专题06相似模型-母子型（共角共边模型）和A（X）字型（解析版）.docx

1、专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A（X）字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似“双垂线”型是其特例。 “ 母子”模型（斜射影） 双垂直（射影定理

2、） “母子型”的变形斜射影结论：ABDACB，AB2ADAC.双垂直结论：ABDACB，AB2ADAC；ADCACB，AC2ADAB；CDBACB，CB2BDBA.1（2022贵州贵阳中考真题）如图，在中，是边上的点，则与的周长比是（）ABCD【答案】B【分析】先证明ACDABC，即有，则可得，问题得解【详解】B=ACD，A=A，ACDABC，ADC与ACB的周长比1:2，故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明ACDABC是解答本题的关键2（2022陕西汉中九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，

3、与交于点，且(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，求的长【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)【分析】（1）由题意可得BCD=ACD=45，BCE=ACF= 90，从而可得DCE=DCF = 135，于是可证得，则有DE= DF；（2）结合（1）可求得CDF +F= 45从而可得F =CDE，则，利用相似三角形的性质即可求解；（3）由DGBC，ACB=90，BCD=ACD=45，结合（2）可求得CE = 2，从而可求得CG= DG=，可证得，从而可求得GN =，再利用勾股定理即可求得DN（1）证明ACB=90，AC= BC，CD是中线，BC

4、D=ACD=45，BCE=ACF= 90，DCE=DCF= 135在DCE与DCF中， ，DE= DF；（2）证明DCE= DCF= 135CDF+F=180-135=45，CDF +CDE=45，F=CDE， ，即；（3）解：如图，DGBC，ACB=90，BCD=ACD=45，DGN=ECN=90， GCD=CDG=45，CG= DG当CD=2，CF=时，由可得，CE=2，在RtDCG中，ECN =DGN，ENC=DNG，【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键3（2022浙江绍兴九年级期末

5、）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（）A2BC2或（2）已知：如图1，中，是的角平分线，求证：与互为母子三角形（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形求的值【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；（2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论；（3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论；【详解】（1）与互为母子三角形，或2故选：C （2）是的角平分线， 又，与互

6、为母子三角形（3）如图，当分别在线段上时， 与互为母子三角形，是中线，又， 如图，当分别在射线上时，与互为母子三角形，是中线，又，综上所述，或3 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解4（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC中，ACB90，CDAB（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB5，AC4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，

7、建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）3，ABCACD，ABCCBD，ACDCBD；（2）；（3）存在，(，)，(，)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：ABCACD，ABCCBD，ACDCBD（2）先在ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据ABC的面积不变得到ABCDACBC，

8、即可求出CD的长（3）由于B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与ABC相似时，分两种情况进行讨论：PQBACB；QPBACB【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：ABCACD，ABCCBD，ACDCBD证明：CDAB，ADC=ACB=90，又A=A，ADCACB同理可证：ABCCBD，ACDCBD故答案为：3；ABCACD，ABCCBD，ACDCBD（2）如图2中，在ABC中，ACB90，AB5，AC4，BC3ABC的面积ABCDACBC，CD（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，理由如下：在BOC中，COB90，BC3，OC，OB分两种情况：当BQP9

9、0时，如图2，此时PQBACB， ，解得t，即，在BPQ中，由勾股定理，得，点P的坐标为；当BPQ90时，如图2，此时QPBACB，解得t，即，过点P作PEx轴于点EQPBACB，即，PE在BPE中，点P的坐标为，综上可得，点P的坐标为(，)；(，)【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型模型2. “A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三

10、角形相似1（2022湖南怀化中考真题）如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若SADE2，则SABC_ 【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DEBC，从而求得ADEABC，然后利用相似三角形的性质求解【详解】解：D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，所以DEBC，所以ADEABC SADE=2，SABC=8故答案为：8【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握2（2022浙江杭州中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，(1)若，求线段A

11、D的长(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出(1)四边形BFED是平行四边形，；(2)四边形BFED是平行四边形，DE=BF，DE=BF，【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键3（2022浙江宁波中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：(2)如图2，在（1）的条件下，连接若，求的值(3)

12、如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F若平分，求的长【答案】(1)证明见详解(2)(3)【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N构造出等腰三角形、含30、45角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长(1)解：，(2)解：由（1）得，(3)解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N在中，由（1）得，平分，在中，【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思

13、路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键4（2022辽宁中考真题）如图，在中，D，E，F分别为的中点，连接(1)如图1，求证：；(2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可得证；（2）证明，根据（1）的结论即可得；（3）连接，过点作于，证明，可得，勾股定理求得，根据，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论

