专题06 【五年中考 一年模拟】二次函数压轴题-备战2023年江西中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.docx

1、专题06 二次函数压轴题1（2022江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为（1）的值为 ；（2）若运动员落地点恰好到达点，且此时，求基准点的高度；若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为 ；（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点

2、能否超过点，并说明理由【答案】（1）66；（2）；（3）见解析【详解】（1）起跳台的高度为，把代入得：，故答案为：66；（2），基准点到起跳台的水平距离为，基准点的高度为；，运动员落地点要超过点，时，即，解得，故答案为：；（3）他的落地点能超过点，理由如下：运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，把代入得：，解得，抛物线解析式为，当时，他的落地点能超过点2（2021江西）二次函数的图象交轴于原点及点感知特例（1）当时，如图1，抛物线上的点，分别关于点中心对称的点为，如表：2，补全表格；在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为形

3、成概念我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”探究问题（2）当时，若抛物线与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为 ；在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线” 都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“”或“”或“”或“”，其中；若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值【答案】（1）；见解析；（2）；【详解】（1）、关于点中心对称，点为的中点，设点，故答案为：；所画图象如图1所示，（2）当时，抛物线，

4、对称轴为直线，开口向上，当时，的函数值随着的增大而减小，抛物线，对称轴为直线，开口向下，当时，的函数值随着的增大而减小，当时，抛物线与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着的增大而减小，故答案为：；抛物线的“孔像抛物线”是，设符合条件的抛物线解析式为，令，整理得，抛物线与抛物线有唯一交点，分下面两种情形：当时，无论为何值，都会存在对应的使得，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；当时，即，整理得，当取不同值时，两抛物线都有唯一交点，当取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与取值无关，解得，则，故答案为：；抛物线，顶点坐标为，其“孔像抛物线” 为：，顶点坐标为，抛物线与其“孔像抛物线” 有

5、一个公共点，二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点时，有三种情况：直线经过，解得：或（舍去），直线经过，解得：或（舍去），直线经过，但当时，与只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，3（2020江西）已知抛物线，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：0120（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；（2）求抛物线的表达式及，的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，请根据图象直接写出线段，之间

6、的数量关系 【答案】（1）上，直线；（2）见解析；（3）见解析；（4）【详解】（1）根据表格信息，可知抛物线开口向上，对称轴为直线；故答案为：上，直线；（2）把，代入，得：，解得：，抛物线解析式为，当时，；当时，；（3）画出抛物线图象，描出的轨迹，是一条抛物线，如图1所示，（4）方法一：不妨假设交点在轴上，则，方法二：如图2，设点，对应的横坐标分别为，令，可得，它对应的两个根应为，令，可得，它对应的两个根应为，或（对称轴）， 倍长到，倍长到，可知（横坐标和（横坐标在原抛物线上，且关于对称轴对称，（对称轴），可得方法三：如图2，设，点为 的中点，即，代入中，得，即点所在的抛物线的表达式为，直线与

7、抛物线有两个交点，解得，或，直线与抛物线有两个交点，解得，或，故答案为：4（2019江西）特例感知（1）如图1，对于抛物线，下列结论正确的序号是；抛物线，都经过点；抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；抛物线，与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等形成概念（2）把满足为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”知识应用在（2）中，如图2“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，其横坐标分别为，为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻

8、两点之间的距离；若不相等，说明理由在中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断，是否平行？并说明理由【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）当时，分别代入抛物线，即可得；正确；，的对称轴分别为直线，的对称轴，由向左移动得到，再向左移动得到，正确；当时，则，或；，或；，或；相邻两点之间的距离都是1，正确；故答案为；（2）的顶点为，令，；相等，理由如下：横坐标分别为，为正整数），当时，纵坐标分别为，点，点的距离，点，点，的距离相邻两点间距离分别为；相邻两点之间的距离都相等；当时，或，过，分别作直线的垂线，垂足为、，在中，在中，不平行；5（2018江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经

9、历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线经过点，则，顶点坐标为，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是抽象感悟：我们定义：对于抛物线，以轴上的点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”（2）已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求的取值范围问题解决：（3）已知抛物线若抛物线的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求、的值及衍生中心的坐标；若抛物线关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为为正整数）求的长（用含的式子表示）【答案】（1），；（2）；（3

