专题06 全等三角形中的截长补短模型(解析版).docx

1、专题06 全等三角形中的截长补短模型 【模型展示】特点如图，在ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值【证明】延长AD至E，使DE=AD，连接BE,如图所示，AD是BC边上的中线，BD=CD在BDE和CDA中，BD=CDBDE=ADCDE=AEBDECDA(SAS)BE=AC=8在ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BEAEAB+BE12-8AE12+82AD10结论截长法和补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的

2、应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.【模型证明】解决方案如图，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF，求证：BE+CFEF.【证明】延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示，同上例得BMDCFD(SAS)BM=CFDEDF,DM=DFEM=EF在BME中，由三角形的三边关系得：BE+BMEM如图，在四边形ABCD中，B+D=180，CB=CD,BCD=140，以C为顶点作一个70角，角的两边分别交AB,AD于E,F两点

3、连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明.【证明】延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示ABC+D=180，NBC+ABC=180NBC=D在NBC和FDC中BN=DFNBC=DBC=DCNBCFDC（SAS）CN=CF,NCB=FCDBCD=140，ECF=70BCE+FCD=70ECN=70=ECF在NCE和FCE中CN=CFECN=ECFCE=CENCEFCE(SAS)EN=EFBE+DF=EF.【题型演练】一、解答题1阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，AD平分，求证：李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题

4、，所以有两个方法，方法一：截长法如图2，在AC上截取，连接DE，只要证_即可，这就将证明线段和差问题_为证明线段相等问题，只要证出_，得出及_，再证出_，进而得出，则结论成立此种证法的基础是已知AD平分，将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处成为可能方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使只要证即可此时先证_，再证出_，则结论成立”“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法【答案】方法一：；转化；方法二：；【分析】方法一：在AC上截取，由SAS可证可得，BD=DE，根据等角对等边得到CE=DE，即可求证；方法二：延长AB至点F，使，由AAS可证，可得AC=AF，

5、即可证明【详解】方法一：在AC上截取，连接DE，如图2AD平分，在和中，BD=DE，而，DE=CE，AB+BD=AE+CE=AC，故答案为：；转化；方法二：如图3，延长AB至点F，使，在和中，AC=AF，AC=AB+BF=AB+BD，故答案为：；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式2【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题（1）如图1，是等边三角形，点是

6、边下方一点，探索线段、之间的数量关系解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、之间的数量关系根据上述解题思路，请写出、之间的数量关系是_，并写出证明过程；【拓展延伸】（2）如图2，在中，若点是边下方一点，探索线段、之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的平方为多少？【答案】（1）DA=DC+BD，见解析；（2）；见解析；（3）【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，BAC=60，结合BDC=120知ABD+ACD=180，由ACE+ACD=180知ABD=

7、ACE，证ABDACE得AD=AE，BAD=CAE，再证ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证ABDACE得AD=AE，BAD=CAE，据此可得DAE=BAC=90，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2AD2=（DC+BD）2；（3）由直角三角形的性质知QN=MN=1，MQ=，利用（2）中的结论知，据此可得答案【详解】解：（1）DA=DC+BD，理由如下：ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60，BDC=120，ABD+ACD=360-BAC-BDC=180，又ACE+ACD=180，ABD=ACE，在ABD和AC

8、E中，ABDACE（SAS），AD=AE，BAD=CAE，ABC=60，即BAD+DAC=60，DAC+CAE=60，即DAE=60，ADE是等边三角形，DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为：DA=DC+BD；（2），如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，BAC=90，BDC=90，ABD+ACD=360-BAC-BDC=180，ACE+ACD=180，ABD=ACE，AB=AC，CE=BD，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），AD=AE，BAD=CAE，DAE=BAC=90，DA2+AE2=DE2，；（3）如图3，连接PQ，MN=2，QMN=30

9、，MQN=90，QN=MN=1，由（2）知【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键3如图，在等边ABC中，点P是BC边上一点，BAP（3060），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE（1）依题意补全图形，并直接写出AEB的度数；（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明分析：涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质通过截长补短，利用60角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的请根据上述分