14、，即可求解(1)证明：如图，连接， ，D，E，F分别为的中点， (2)，理由如下，连接，如图，D，E，F分别为的中点，四边形是平行四边形，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，(3)如图，连接，过点作于，中，,，中，中，【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键模型3. “X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“X”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似1（2022河北中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长

15、为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？_（填“是”或“否”）；（2）AE_【答案】 是 #【分析】（1）证明ACGCFD，推出CAG=FCD，证明CEA=90，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB的长，证明AECBED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解【详解】解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，ACG=CFD=90，ACGCFD， CAG=FCD，ACE+FCD=90，ACE+CAG=90，CEA=90，AB与CD是垂直的，故答案为：是；（2）AB=2，ACBD，AECBED，即，AE=BE=故答案为：【点睛】本

16、题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件2（2022四川内江中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC4，点M、N分别在AB、AD上，且MNMC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F(1)当F为BE的中点时，求证：AMCE；(2)若2，求的值；(3)若MNBE，求的值【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】(1)根据矩形的性质，证明BMF ECF，得BMCE，再利用点E为CD的 中点，即可证明结论； (2)利用BMFECF，得，从而求出BM的长，再利用ANMBMC ，得 ，求出AN的长，可得答案； (3)首先利用同角的余角相

17、等得 CBF CMB，则tanCBFtanCMB，得 ，可得BM的长，由（2）同理可得答案(1)证明：F为BE的中点，BFEF，四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCDBMFECF，BFMEFC，BMFECF（AAS），BMCE，点E为CD的中点，CECD，ABCD，AMCE；(2)BMFECF，BFMEFC，BMFECF，CE3，BM，AM，CMMN，CMN90，AMN+BMC90，AMN+ANM90，ANMBMC，AMBC，ANMBMC，DNADAN4，；(3)MNBE，BFCCMN，FBC+BCM90，BCM+BMC90，CBFCMB，tanCBFtanCMB，由（2）同理得，解得：AN

18、，DNADAN4，【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键3（2022广西贵港中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，与相交于点O(1)如图1，若连接，则的形状为_，的值为_；(2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边如图2，当与重合时，连接，若，求的长；如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接求证：【答案】(1)等腰三角形， (2)；见解析【分析】（1）过点C作CHBD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，进而可判断

19、BCD的形状，AC、BD都垂直于l，可得AOCBOD，根据三角形相似的性质即可求解（2）过点E作于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解连接，根据，得，即是等边三角形，把旋转得，根据30角所对的直角边等于斜边的一般得到，则可得，根据三角形相似的性质即可求证结论(1)解：过点C作CHBD于H，如图所示： ACl，DBl，CHBD，CAB=ABD=CHB=90，四边形ABHC是矩形，AC=BH，又BD=2AC，AC=BH=DH，且CHBD，的形状为等腰三角形，AC、BD都垂直于l，AOCBOD，即，故答案为：等腰三角形，(2)过点E作于点H，如图

20、所示：AC，BD均是直线l的垂线段，是等边三角形，且与重合，EAD=60，在中，又，又，又由（1）知，则，在中，由勾股定理得：连接，如图3所示：，是等腰三角形，是等边三角形，又是等边三角形，绕点D顺时针旋转后与重合，又，又，【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键4（2022江苏镇江九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点

21、，那么一定有 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有，请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：(2)如图（4），等边ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为_(3)如图（5），ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为_【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）如图，过点作，交的延长线于点，可知YBXYAE，ZCXZAE，可得，代入进而可证

22、成立；（2）如图，过点A作AGBC，交CF的延长线于点G，由题意可知，代入求值即可；（3）如图5，分别过作 ，由题意可知，有，对计算求值即可(1)证明：如图，过点作，交的延长线于点 故可知YBXYAE，ZCXZAE (2)解：如图，过点A作AGBC，交CF的延长线于点G由题意可知D是BC的中点，为等边三角形，在中解得故答案为：(3)解：如图5，分别过作 图5同图1，故可知F为AB中点，CD=BC， 四边形BCEF的面积为故答案为：【点睛】本题考查了三角形相似，等边三角形的性质，勾股定理等知识解题的关键在于证明三角形相似课后专项训练：1（2022江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应

23、点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似例如，如图（1），CDECAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此CDE和CAB互为顺相似；如图（2），CDECBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此CDE和CBA互为逆相似（1）根据以上材料填空：如图（3），ABCD，则AOBCOD，它们互为 相似（填“顺”或“逆”，下同）；如图（4），RtABC中，ACB90，CDAB于点D，则ABC ，它们互为 相似；如图（5），若DABEBC90，并且BDCE于点F，则ABD ，它们互为 相似

