专题05 二次函数与实际应用（图形动态问题）-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版）.docx

1、专题05 二次函数与实际应用（图形动态问题）1（20212022江苏苏州九年级月考）如图所示，已知中，边上的高，为上一点，交于点，交于点，设点到边的距离为，则的面积关于的函数图象大致为（ ）ABCD【答案】D【分析】可过点A向BC作AHBC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案【详解】解：如图，过点A向BC作AHBC于点H，AEFABC，即，y=2（6-x）x=-x2+6x（0x6），该函数图象是抛物线y =-x2+6x（0x6）的部分，故选：D【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是综合运用相关知识解题2（2021山东邹城

2、中考二模）如图，四边形是边长为1的正方形，点E是射线上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段的延长线上，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ）ABCD【答案】B【分析】分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断【详解】解：四边形ABCD是边长为1的正方形，DAB=90，AD=AB，在ADE和ABF中，ADEABF（SAS），ADE=ABF，DE=BF，DEG=90，ADE+AED=AED+BEG，BEG=ADE，BEG=ABF，EGBF，DE=BF，DE=GE，EG=BF，四边形BFEG是平行四边形，四边

3、形EFBG的面积=2BEF的面积=2BEAF，设AE=x，四边形EFBG的面积为y，当0x1时，y=（1-x）x=-x2+x；当x1时，y=（x-1）x=x2-x；综上可知，当0x1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x1时，函数图象是开口向上的抛物线，符合上述特征的只有B，故选：B【点睛】本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键3（2021山东威海中考真题）如图，在菱形ABCD中，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿ACD的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿ABCD的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动设运动时间为x（s），的面积为y

4、（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）ABCD【答案】A【分析】先证明CAB=ACB=ACD=60，再分0x1、1x2、2x3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解【详解】解：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD，B=D=60，ABC，ACD都是等边三角形，CAB=ACB=ACD=60如图1，当0x1时，AQ=2x，AP=x，作PEAB于E，故D选项不正确；如图2，当1x2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PFBC与F，作QHAB于H，故B选项不正确；当2x3时，CP=x-2，CQ=2x-4，PQ=x

5、-2，作AGCD于G，故C不正确故选：A【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键4（20212022福建厦门市九年级期中）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c经过点B，C，顶点为D将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度（0360），得到矩形OABC，记AC的中点E，连结DE，线段DE的长度最大值为 _【答案】#【分析】由，得，用待定系数法可得抛物线解析式为，即得顶点，可得，根据为的中点，得，当、不构成三角形，即在的延长线上时，的长度最大，此时【详解】解：如图：

6、四边形是矩形，将，代入得：，解得，抛物线解析式为，顶点，为的中点，在中，当、构成三角形时，当、不构成三角形，即在的延长线上时，的长度最大，如图：此时，故答案为：【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握在的延长线上时，的长度最大5（2021浙江温州市实验中学九年级月考）如图，四边形ABCD中，ADBC，AB10，CD，动点P从点A沿着ABC运动，同时点Q从点D沿着DA运动，它们同时到达终点，设点P运动的路程为x，AQ的长度为y，且（1）求AD，BC的长和四边形ABCD的面积（2）连接PQ，设APQ的面积为S，在P，Q的运动过程中，S是

7、否存在最大值，若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由（3）当PQ与四边形ABCD其中一边垂直时，求所有满足要求的x的值【答案】（1）120；（2）存在，最大值为；（3）或或【分析】（1）当x0时，当y0时，分别求解得出对应线段的长度，过点B作BMAD，过点D作DNBC，求出高，即可求解；（2）分情况讨论（点在线段上、当在上时），得出APQ的面积的函数表达式，根据函数性质求解即可；（3）分三种情况讨论，利用三角形相似的性质求解即可【详解】解（1）：由题意：P，Q两点同时到达终点，所以，当x0时，y16，即AD16；当y0时，x24，所以BC14过点B作BMAD，过点D作DNBC，如下图：

8、又ADBC， 可知四边形为矩形设AMm，MD16m，即BN16m，CNm2，根据BMDN，可得：102m2（m2）2，解得m6即BM8，四边形ABCD的面积为：（1614）82120（2）当点在线段上时，作，如下图，则，即，对称轴为，又时，最大，为当在上时， ，随的增大而减小，综上所述，的最大值为（3）当时，如下图：，即，解得当时，可得，即解得当时，如下图：，又，由（1）（2）得，解得综上所得或或【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，二次函数最值问题，三角形面积，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，是一道关于四边形的综合题，解题关键是熟练掌握并运用二次函数性质、相似三角形的判定和性质等相关知识

9、，并应用数形结合思想、方程思想和分类讨论思想解决问题6（2021吉林中考真题）如图，在矩形中，动点从点出发沿折线向终点运动，在边上以的速度运动；在边上以的速度运动，过点作线段与射线相交于点，且，连接，设点的运动时间为，与重合部分图形的面积为（1）当点与点重合时，直接写出的长；（2）当点在边上运动时，直接写出的长（用含的代数式表示）；（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围【答案】（1）1；（2）；（3）【分析】（1）在中，由求解即可；（2）点在上运动时间为，则点在上时（3）分类讨论：点在上，点在上；：点在上，点在延长线上；：点在上【详解】解：（1）如图，在中，（2）点在上运动时间为，点