10、析过程，完成解答过程【答案】（1）图见解析，AEB60；（2）AEBECE，证明见解析【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD，先求出，然后根据轴对称的性质得到，AD=AB=AC，AEC=AEB，求出，即可求出，再由进行求解即可；（2）如图，在AE上截取EGBE，连接BG先证明BGE是等边三角形，得到BGBEEG，GBE60 再证明ABGCBE，即可证明ABGCBE得到AGCE，则AEEGAGBECE【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD，ABC是等边三角形，BAC=60，AB=AC，B、D关于AP对称，AD=AB=AC，AEC=AEB，AEB60 （2）AEBECE

11、 证明：如图，在AE上截取EGBE，连接BGAEB60，BGE是等边三角形，BGBEEG，GBE60 ABC是等边三角形，ABBC，ABC60，ABGGBCGBCCBE60，ABGCBE 在ABG和CBE中，ABGCBE（SAS），AGCE，AEEGAGBECE【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键4阅读材料：“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补

12、短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF(1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG）(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由【答案】(1)证明见解析(2)FCCD+CE【分析】（1）在CD上截取CGCE，易证CEG是等边三角形，得出EGECCG，证明DEGFEC（SAS），得出DGCF，即可得出结论；（2）过D作DGAB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证G

13、DCDGC60，得出GCD为等边三角形，则DGCDCG，证明EGDFCD（SAS），得出EGFC，即可得出FCCD+CE（1）证明：在CD上截取CGCE，如图1所示：ABC是等边三角形，ECG60，CEG是等边三角形，EGECCG，CEG60，DEF是等边三角形，DEFE，DEF60，DEG+GEFFEC+GEF60，DEGFEC，在DEG和FEC中， ，DEGFEC（SAS），DGCF，CDCG+DGCE+CF，CE+CFCD；（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FCCD+CE；理由如下：ABC是等边三角形，AB60，过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示：GDAB，GD

14、CB60，DGCA60，GDCDGC60，GCD为等边三角形，DGCDCG，GDC60，EDF为等边三角形，EDDF，EDFGDC60，EDGFDC，在EGD和FCD中， ，EGDFCD（SAS），EGFC，FCEGCG+CECD+CE【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键5在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等 这两种方法统称截长补短法请用

15、这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在ABC中，ABAC，1 = 2，P为AD上任一点，求证：ABACPBPC【答案】见解析【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得APNAPC，可得到PC=PN，BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明ABPAMP，可得PB=PM，在PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，在APN和APC中AN=AC，1=2，AP=AP，APNAPC，PC=PN，BPN中有PBPNBN，即PBPCABAC；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，

16、在ABP和AMP中，AB=AM，1=2，AP=AP，ABPAMP，PB=PM，又在PCM中有CMPMPC，即ABACPBPC【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键6例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC=120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系解题思路：将ABD绕点A逆时针旋转60得到ACE，可得AE=AD， CE=BD，ABD

17、=ACE，DAE=60，根据BAC+BDC=180，可知ABD+ACD=180，则 ACE+ACD=180，易知ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是_；（2）如图2，RtABC中，BAC=90，AB=AC点D是边BC下方一点，BDC=90，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论【答案】(1)DA=DB+DC;(2) DA=DB+DC,证明见解析.【分析】(1)由旋转60可得AE=AD， CE=BD，ABD=ACE，DAE=60，根据BAC+BDC=180，可知ABD+ACD=180，则 ACE+ACD=1

18、80，易知ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题(2) 延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,由已知可得,根据,可得=,可证,进而可得AD=AE, ,可得,由勾股定理可得：,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：ABD绕点A逆时针旋转60得到ACE，AE=AD， CE=BD，ABD=ACE，DAE=60，BAC+BDC=180，ABD+ACD=180，ACE+ACD=180，D,C,E三点共线，AE=AD，DAE=60，ADE是等边三角形，AD=DE，AD=DC+CE=DB+DC;(2)结论：DA=DB+DC,证明如下：如图所示，延长DC到点E,使CE=