24、；（2）如图（6），若AOBCOD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在RtABC中，C90，AC20，BC15，点P在ABC的斜边上，且AP16，过点P画直线截ABC，使截得的一个三角形与ABC相似，则满足的截线共有 条【答案】（1）逆；ACD或CBD，逆；BCE，顺；（答案不唯一）；（2）AOCBOD，理由见解析；AOC和BOD互为顺相似；（3）3【分析】（1）根据新定义直接判断，即可得出结论；先判断出ADC=BDC=90=ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；先判断出ABD=C，进而得出

25、ABDBCE，最后用新定义判断，即可得出结论；（2）先由AOBCOD，判断出，AOB=COD，进而得出AOC=BOD，即可得出结论；（3）先求出BP=9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论【详解】（1）ABCD，AOBCOD，AOB和COD互为逆相似，故答案为：逆；CDAB，ADCBDC90ACB，、AA，ABCACD，ABC和ACD互为逆相似；、BB，ABCCBD，ABC和CBD互为逆相似；故答案为：ACD或CBD，逆；BDCE，BFC90，CBD+C90，EBC90，CBD+ABD90，ABDC，ABDBCE，ABD和BCE互为

26、顺相似；故答案为：BCE，顺；（2）AOCBOD，AOC和BOD互为顺相似；理由：AOBCOD，AOBCOD，AOBBOCCODBOC，AOCBOD，AOCBOD，AOC和BOD互为顺相似；（3）在RtABC中，AC20，BC15，根据勾股定理得，AB25，AP16，BPABAP9，如图1，过点P作PGBC于G，BGP90ACB，BB，ABCPBG，BGBC，点G在线段BC（不包括端点）上，过点P作PGAC于G，AGPACB，AA，ABCAPG，AGAC，点G在线段AC（不包括端点）上，过点P作PGAB，交直线BC与G，交直线AC于H，APGAPH90ACB，AA，ABCGBP，BG15BC，

27、点G和点H都和点C重合（注：为了说明问题，有意将点G和点H没画在点C处），故答案为：3【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，新定义的理解和应用，理解新定义、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键2（2022吉林中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整【作业】如图，直线，与的面积相等吗？为什么？解：相等理由如下：设与之间的距离为，则，【探究】(1)如图，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，则证明： (2)如图，当点在，之间时，连接并延长交于点，则证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， 由【探究】（1）可知 ，(3)如图，当点在下方

28、时，连接交于点若点，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据三角形的面积公式可得，由此即可得证；（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，先根据平行线的判定可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点作于点，过点作于点，先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，由此即可得出答案(1)证明：，(2)证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，由【探究】（1）可知，(3)解：过点作于点，过点作于点，则，点所对应的刻度值分别为5，0

29、，又，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键3（2022上海九年级专题练习）如图，在中，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值【答案】（1）4；（2）【分析】（1）分别求出CD，BC，BD，证明，根据相似性质即可求解；（2）先证明，再证明，根据相似三角形性质求解即可【详解】解：（1）平分，在中，在中，（2）点是线段的中点，【点睛】本题考查了含30角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根

30、据相似性质解题4（2022上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BEAB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD（1）求证：BNDCNM；（2）如果AD2ABAF，求证：CMABDMCN【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，ABCD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BDCE，根据相似三角形的判定方法，由CMDB可判断BNDCNM；（2）先利用AD2=ABAF可证明ADBAFD，则1=F，再根据平行线的性质得F=4，2=3，所以3=4，加上NMC=CMD，于是可判断MNCMCD，所以MC：MD=

31、CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论【详解】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，而BE=AB， BE=CD，而BECD，四边形BECD为平行四边形，BDCE，CMDB，BNDCNM；（2）AD2=ABAF，AD：AB=AF：AD，而DAB=FAD，ADBAFD，1=F，CDAF，BDCE，F=4，2=3，3=4，而NMC=CMD，MNCMCD，MC：MD=CN：CD，MCCD=MDCN，而CD=AB，CMAB=DMCN【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的

32、作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长也考查了平行四边形的判定与性质5（2022安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O（1）如图，若四边形ABCD为矩形，过点O作OEBC，求证：OECD（2）如图，若ABCD，过点O作EFAB分别交BC、AD于点E、F求证：2（3）如图，若OC平分AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MNOB交OA于一点N，若OD8，OE6，直接写出线段MN长度【分析】（1）由OEBC，DCBC，可知EOCD，且OBOD，可得结论；（2）由DFODAB，得，同理，利用等