10、），衍生中心的坐标为；【详解】求解体验：（1）抛物线经过点，抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标关于的对称点为，即：新抛物线的顶点坐标为，令原抛物线的，关于点的对称点坐标为，设新抛物线的解析式为，点在新抛物线上，新抛物线解析式为，故答案为，；抽象感悟：（2）抛物线，抛物线的顶点坐标为，设衍生抛物线为，抛物线关于点的衍生抛物线为，衍生抛物线为，联立得，整理得，这两条抛物线有交点，；问题解决：（3）抛物线，此抛物线的顶点坐标为，抛物线的衍生抛物线为，两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，联立，（舍或，抛物线的顶点坐标为，抛物线的衍生抛物线的顶点坐标为，衍生中心的坐标为；抛物线的

11、顶点坐标为，点关于点的对称点为，抛物线的顶点坐标为，同理：，6（2022南昌模拟）如图1，已知抛物线是常数）的顶点为，直线（1）求证：点在直线上；（2）若，直线与抛物线的另一个交点为，与轴交点为，恰好是线段的中点，求的值；（3）如图2，当时，抛物线交轴于、两点，、在抛物线上，满足，判断是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【详解】（1），将代入，得，点在直线上；（2）当时，联立，点横坐标为，恰好是线段的中点，；（3）存在，理由如下：当时，令，则，设，设直线的解析式为，联立，过点作轴交于点，过点作轴交于点，当时，直线经过定点7（

12、2022吉安一模）已知抛物线（1）当时，抛物线的顶点坐标为 将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为 （2）无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点在点左侧）的长度都不变，求的值和的长；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，是否存在实数，使得以点，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），；（3）见解析【详解】（1），抛物线的顶点为，故答案为：；设抛物线上任意一点，则点关于轴对称的点为，抛物线的解析式为，故答案为：；（2），抛物线经过定点，当时，的长度不变，当时，解得或，；（3）存在实数，使得以点，

13、为顶点的四边形为正方形，理由如下：设抛物线抛物线上任意一点，点关于的对称点为，抛物线的解析式为，与为正方形的对角线，、关于对称，8（2022高安市一模）定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数的图象位于直线左侧部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数的函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折的部分记作，图象和合起来记作图象例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为（1）如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为（2）函数的解析式为，当时，图象上某点的纵坐标为，求该点的横坐标（3）已知函数的解析式为，已知点、的坐标分别为、，图象与线段只有一个公共点时，

14、结合函数图象，求的取值范围；若点是图象上任意一点，当时，的最小值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）【答案】（1）；（2）或；（3），或；【详解】（1）根据题意，将函数的解析式为的图象沿直线翻折，设所得函数的解析式为，在取两点，可得到这两点关于直线的对称点和，把和分别代入，得：，解得：，函数的解析式为（2）根据题意，可得图象的解析式为：，当时，解得：，该点的横坐标为或；（3）根据题意，得图象的解析式为：，当经过点或当时，解得：；当经过点或当时，解得：或5；当经过点时，解得：；当经过点时，解得：；随着的增大，图象的左端点先落在上（两个交点），的端点落在上（一个交点），图象经过点（两个交点）

15、，图象的左端点再次落在上（一个交点），图象的端点落在上（无交点），图象经过点（一个交点），的取值范围为：，或的最小值始终保持不变，整理得：，令，解得：，9（2022新余一模）在平面直角坐标系中，正方形，按如图的方式放置点，和点，分别落在直线和轴上抛物线过点，且顶点在直线上，抛物线过点，且顶点在直线上，按此规律，抛物线过点，且顶点也在直线上，其中抛物线交正方形的边于点，抛物线交正方形的边于点（其中且为正整数）（1）直接写出下列点的坐标：，；（2）求抛物线，的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标；（3）设，试判断与的数量关系并说明理由【答案】（1）；（2），；（3）见解析【详解】（1）在直线上，横坐