19、BD，连接AE,=,AB=AC,CE=BD,(SAS),AD=AE, ,DA=DB+DC.【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.7阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，BAD=BCD=90，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明BAEDAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， EAB=CAD，则EAC=EAB+BAC=DAC+BAC=BAD=90，得S四边形A

20、BCD=SABC+SADC=SABC+SABE=SAEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，G=N=90，求五边形FGHMN的面积【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证，则有FK=FH，因为HM=GH+MN易证，故可求解【详解】（1）由题意知，故答案为2；（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH

21、、FM，如图所示： FG=FN=HM=GH+MN=2cm，G=N=90，FNK=FGH=90，FH=FK，又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，MK=FN=2cm，【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用8【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题 （1）如图，是等边三角形，点是边下方一点，连结，且，探索线段之间的数量关系 解题思路：延长到点，使，连接，根据，则，因为可证，易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线

22、段之间的数量关系根据上述解题思路，请直接写出之间的数量关系是 ；【拓展延伸】（2）如图，在Rt中，若点是边下方一点，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】（3）如图，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知所对直角边等于斜边一半，则的长为_cm（结果无需化简）【答案】（1）；（2）猜想：证明见解析；（3）【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，BAC=60，结合BDC=120知ABD+ACD=180，由ACE+ACD=180知ABD=ACE，证ABDACE得AD=AE，BAD=CAE，再证ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB（2）延长DC到点E，使

23、CE=BD，连接AE，先证ABDACE得AD=AE，BAD=CAE，据此可得DAE=BAC=90，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2；（3）由直角三角形的性质知QN=MN=1，MQ=，利用（2）中的结论知PQ=QN+QM=1+，据此可得答案【详解】解：（1）DA=DC+DB，理由：ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60，BDC=120，ABD+ACD=180，又ACE+ACD=180，ABD=ACE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），AD=AE，BAD=CAE，ABC=60，即BAD+DAC=60，DAC+CAE=60，即DAE=60，ADE

24、是等边三角形，DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为：DA=DC+DB；（2）DA=DB+DC如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，BAC=90，BDC=90ABD+ACD=180，ACE+ACD=180，ABD=ACE，AB=AC，CE=BD，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），AD=AE，BAD=CAE，DAE=BAC=90，DA2+AE2=DE2，2DA2=（DB+DC）2，DA=DB+DC；（3）如图3，连接PQ，MN=2，QMN=30，QN=MN=1，MQ=，由（2）知PQ=QN+QM=1+，PQ=，故答案为：【点睛】此题考查了全等三角形的

25、判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键9【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题(1)如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系解题思路：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，根据BAC+BDC180，可证ABDACE易证得ABDACE，得出ADE是等边三角形，所以ADDE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系根据上述解题思路，请直接写出DA、DB

26、、DC之间的数量关系是_；【拓展延伸】(2)如图2，在RtABC中，BAC90，ABAC若点D是边BC下方一点，BDC90，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为_cm【答案】(1)DA=DB+DC(2)DA=DB+DC；理由见解析(3)【分析】（1）延长DC到点E，使CEBD，连接AE，由等边三角形知AB=AC，BAC=60，结合BDC=120，知ABD+ACD=180，则ABD=ACE，证得ABDACE得AD=AE，BAD=CAE，再证明ADE是等边三角形，

27、等量代换可得结论；（2） 同理可证ABDACE得AD=AE，BAD=CAE，由勾股定理得，等量代换即得结论；（3）由直角三角形的性质可得QN的长，由勾股定理可得MQ的长，由（2）知，由此可求得PQ长（1）（1）延长DC到点E，使CEBD，连接AE，ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60，BDC=120，BAC+BDC=180，ABD+ACD=180，又ACE+ACD=180，ABD=ACE，ABDACE(SAS)， AD=AE，BAD=CAE，BAC=60，BAD+DAC=60，DAE=DAC+CAE=60，ADE是等边三角形，DA=DE=DC+CE=DC+DB，（2）DA=DB+DC，

28、理由如下：延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，BAC=90，BDC=90，ABD+ACD=180又ACE+ACD=180， ABD=ACE，AB=AC，CE=BD， ABDACE(SAS)，AD=AE，BAD=CAE，DAE=BAC=90，（3）如图所示：连接PQ，QMN=30，根据勾股定理得，由（2）知，【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键10现阅读下面的材料，然后解答问题：截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用截长法：在较长的线