33、式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DFOB交OC于点F，连接EF，可知ODF是等腰三角形，得DODF8，由DMFEMO，可得EM，由DMNDOE，得，从而得出答案【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，O是AC中点，ABBC，OEBC，OEAB，E是BC中点，OE；（2）证明：EFAB，DFODAB，同理，即；（3）解：作DFOB交OC于点F，连接EF，OC平分AOB，AOCBOC，DFOB，DFOBOCAOC，ODF是等腰三角形，DODF8，DFOE，DMFEMO，EM，MNOE，DMNDOE，MN【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角

34、形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键6（2022重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段ADa，DBb，AEc，ECd，则SADE，SABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律如图2，若DEBC，则ADEB，且AA，所以ADEABC，可得比例式：而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方可得根据上述这两个式子，可以推出：（2）如图3，若ADEC，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍

35、存在结论：？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决如图4，D在ABC的边上，做AHBC于H，可得：借用这个结论，请你解决最初的问题延伸探究：（1）如图5，D、E分别在ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段ADa，ABb，AEc，ACd，则 （2）如图6，E在ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段ADa，ABb，AEc，ACd， 结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB5，AG4，AE2，ABCD的面积为30，则AEF的面积是

36、 【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）;（2）；结论应用： 【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；探究二，过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；延伸探究：（1）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；（2）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，可得,根据题意，进而得出,根据AM=DM,可得FN=DN，根据AE=2，AG=4，可得FN=2EF，进而可得ED=5EF，即可得出【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由

37、如下：ADEC，AA，,，；探究二：过D、B点分别作,垂足分别为M、N，,； 延伸探究：（1）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，,；（2）过D、B点分别作,垂足分别为M、N， ，,;结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，AM=DM，AE=2，AG=4，,AM=DM,FN=DN，AE=2，AG=4，,即：FN=2EF,ED=5EF，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键7（2022贵州铜仁中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为（1）问题解决：如图，若AB/CD，求证：（2

38、）探索推广：如图，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）拓展应用：如图，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）【分析】（1）如图所示，过点D作AEAC于E，过点B作BFAC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明OEFOCD，得到OD=OF，证明OEFOAM，得到，设，则，证明OGFOHN，推出，则，由（2）结论求解即可【详解】解：（1）如图所示，过点D作AEAC

39、于E，过点B作BFAC于F，DOE=BOF，； （2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D作AEAC于E，过点B作BFAC于F，DOE=BOF，；（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，ODC=OFE，OCD=OEF，又OE=OC，OEFOCD（AAS），OD=OF，OEFOAM，设，则，H是AB的中点，N是BM的中点，HN是ABM的中位线，OGFOHN，OG=2GH，由（2）可知【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键8（2022湖北随州九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应

40、的任务梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D，E，F依次是ABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足这个定理的证明步骤如下：情况：如图1，直线DE交ABC的边AB于点D，交边AC于点F，交边BC的延长线与点E过点C作CMDE交AB于点M，则，（依

41、据），BEADFCBDAFEC，即情况：如图2，直线DE分别交ABC的边BA，BC，CA的延长线于点D，E，F（1）情况中的依据指： ；（2）请你根据情况的证明思路完成情况的证明；（3）如图3，D，F分别是ABC的边AB，AC上的点，且AD:DBCF:FA2:3，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，那么BE:CE 【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；（2）见解析；(3)【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；（2）如图2中，作CNDE交BD于N模仿情况的方法解决问题即可；（3）利用梅氏定理即可解决问题【详解】解：（1）情况中的依据是：两条直线被一组平行

42、线所截，所得的对应线段成比例故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（2）如图2中，作CNDE交BD于N则有，BEADFCBDAFEC，1（3）1，AD:DBCF:FA2:3，1，=故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型9.（2022长宁一模）已知, 在 ABC 中, , 点 是射线 上的动点, 点 是边 上的动点，且 , 射线 交射线 于点 （1）如图 1, 如果 , 求 SADESODB 的值；（2）联结, 如果 是以为腰的等腰三角形，求线段的长；（3）当点在边上时, 联结, 求线段的长【详解】解

43、：（1）ABAC，BC，OCOE，OECC，BOEC，ABCOEC，CE3.2，AE1.8； AEDOECB，DD，OBDAED，SADESODB=0.32=0.09（2） 是以为腰的等腰三角形，AEOE，OCOE，设AEOEOC=x，由（1）得，ABCOEC，解得，经检验，是原方程的解；则的长是为 （3）由（1）得，BOEC，OEC+OEA180，B+OEA180，A、B、O、E四点共圆，DBEAOD，AODC，AOECDE，ABODBC，设OC=x，OB=8-x，ABCOEC，解得，解得，（舍去），则的长是为10.（2022松江中考模拟）如图，已知在ABC中，BCAB，BD平分ABC，交边