16、标为1，且在直线上，故答案为：；（2）对于直线，设，可得，四边形是正方形，又点在直线上，又，抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为：，过点，解得，抛物线的解析式为；将代入中，四边形是正方形，抛物线的对称轴为直线，把代入，得，抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，将点代入，可得，抛物线的解析式为；抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，抛物线的顶点坐标为，；（3）与的数量关系为，理由如下：由（2）得的解析式为，当时，解得，即，由（2）得抛物线的解析式为；当时，解得或（舍，即，10（2022赣州一模）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性

17、质并对其性质进行应用的过程小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量可以是任意实数）图象与性质进行了探究请同学们阅读探究过程并解答：（1）作图探究：下表是与的几组对应值：01234830008，；在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：根据所画图象，写出该函数的一条性质：；（2）深入思考：根据所作图象，回答下列问题：方程的解是 ；如果的图象与直线有4个交点，则的取值范围是 ；（3）延伸思考：将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围【答案】（1），3；见解析；函数图象关于轴对称；（2）或或；（3）且【详解】（1

18、）将代入得，将代入得，故答案为：，3如图，由图象可得函数图象关于轴对称，故答案为：函数图象关于轴对称（2）根据表格及图象可得或时，故答案为：或或由图象可得当直线在轴下方，直线上方时，直线与函数图象有4个交点，故答案为：（3）函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的图象，如图，由图象可得当时，或，当时，或或，时，且11（2022瑞金市模拟）如图，在等腰直角三角形中，点在轴上，点在轴上，点，二次函数的图象经过点（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成的形式；（2）把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积；（3）在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形？

19、如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】（1）点在二次函数的图象上，解得：，二次函数的解析式为（2）作轴，垂足为为等腰直角三角形，又，又，在和中，当点平移到点时，则，解得（舍去）或扫过区域的面积（3）当时，过点作轴，垂足为为等腰直角三角形，又，在和中，当时，点不在抛物线上当，过点作轴，垂足为同理可知：，当时，点在抛物线上12（2022宜春模拟）2022年是宜春市抓落实活动年，全市开展“拼理念、促比学赶超，拼作风、促担当实干，拼效能、促争先创优”的“三拼三促”活动在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“三拼三促”点，

20、经过的函数，称为“三拼三促”函数（1）下列函数是“三拼三促”函数的有 ； ； ； ；（2）若关于的二次函数是“三拼三促”函数，其图象开口向上且与轴的正半轴相交，求的取值范围；（3）如图，关于的二次函数的图象顶点为，点，和点，是该二次函数图象上的点且使得，试判断直线是否为“三拼三促”函数，并说明理由【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】（1）当时，经过点，符合题意；当时，不经过点，不符合题意；当时，经过点，符合题意；当时，经过点，符合题意；故答案为：；（2）将点代入得：，图象开口向上且与轴的正半轴相交，解得：；（3）直线是“三拼三促”函数，理由如下：关于的二次函数的图象顶点为，点，和点，是

21、该二次函数图象上的点，设直线的解析式为，把，分别代入得：，设直线的解析式为，把，分别代入得：，整理为：，设直线的解析式为，将它与抛物线解析式联立得：，整理为：，由根与系数关系得：，将代入得：，直线的解析式为：，当时，直线经过点，直线是“三拼三促”函数13（2022乐安县一模）定义：已知，一次函数和二次函数若为实数）则称和的“函数”（1）若，和的“2函数”为，求的解析式（2）设一次函数和二次函数求和的“函数”解析式（用含的代数式表示）不论取何值，和的“函数”是否都过某定点，若是求出定点坐标；若否，请说明理由不论取何值，若二次函数上的点关于轴对称的点始终在和的“函数”上，求点坐标【答案】（1）；（

22、2）；见解析；点为【详解】（1），和的“2函数”为，；（2）和的“函数”，；，当时，不论取何值，和的“函数”都过定点；点关于轴对称的对称点为，把代入得，函数过点，不论取何值，二次函数上的点关于轴对称的点始终在和的“函数”上，点为，点为14（2022寻乌县模拟）【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”例如：的“友好对称二次函数”为【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为 ；的“友好对称二次函数”为 ；【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是 （请填入正确的序号）二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数

23、；二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；的“友好对称二次函数”为任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点【拓展应用】（3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数” 都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为，连接，若，且四边形为正方形，求的值；若，且四边形邻边之比为，直接写出的值【答案】（1），；（2）；（3）；或或或【详解】（1），函数的“友好对称二次函数”为；，函数的“友好对称二次函数”为，故答案为：，；（2），二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；，二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是

