专题05 相似遇到平行四边形（解析版）.docx

1、专题05 相似遇到平行四边形知 识 回 放类型1矩形ABCD矩形AEFG，则：ABEACF类型2矩形ABCD矩形AEFG，则：ABEADG；A、B、D、H四点共圆；类型3三角形内接矩形，所以，真 题 解 析典例1（2022四川遂宁中考真题）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）ECAG；OBPCAP；OB平分CBG；AOD=45；ABCD【答案】D【解析】解：四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，AB=BC，BG=BE，ABC=90=GBE，ABC+CBG=GBE+CBG，即ABG=EBC，A

2、BGCBE（SAS），BAG=BCE，BAG+APB=90，BCE+APB=90，APB=CPO，BCE+OPC=90，POC=90，ECAG，故正确；取AC的中点K，如图：在RtAOC中，K为斜边AC上的中点，AK=CK=OK，在RtABC中，K为斜边AC上的中点，AK=CK=BK，AK=CK=OK=BK，A、B、O、C四点共圆，BOA=BCA，BPO=CPA，OBPCAP，故正确，AOC=ADC=90，AOC+ADC=180，A、O、C、D四点共圆，AD=CD，AOD=DOC=DAC=45，故正确，由已知不能证明OB平分CBG，故错误，故正确的有：，故选：D典例2（2022贵州铜仁中考真题

3、）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为（1）问题解决：如图，若AB/CD，求证：（2）探索推广：如图，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）拓展应用：如图，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）【解析】解：（1）如图，过点D作AEAC于E，过点B作BFAC于F，DOE=BOF，；（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D作AEAC于E，过点B作BFAC于F，DOE=BOF，；（3）如图，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接

4、HN，ODC=OFE，OCD=OEF，又OE=OC，OEFOCD（AAS），OD=OF，OEFOAM，设，则，H是AB的中点，N是BM的中点，HN是ABM的中位线，OGFOHN，OG=2GH，由（2）可知典例3（2022四川达州中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，随后保持三角形不动，将三角形绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长交于点F，连接该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当时，则_；(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，之间的数量关系：_；(3)【深入探究】

5、如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由(4)【拓展延伸】如图5，在与中，若，（m为常数）保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长交于点F，连接，如图6试探究，之间的数量关系，并说明理由【答案】(1)；(2)；(3)仍然成立，理由见解析；(4)【解析】（1）因为等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，故答案为：45（2）在与中，又重合，故答案为：（3）同（2）可得，过点，作，交于点，则，在与中，是等腰直角三角形，在与中，即，（4）过点作，交于点，在中，即典例4（2022广东深圳中考真题）（1）【探究发现】如图所示，在正方

6、形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点求证：（2）【类比迁移】如图，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长（3）【拓展应用】如图，在菱形中，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长【答案】（1）见解析；（2）4.5；（3）或【解析】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，；（2）解：延长BH，AD交于Q，如图：设，在中，解得，即，即，设，则，即，解得，的长为4.5；（3）（）当时，延长交于，过作于，如图：设，则，由折叠知：，即，在中，联立可解得，；（）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：同理，即，由得：，可解得，综上所述，CP的长为或真

7、题 演 练1.（2022安徽中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G连接DF，请完成下列问题：（1）_；（2）若，则_【答案】45；【解析】（1）四边形ABCD是正方形，A=90，AB=AD，ABE+AEB=90，FGAG，G=A=90，BEF是等腰直角三角形，BE=FE，BEF=90，AEB+FEG=90，FEG=EBA，在ABE和GEF中，ABEGEF（AAS），AE=FG，AB=GE，在正方形ABCD中，AB=ADAD=AE+DE，EG=DE+DG，AE=DG=F

8、G，FDG=DFG=45故填：45（2）如图，作FHCD于H，FHD=90又G=GDH=90，四边形DGFH是矩形，又DG=FG，四边形DGFH是正方形，DH=FH=DG=2，DM=，MH=，作MPDF于P，MDP=DMP=45，DP=MP，DP2+MP2=DM2，DP=MP=，PF=MFP+MFH=MFH+NFH=45，MFP=NFH，MPF=NHF=90，MPFNHF,，即，NH=，MN=MH+NH=+=故填：2.（2022眉山中考真题）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，以下结论：；其中正确结论的个数为（）A1个B2个C3个D4个【

9、答案】D【解析】解：旋转得到，为正方形，在同一直线上，故正确；旋转得到，故正确；设正方形边长为a，即，是等腰直角三角形，即，解得：，故正确；过点E作交FD于点M，故正确综上所述：正确结论有4个，故答案为：D3.（2022广西贵港中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，与相交于点O(1)如图1，若连接，则的形状为_，的值为_；(2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边如图2，当与重合时，连接，若，求的长；如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接求证：【答案】(1)等腰三角形，；(2)；见解析【解析】（1）解：过点C作CHBD于H，如图所示：AC

10、l，DBl，CHBD，CAB=ABD=CHB=90，四边形ABHC是矩形，AC=BH，又BD=2AC，AC=BH=DH，且CHBD，的形状为等腰三角形，AC、BD都垂直于l，AOCBOD，即，故答案为：等腰三角形，（2）过点E作EHAD于点H，如图所示：AC，BD均是直线l的垂线段，ADE是等边三角形，EAD=60，在RtADB中，又，AE=6在中，又由（1）知，则，在中，由勾股定理得：连接CD，是等边三角形，又是等边三角形，绕点D顺时针旋转60后与ECD重合，又，又，4.（2022山东烟台中考真题）(1)【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE(2)【类

11、比探究】如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABCADE90连接BD，CE请直接写出的值(3)【拓展提升】如图3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且连接BD，CE求的值；延长CE交BD于点F，交AB于点G求sinBFC的值【答案】(1)见解析；(2) ；(3)；【解析】（1）证明：ABC和ADE都是等边三角形，ADAE，ABAC，DAEBAC60，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCAE（SAS），BDCE；（2）解：ABC和ADE都是等腰直角三角形，DAEBAC45，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCAE，；（3）解：，ABCADE90，ABCADE，BACDAE，CAEBAD，CAEBAD， ；由得：CAEBAD，ACEABD，AGCBGF，BFCBAC，sinBFC