二元一次方程组10（2023眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足xy4，则m的值为（）A0B1C2D311（2023衢州）下列各组数满足方程2x+3y8的是（）ABCD12（2023朝阳）已知关于x，y的方程组的解满足xy4，则a的值为 考向五 二元一次方程组的应用

19、解题技巧/易错易混/特别提醒设元的方法：直接设元与间接设元当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程13（2023巴中）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（）A6B8C12D1614 （2023吉林）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种

20、鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格15（2023盐城）我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 考向六 三元一次方程组的应用16（2023台湾）已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜40元，阿俊打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，

21、且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜10元，则根据题意可得到下列哪一个结论（）A一份套餐的价钱必为140元B一份套餐的价钱必为120元C单点一片鸡排的价钱必为90元D单点一片鸡排的价钱必为70元17（2021重庆）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘

22、，2个迷你音箱经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为 元1（2022百色）方程3x2x+7的解是（）Ax4Bx4Cx7Dx72（2023连云港）元朝朱世杰所著的算学启蒙中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）AB12C240（x12）150xD240x150（x+12）3（2023黑龙江）某社区为了打造“书香社区”，丰富小

23、区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）A5种B6种C7种D8种4（2023甘孜州）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音h，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（）ABCD5（2023泰安）九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金

24、、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两根据题意得（）A BC D6（2023衡阳）孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（）ABCD7（2023陕西）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会

25、缺少9棵树苗求学校这次共买了多少棵树苗？8（2022威海）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 9 （2023吉林）九章算术中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 10 （2023大连）我国古代著作九章算术中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数、鸡价各几何”其大意是：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱问人数、鸡价各是多少”设共有x人合伙买鸡，根据题意，可列方程为 11（2023丽水）古代中国的数学

26、专著九章算术中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤12（2023德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m 13（2023河北）某磁性飞镖游戏的靶盘如图珍珍玩了两局，

27、每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投计分规则如下：投中位置A区B区脱靶一次计分（分）312在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次脱靶4次（1）求珍珍第一局的得分；（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶若本局得分比第一局提高了13分，求k的值14（2023北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长15（2023重庆）某

28、粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种，甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？16（2023西

29、藏）列方程（组）解应用题如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成（1）求一块长方形墙砖的长和宽；（2）求电视背景墙的面积17 （2023海南）2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功，为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，问甲、乙两种型号客车各租多少辆？18（2023河南）方程组的解为 19（2023连云港）解方程组20（2023西宁）孙子算经中有一道题，原文是：今有木

30、，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（）ABCD21（2023重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比

31、每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？22（2023张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4560租金（元/辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？23（2023深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元（1）求A，B玩具的单价；（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？24（2020重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是