24、它本身；由定义，的“友好对称二次函数”为（这里缺少条件，故错误；若，则其“友好对称二次函数”为，此时这两条抛物线与轴都没有交点，故答案为：；（3）二次函数的对称轴为直线，其“友好对称二次函数” ，二次函数，二次函数，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，四边形为正方形，即，解得：，（不合题意，舍去），的值为；当时，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，四边形的邻边之比为，或，即或，解得：，的值为或或或15（2022江西模拟）某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时经历以下几个学习过程：（）列表（完成以下表格）012345615830031515800315（）描点并画出函数图

25、象草图（在备用图中描点并画图）（）根据图象解决以下问题：（1）观察图象：函数的图象可由函数的图象如何变化得到？答：（2）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，则不等式的解集是（3）设函数的图象与轴交于，两点位于的右侧），与轴交于点求直线的解析式；探究应用：将直线沿轴平移个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点，求此时的值【答案】见解析【详解】解：（）列表（完成表格）0123456158300381515830103815（）描点并画图（）（1）的图象可由函数将轴下方图象关于轴对称，轴上方图象不变得到；故答案为轴下方图象关于轴对称，轴上方图象不变；（2）结合图象，时，图象在的上方，解集是或；故答

26、案为或；（3）令，则，令，则，解得或3，设直线的解析式为，则；直线过，和三个点，如图所示，此时，直线与的图象只有3个交点，设直线向上平移后的直线为，平移后的直线与函数的图象恰好有3个交点，直线只能向上平移，且直线和有且只有一个交点，则只有一个解，于是，消去得有两个相等的实数根，综上所述，或时将直线沿轴平移个单位长度后与函数的图象恰好有3个交点16（2022石城县模拟）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点（1）若抛物线的对称轴是直线求抛物线的解析式；点在对称轴上，若的面积是6，求点的坐标；（2）当，时，函数的最大值满足，求的取值范围【答案】（1）；或；（2）【详解】（1）抛物线的

27、对称轴为直线，又抛物线与轴的交点为，抛物线的解析式为；当点在直线的上方时，点在抛物线的对称轴上，可设点的坐标为，则，解得，点的坐标为当点在直线的下方时，直线与抛物线的对称轴的交点为，当时，满足条件，此时，综上所述，满足条件的点的坐标为或；（2）时，抛物线开口向上，在对称轴左边，随的增大而减小，当时，取，有最大值，即，解得：，又，17（2022赣州模拟）如图，二次函数的图象过点，记为将沿直线翻折得到“部分抛物线” ，点，的对应点分别为点，（1）求，的值；（2）画出“部分抛物线” 的图象，并求出它的解析式；（3）某同学把和“部分抛物线” 看作一个整体，记为图形“”，若直线和图形“”只有两个交点，（

28、点在点的左侧）直接写出的取值范围；若为等腰直角三角形，求的值【答案】（1），；（2）见解析；（3）或时，直线和图形“”只有两个交点；【详解】（1）将，代入，解得，将代入，可得；（2），关于对称的点分别为，设抛物线的解析式为，解得，；（3），抛物线的顶点为，当时，直线和图形“”只有两个交点；当时，直线和图形“”只有两个交点；或时，直线和图形“”只有两个交点；当时，是等腰三角形但不是直角三角形；当时，当时，解得（舍或，18（2022南昌模拟）已知二次函数为常数）（1）二次函数的顶点坐标，（用含的代数式表示）；（2）取不同的值，可以得到不同的点，分别用，表示列表：点横坐标0123点纵坐标00补全表格

29、；在图1中描出取不同值时得到的，各点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为并求曲线的解析式（3）若和轴有两个交点，当这两个点与二次函数的顶点构成等腰直角三角形时，求的值【答案】（1），；（2）见解析；（3）或【详解】（1），抛物线的顶点坐标为，故答案为：，（2）当时，的值为；如图，画出图象如下：设点，曲线的解析式为：（3）设与轴的两个交点的横坐标分别为，令，则，与轴有两个交点，整理得，点到轴的距离为，即这两个点与二次函数的顶点构成等腰直角三角形，解得或19（2022江西二模）在直角坐标系中，定义点为抛物线的特征点坐标（1）已知抛物线经过点、，求出它的特征点坐标；（2）若抛物线的位置如图所