10、在上时：（3）当时，点在上，作于点，交于点，作于点，同（1）可得，当时，时，点在上，当时，点在延长线上，交于点，如图，当时，点在上，如图，综上所述：【点睛】题目主要考察运用三角函数解三角形求出相应边的长度，然后利用三角形面积公式确定函数解析式，同时也对二次函数在几何动点问题进行考察，难点是在进行分类讨论时，作出对应图形并作出相应辅助线，同时确定相应的自变量范围7（2021湖北天门中考真题）如图1，已知，中，动点P从点A出发，以的速度在线段上向点C运动，分别与射线交于E，F两点，且，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为，与的重叠部分面积为，y与x的函数关系由和两段不同的图象组成

11、（1）填空：当时，_；_；（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当时，请直接写出x的取值范围【答案】（1）10；（2）；（3）【分析】（1）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据时，即可得；先根据运动速度和时间求出的长，再根据正弦三角函数的定义即可得；（2）先求出当点与点重合时，的值，再分和两种情况，解直角三角形求出的长，然后利用三角形的面积公式即可得；（3）分和两种情况，分别利用二次函数的性质即可得【详解】解：（1），是等腰直角三角形，由图可知，当时，解得或（不符题意，舍去），故答案为：10；由题意得：当时，则，故答案为：；（2）由函数图象可知，当时，点与点重合，如图所

12、示：，在中，则当点与点重合时，当时，则；当时，如图，设交于点，过点作，交延长线于点，连接，在中，即，解得，则，综上，；（3）当时，令，解得或（舍去），在内，随的增大而增大，当时，；当时，此二次函数的对称轴为，则由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，当时，则当时，取得最小值，最小值为36，即在内，都有，综上，当时，的取值范围为【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键8（2021内蒙古包头市第四十八中学九年级月考）在矩形ABCD中

13、，AB5cm，BC6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动设运动时间为t秒（1）填空：BQ ，PB （用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）是否存在t的值，使BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）2；（3）存在时，使得五边形的面积等于26 ；（4）存在，

14、时，使得的面积最大，等于【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可；（2）利用勾股定理得到方程，求解即可得到结果；（3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果；（4）根据（3）可知的面积为，据此求解即可【详解】解：（1）由题意： ，故答案为，（2）由题意得：，解得（不合题意，舍去），当t=2秒时，的长度等于（3）存在理由如下：长方形的面积是：，使得五边形的面积等于26 ，则的面积为，即有：，解得，当时，不合题意，舍去，即当时，使得五边形的面积等于26（4）存在，理由如下：由（3）可知的面积为，即当时，使得的面积最大，等于【点睛】本题考查四边形综合题，考查

15、了矩形的性质，多边形的面积，最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键9（2021广东佛山九年级月考）如图1，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连结PQ若设运动时间为t（s）（0t2），解答下列问题：（1）当t为何值时？PQ/BC？（2）设APQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系？（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把ABC的周长和面积同时平分？若存在求出此时t的值；若不存在，说明理由（4）如图2，连结PC，并把PQC沿AC翻折，得到四边形

16、PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在求出此时t的值；若不存在，说明理由【答案】（1）t=；（2）y=-+3t（0t2）；（3）不存在，理由见解析；（4）存在，t=【分析】（1）当PQBC时，我们可得出APQ和ABC相似，那么可得出关于AP，AB，AQ，AC的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC，根据P， Q的速度，可以用时间t表示出AQ，BP的长，而AB可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t的值（2）过点P作PDAC于D，则有APDABC，由相似三角形的性质构建二次函数即可解决问题（3）如果将ABC的周长和面积平

17、分，那么APAQBPBCCQ，那么可以用 t表示出 CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻（4）过P作PDAC于点D，若QD=CD，则PQ=PC，四边形PQPC就为菱形，同（2）的方法求出AD的表达式，再根据QD=CD即可求出t的值【详解】解：（1）连接PQ， 若=时，PQ/BC，即=，t=（2）过P作PDAC于点D，则有=，即=，PD=（5-t）y=2t（5-t）=-+3t（0t2）（3）若平分周长则有：AP+AQ=（AB+AC+BC），即：5t+2t

18、=6，t=1当t=1时，y=3.4；而三角形ABC的面积为6，显然不存在（4）过P作PDAC于点D，若QD=CD，则PQ=PC，四边形PQPC就为菱形同（2）方法可求AD=（5-t），所以：（5-t）-2t=4-（5-t）；解之得：t=即t=时，四边形PQPC为菱形【点睛】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会由参数构建方程解决问题10（2021天津中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B（）如图

19、，求点B的坐标；（）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，设，矩形与重叠部分的面积为S如图，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（）点B的坐标为；（）， t的取值范围是；【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由BOH=45得到OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标；(II)由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解；画出不同情况下重叠部分的图形，分和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t