44、AC于点D，E是BC边上一点，且BEBA，过点A作AGDE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）求证：AB2BGBC；（3）若ABAC，BGCE，联结AE，求的值【分析】（1）由题目条件可证得ABFEBF（SAS）及ABDEBD（SAS），进而可推出AFFEEDDA，可得出四边形AFED是菱形（2）根据条件可证得ABGCBA，即可证明结论（3）由条件可得DAEABC，由相似比可得，由BE2ECBC，得到点E是BC的黄金分割点，可得出，即可得出结论【详解】（1）证明：BD平分ABC，ABFEBF，BABE，BFBF，ABFEBF（SAS），AFEF，同理可

45、得ABDEBD（SAS），ADED，ADBEDB，AGDE，AFDEDF，AFDADF，AFAD，AFFEEDDA，四边形AFED菱形（2）证明：由（1）得：ABFEBF，BAGBEF，四边形AFED是菱形，ADFE，BEFC，BAGC，ABGCBA，ABGCBA，即AB2BGBC（3）解：如图，ABAC，ABGC，BAGC，ABGBAG，AGCABGBAG，AGC2BAG，BGCE，BECG，CGCA，CAGCGA，CAG2DAE，DAEABC，DEAACB，DAEABC，AB2BGBC，ABBE，BE2ECBC，点E是BC黄金分割点，EACC，CEAE，【点睛】本题考查了菱形的判定，相似三

46、角形的性质与判定及黄金分割点等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键11（2022静安区期末）如图1，四边形ABCD中，BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB9，AE6，AE2ABAD，且DCAE（1）求证：DE2AEDC；（2）如果BE9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BEx，EFy，求y关于x的函数解析式，并写出定义域【分析】（1）先证明ABEAED，可得AEBADE，再由平行线性质可推出ADEDCE，进而证得ADEECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BGAE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，

47、进而可证得ADEECD（SAS），再求得SABEAEBG18，根据ABEAED且相似比为3：2，可求得SAEDSCDE8，由S四边形ABCDSABE+SAED+SCDE可求得答案；（3）由ABEAED，可求得：DEx，进而得出DCx2，再利用ADEECD，可得：CEx，再利用DCAE，可得AEFDCF，进而求得：CFEF，再结合题意得出答案【解答】（1）证明：如图1，AE平分BAD，BAEDAE，AE2ABAD，ABEAED，AEBADE，DCAE，AEBDCE，AEDCDE，ADEDCE，ADEECD，DE2AEDC；（2）解：如图2，过点B作BGAE，BE9AB，ABE是等腰三角形，G为A

48、E的中点，由（1）可得ADE、ECD也是等腰三角形，AE2ABAD，ABBE9，AE6，AD4，DE6，CE4，AG3，ADEECD（SAS），在RtABG中，BG6，SABEAEBG6618，ABEAED且相似比为3：2，SABE：SAED9：4，SAEDSCDE8，S四边形ABCDSABE+SAED+SCDE18+8+834；（3）解：如图3，由（1）知：ABEAED，BEx，AB9，AE6，AE2ABAD，AD4，DEx，由（1）知：DE2AEDC，DCx2，ADEECD，CEx，DCAE，AEFDCF，CFEF，yEFCEx，即，3x9，y关于x的函数解析式为y，定义域为3x9【点评】

49、本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键12（2022浙江九年级单元测试）如图，在RtABC中，ACB90，点D在AB上，且（1）求证 ACDABC；（2）若AD3，BD2，求CD的长【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出（2）由得，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长【详解】（1），；（2），即，【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键13（202

50、1广西百色中考真题）如图，ABC中，ABAC，B72，ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点若AC2，则BD_【答案】【分析】先根据AB=AC，B=72求出A的度数，再根据CD是CAB的角平分线得到A=ACD，即AD=CD，再根据大角对大边得到ADBD，最后利用黄金分割公式计算求解即可.【详解】解：AB=AC，B=72ACB=B=72A=180-B-ACB=36CD是CAB的角平分线ACD=BCD=A=ACDAD=CD在ABC与CBD中A=BCD=36，B=BABCCBD在三角形CDB中，B=72，BCD=36CDB=72CDB=B=72AD=CD=BC即D点为AB的黄金分割点在三角形CDB中，B=72，BCD=36CDBD（大角对大边）ADBDD是AB的黄金分割点，ADBD故答案为：.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.14（2022江苏盐城中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若_，则请从；这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明【答案】见解析【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可【详解】解：若选，证明：，又，选择，不能证明若选，证明：，又，【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法