30、示：抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为；若抛物线的特征点在抛物线的对称轴上，试求、之间的关系式；在的条件下，已知抛物线、与轴有两个不同的交点、，当一点、为顶点构成的三角形是等腰三角形时，求的值【答案】（1），；（2）；的值为或【详解】（1）将点、代入到抛物线解析式中，得，解得：抛物线的解析式为，它的特征点为，（2）抛物线与抛物线关于原点对称，抛物线的解析式为，即故答案为：抛物线的对称轴为直线：当抛物线的特征点在抛物线的对称轴上时，有，与的关系式为抛物线、与轴有两个不同的交点、，在抛物线中，令，即，解得：，（舍去），即点，；在抛物线中，令，即，解得：，（舍去），即点，点，点，点，因此以点、为顶

31、点的三角形是等腰三角形时，有以下三种可能：，此时有：，即，解得：，或，；，此时有：，即，解得：，或，；，此时有：，即，解得：，又，此情况不存在综上所述：当以点、为顶点的三角形是等腰三角形时，的值为或20（2022湖口县二模）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“潇洒点”，如点，都是“潇洒点”已知二次函数的图象上有且只有一个“潇洒点” （1）小敏认为所有的潇洒点都在同一条直线上，请直接写出直线的解析式（2）求，的值，及二次函数的顶点坐标（3）将的图象上移个单位得到抛物线，若上有两个“潇洒点”分别是，且，求当时，中的最大值和最小值【答案】（1）；（2），二次函数的顶点坐标为

32、，；（3）当时，中的最大值为和最小值为【详解】（1）设直线的解析式为，将，代入得：，解得：直线的解析式为；（2）点在抛物线上，二次函数的图象上有且只有一个“潇洒点” ，方程组只有一个实数解，即方程有两个相等的实数根，解得：二次函数的解析式为：，二次函数的顶点坐标为，；（3）将抛物线上移个单位得到抛物线的解析式为，上有两个“潇洒点”分别是，是方程的两个实数根，是两个“潇洒点”，解得：，解得：或3，平移后的抛物线的解析式为，当时，有最大值为，中的最大值为当时，当时，综上，当时，中的最大值为和最小值为21（2022吉州区模拟）【阅读理解】已知关于、的二次函数，它的顶点坐标为，故不论取何值时，对应的二

33、次函数的顶点都在直线上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数【问题解决】（1）若二次函数和是同源二次函数，求它们的根函数；（2）已知关于、的二次函数，完成下列问题：求满足二次函数的所有二次函数的根函数；若二次函数与直线交于点，求点到轴的最小距离，请求出此时为何值？并求出点到轴的最小距离【答案】（1）；（2）；点到轴的最小距离为6，此时【详解】（1），该抛物线的顶点为；，该抛物线的顶点坐标为设经过点和点的直线的解析式为，解得：它们的根函数为直线（2），该抛物线的顶点坐标为，设顶点在直线上，解得：，顶点在直线上，满足二次函数的所有二次函数的根函数为二次函数与

34、直线交于点，点的纵坐标当时，由最小值为6点到轴的最小距离为6，此时22（2022景德镇模拟）【情境】某课外兴趣小组在一次折纸活动课中折叠一张带有条格的长方形的纸片（如图，将点分别与点，重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格线所在的直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线【探索】（1）如图2，在平面直角坐标系中，将矩形纸片的顶点与原点重合，边放在轴的正半轴上，边放在轴的正半轴上，将纸片折叠，使点落在边上的点处，过点作于点，折痕所在直线与直线相交于点，连接求证：四边形是菱形；【归纳】（2）设点坐标是，求与的函数关系式（用含的代数式表示）【运用】（3）将矩形纸片如图3放置，将纸片折叠，