20、的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H由点，得，又BOH=45，OBH为等腰直角三角形，点B的坐标为(II)由点，得由平移知，四边形是矩形，得，整理后得到：当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时，当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时，t的取值范围是，故答案为：，其中：；当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示：此时，BAO=45，为等腰直角三角形，重叠部分面积，是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将

21、代入，得到最大值，将代入，得到最小值，当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示：此时，和均为等腰直角三角形，重叠部分面积，是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值，将代入，得到最小值，的最小值为，最大值为，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论11（2021安徽中考一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，过点的直线恰好与y轴交于点B，点P为线段上的一动点（点P与点A，C不重合），过点P作

22、交于点Q，点A关于的对称点为点D，连接（1）当点D恰好落在上时，求点P的坐标；（2）设点P的坐标为，若和重叠部分的面积S与点P的横坐标m之间的函数解析式为其图象如图所示，请结合图、，求出a，b的值；（3）当为直角三角形时，求出点P的坐标【答案】（1）；（2），；（3）点P的坐标为或【分析】（1）由直线与y轴交于点B，即可得出，再由，易得直线的解析式为设点P的坐标为，由题意可知，即可求出，所以可知点D的坐标为，最后由，即可得出，解x即可得出点P的坐标；（2）设直线的解析式为，即得联立，可求出Q点坐标为当时，点D在内， 即，即可列出等式，求出a再由函数图象可知点在的图象上，即，解出b即可（3）由（

23、2）可知由于不可能为，所以分类讨论当为直角时，过点Q，B作的垂线，分别交及其延长线于点M，N，连接BD由余角的性质可推出，即，所以，由题意可知，即，解出m即可求出P点坐标当为直角时，即，由此可得直线的解析式为，将代入，即，解出m即可求出P点坐标【详解】（1）对于直线，令x=0，则y=4；令y=0，则x=-3B点坐标为，A点坐标为设经过点B、C的直线解析式为，则，解得：，设经过点B、C的直线解析式为设点P的坐标为，点D的坐标为，解得，点P的坐标为；（2）设直线的解析式为，将点代入得直线的解析式的得：，联立，解得当时，点D在内，重叠部分的面积即为的面积，由函数图象可得，当时，将代入，得，解得（3）

24、由（2）得，分析题目可知不可能为，当为直角时，过点Q、B作的垂线，分别交及其延长线于点M、N，连接BD，即，解得或（舍去），点P的坐标为；当为直角时，即，由此可得直线的解析式为， 将代入，得，解得：，综上，当为直角三角形时，点P的坐标为或【点睛】本题为一次函数与二次函数综合题考查利用待定系数法求解析式，平行线的性质，两直线的交点问题，解直角三角形，两垂直直线的比例系数的关系，综合性强，很难正确的作出辅助线和利用分类讨论的思想是解答本题的关键12（2021江苏淮安市中考模拟预测）如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点分别在轴和轴的正半轴上，连接，点是的中点（1）_；点的坐标为_；（2）

25、若在矩形边上存在点满足，如图2，动点从点出发，沿以每秒1个单位长度匀速运动，到达点后停止运动点在运动过程中，记点关于直线的对称点为点，求当为何值时，点落在矩形的一边上（3）过三点的抛物线记为，点为直线上方的抛物线上一点，已知点，点，过两点的抛物线记为当时，求点的坐标；过点作交直线于点，记，若直线与抛物线恰好有3个交点，请直接写出实数的值【答案】（1）；（2）；（3）；【分析】（1）由四边形是矩形，利用锐角三角函数与中点的含义可得答案；（2）分两种情况讨论，如图，当在上时，则 由关于对称，则 再表示 再由勾股定理列方程 解方程可得答案，如图，当在上时，则 由关于对称，则 此时重合，同理可得： 而

26、 再列方程解方程可得答案；（3）先求解过 抛物线的解析式为： 如图，作的外接圆，过作与外接圆交于点 连接与抛物线的交点为 外接圆与交于 连接 当证明则满足条件，再求解为 的坐标为 同理可得：的解析式为： 再解方程组可得答案；由，点，求解抛物线为如图，延长交轴于 过作于 过作轴于 再求解 可得 正比例函数为：或 显然：与抛物线记为有两个交点，所以：与抛物线记为只有一个交点，从而可得答案【详解】解：（1）四边形是矩形， （2）如图，当在上时，则 由关于对称，则 解得：或（不合题意舍去），如图，当在上时，则 由关于对称，则 此时重合，同理可得： 而 综上：当或时，点落在矩形的一边上（3）设过的抛物线

27、为 解得： 所以抛物线的解析式为： 如图，作的外接圆，过作与外接圆交于点 连接与抛物线的交点为 外接圆与交于 连接 当则 满足条件，设为 则 设为 为 设 由可得， 当时， 同理可得：的解析式为： 解得：或 由，点，过两点的抛物线记为可得： 抛物线为如图，延长交轴于 过作于 过作轴于 则 则 设 在第一象限，则 则 正比例函数为：或 显然：与抛物线有两个交点，所以：与抛物线只有一个交点， 有两个相等的实数根，时， 【点睛】本题考查的矩形与二次函数的综合题，考查了矩形与折叠，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，难度大，灵活选择解题方法是解题的关键