35、当点与点重合时，折痕与的延长线交于点试问在这条折叠曲线上是否存在点，使得的面积是面积的？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，【详解】（1）证明：如图3，由题意知：，四边形是平行四边形又，四边形是菱形；（2）解：四边形是菱形，；（3）解：如图3，假设折叠曲线上存在点满足条件当时，作于，于设，则，当时，点在上，化简得：，解得：，（舍去），当时，存在点，23（2022抚州模拟）我们约定，为二次函数的“相关数”特例感知“相关数”为，4，的二次函数的解析式为；“相关数”为，5，的二次函数的解析式为；“相关数”为，6，的二次函数的解析式为；（1）下列结论正确

36、的是 （填序号）抛物线，都经过点；抛物线，与直线都有两个交点；抛物线，有两个交点形成概念把满足“相关数”为，为正整数）的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，抛物线与轴的交点为，探究问题（2）“一簇抛物线” ，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 抛物线的顶点为，是否存在正整数，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由当时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在轴上判断和是否相等，并说明理由【答案】见解析【详解】（1）当时，抛物线均过，由得，当时，当时，当时，由得，故答案为：；（2），当时，点在上，当时，点在上，故答案为：，；由得：与轴的两个交点，的纵坐标为：，抛物线

37、与轴有两个交点，到轴的距离为：，当时，当时，是直角三角形，（舍去），当时，当时，是直角三角形，（舍去），综上所述：或5；和相等，理由如下：当时，抛物线与轴的左交点，抛物线与轴的左交点，当时，（舍去），的横坐标为：，同理可得：的横坐标为：，24（2022九江三模）已知抛物线恒经过两个定点和（点在点左侧），现将直线作为对称轴，将抛物线进行翻折而得到抛物线，的顶点与的顶点以及两定点、组成四边形（1）点和点坐标分别为 和 ；四边形的是一种特殊的四边形，它是 ，的解析式为 （2）当点到轴的距离为4时，求值和此时四边形的面积若直线与两抛物线、共同所组成图象共有4个交点，直接写出当时，的取值范围【答案】（1

38、），菱形，；（2）或，四边形的面积为2或14；的取值范围是或【详解】（1）抛物线恒经过两个定点和（点在点左侧），与的取值无关，即的系数为0，即，点，点，、大致图象如图，连接，由翻折可知，点和点纵坐标为3，轴，轴，是对称轴，平分，四边形是菱形，顶点坐标为，设抛物线的顶点坐标为，根据菱形对角线互相平分可得：，抛物线的解析式为，故答案为：，菱形，；（2）当点到轴的距离为4时，或，当时，则点坐标为，点坐标为，点，点，；当时，则点坐标为，点坐标为，；或，四边形的面积为2或14；当时，由可知当时，点坐标为，点坐标为，要使直线与两抛物线共同组成的图象共有4个交点，则的取值范围是或25（2022九江一模）抛物

39、线的一般表达式为、为常数，若抛物线经过原点，则把这种经过原点的抛物线称为“过零抛物线”（1）过零抛物线的顶点满足下列条件：当顶点坐标为时，则，；当顶点坐标为，且时，则与之间的关系式是 （2）当过零抛物线的顶点在直线上，且时，用含的代数式表示（3）现有一组过零抛物线，它们的顶点，在直线上，其横坐标依次为1，2，为正整数，且，分别过每个顶点作轴的垂线，垂足分别记为，以线段和为边向右作平行四边形，若这组抛物线中的某一条经过点，求此时满足条件的平行四边形的点坐标【答案】（1）；6；（2）；（3）【详解】（1）抛物线过原点， “过零抛物线”的解析式为：顶点为，解得，；故答案为：；6；顶点为，解得，故答案

40、为：；（2）由顶点，在直线上，得，（3）顶点，在直线上，可设，点所在的抛物线顶点坐标为由（1）（2）结果知，顶点所在的抛物线解析式是，设平行四边形的顶点所在的抛物线解析式是上，此时顶点在另一条抛物线上，由，解得，且，为正整数，当时，26（2022南城县一模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上、两点之间的距离是 ；（3）点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；（4）点在抛物线对称轴上，平面内存在点，使以点、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标【答案】（1），自变量为全体

41、实数；（2）；（3）有最大值为；（4）点的坐标为或，或或【详解】（1），又对称轴为，将，代入解析式得：，解得，自变量为全体实数；（2）由（1）得：，故答案为；（3），直线的解析式为：，设，且，作轴交于点，则，当时，有最大值为；（4）设，由（1）知，若为矩形的对角线，由中点坐标公式得：，解得：，又，即：，解得或，或，或，若为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得，又，即：，解得，若为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：，又，即：，解得，综上，点的坐标为或，或或27（2022九江二模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，（1）求抛物线

42、的解析式，并写出此抛物线的对称轴；（2）如果以点、为顶点的四边形为平行四边形，求的值；（3）若与面积相等，直接写出点的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为，对称轴为直线；（2）当时，以点、为顶点的四边形为平行四边形；（3）【详解】（1）抛物线与轴交于点，与轴交于点，解得，抛物线；抛物线的对称轴为直线；（2）设直线，的解析式为，解得，直线的表达式为：；点为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，轴，即，且点在点上方，若以点、为顶点的四边形为平行四边形，则只需要，解得；即当时，以点、为顶点的四边形为平行四边形（3）如图，点为线段上一动点，与面积相等，（舍去），28（2022萍乡模

43、拟）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），平行于轴的直线过点，与抛物线交于点（1）直接写出线段的长，并用含的式子将抛物线的对称轴表示出来；（2）将抛物线向右平移1个单位得到抛物线，向右平移2个单位得到抛物线，向右平移为正整数）个单位得到抛物线，抛物线与直线交于点直线与所有抛物线的交点个数为 个，所有抛物线的顶点所在直线是 ；抛物线与直线交于点，若四边形的面积为70，求的值【答案】（1）；（2），；6【详解】（1）令，则，解得：或，点在点的左侧，；抛物线的对称轴为直线；（2），抛物线的顶点为，将抛物线向右平移所得的抛物线的顶点的纵坐标不变且相互平行，直线与所有抛物线都有一个交点，所有的抛物

44、线的顶点的纵坐标均为，直线与所有抛物线的交点个数为个，所有抛物线的顶点所在直线是，故答案为：，；由抛物线与交于点，得，点，点，四边形的面积，即：，解得：，（不合题意，舍去），的值为629（2022遂川县一模）如图，两点分别在轴和轴的正半轴上，点在线段上，且以点为顶点的抛物线记为；以为顶点的抛物线记为，且抛物线与轴交于点（1）分别求出抛物线和的解析式，并判断抛物线会经过点吗？（2）若抛物线和中的都随的增大而减小，请直接写出此时的取值范围（3）在（2）中的取值范围内，设新的函数，求出函数与的函数关系式；当为何值时，函数有最大值，求出这个最大值，并写出的取值范围【答案】（1）抛物线和的解析式的解析式

45、分别为和，抛物线经过点；（2）当抛物线和中的都随的增大而减小时的取值范围时；（3），当时，函数有最大值，最大值为，的取值范围是【详解】（1）、两点分别在轴和轴的正半轴上，抛物线以点为顶点，抛物线的解析式为；设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为；如图，作直线轴于点，则，抛物线，当时，抛物线经过点；抛物线以点为顶点，设抛物线，抛物线经过点，解得，抛物线的解析式为，即，抛物线和的解析式的解析式分别为和，抛物线经过点（2）抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小；抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而减小；当抛物线和中的都随的增大而减小时的取值范围时（3）由（1）得，且，当时，有最大值，最大值为

46、；，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，若，则；若，则，且，当时，当时，函数有最大值，最大值为，的取值范围是30（2022红谷滩区校级一模）如图，已知抛物线的顶点的坐标为，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，连接（1）求，的值；（2）点在抛物线上，当时，请根据图象直接写出的取值范围；（3）将抛物线向右平移1个单位得到抛物线，与交于点，将点向下平移个单位，使得点落在线段上，求的值【答案】（1），；（2）；（3）【详解】（1）抛物线顶点坐标为，抛物线对称轴为直线，将代入得，解得（2）由（1）得，抛物线开口向下，顶点坐标为，时，随增大而增大，时，（3），抛物线向右平移1个单位得到抛物线，令，解得，点坐标为，将代入得，点坐标为，令，解得或，点坐标为，设直线解析式为，将，代入得，解得，点向下平移个单位后坐标为，将，代入得，解得