29、段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段请用截长法解决问题（1）（1）已知：如图1等腰直角三角形中，是角平分线，交边于点求证：请用补短法解决问题（2）（2）如图2，已知，如图2，在中，是的角平分线求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得；（2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接，是角平分线，在和中，又是等腰直角三角

30、形，是等腰直角三角形，（2）如图2，延长到，使，连接，是的角平分线，在和中，【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键11数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰中，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点交于点，过作交于点，交于点，试探究线段，之间的数量关系，并说明理由小白通过研究发现，与有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论阅读上面材料，请回答下面问题： （1）求证；（2）猜想与的数量

31、关系，并证明；（3）探究线段，之间的数量关系，并证明【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析【分析】（1）利用SAS证明可得结论；（2）设，推出，即可证明；（3）过点作交延长线于点，延长交于点，证明ABECAM，得出和，从而证明NFCMFC，得到和，可得PN=PE，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）在ABE和ACD中，（SAS），；（2）设，；（3）过点作交延长线于点，延长交于点，在ABE和CAM中， ，（ASA），（ASA），.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全

32、等三角形证明结论，有一定难度.12【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；【灵活运用】（2）如图2，ABC为等边三角形，直线aAB，D为BC边上一点，ADE交直线a于点E，且ADE60求证：CDCECA；【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，ABCADC180，ABAD若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EFB

33、EFD，请直接写出EAF与DAB的数量关系【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）EAF=，证明见详解.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，BAC=60，结合BDC=120知ABD+ACD=180，由ACE+ACD=180知ABD=ACE，证ABDACE得AD=AE，BAD=CAE，再证ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB；（2）首先在AC上截取CM=CD，由ABC为等边三角形，易得CDM是等边三角形，继而可证得ADMEDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定ADGABE，再判

34、定AEFAGF，得出FAE=FAG，最后根据FAE+FAG+GAE=360，进而推导得到2FAE+DAB=360，即可得出结论【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60，BDC=120，ABD+ACD=180，又ACE+ACD=180，ABD=ACE，ABDACE（SAS），AD=AE，BAD=CAE，BAC=60，即BAD+DAC=60，DAC+CAE60，即DAE=60，ADE是等边三角形，DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB；（2）证明：在AC上截取CM=CD，ABC是等边三角形，ACB=60，CDM是等边

35、三角形，MD=CD=CM，CMD=CDM=60，AMD=120，ADE=60，ADE=MDC，ADM=EDC，直线aAB，ACE=BAC=60，DCE=120=AMD，在ADM和EDC中，ADMEDC(ASA)，AM=EC，CA=CM+AM=CD+CE；即CD+CE=CA.（3）EAF=；证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，ABC+ADC=180，ABC+ABE=180，ADC=ABE，又AB=AD，ADGABE（SAS），AG=AE，DAG=BAE，EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，AEFAGF（SSS），FAE=FAG，FAE+FAG+GAE=36

36、0，2FAE+（GAB+BAE）=360，2FAE+（GAB+DAG）=360，即2FAE+DAB=360，EAF=.【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形13截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC120，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系解题思路：延

37、长DC到点E，使CEBD，根据BAC+BDC180，可证ABDACE，易证ABDACE，得出ADE是等边三角形，所以ADDE，从而解决问题根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，RtABC中，BAC90，ABAC点D是边BC下方一点，BDC90，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论【答案】（1）DADBDC；（2）DADBDC（或写成2DA2(DBDC)2），证明详见解析.【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，BAC=60，结合BDC=120知ABD+ACD=180，由ACE+ACD=180知ABD=ACE，证ABDAC

38、E得AD=AE，BAD=CAE，再证ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证ABDACE得AD=AE，BAD=CAE，据此可得DAE=BAC=90，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2.【详解】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60，BDC=120，ABD+ACD=180，又ACE+ACD=180，ABD=ACE，ABDACE（SAS），AD=AE，BAD=CAE，ABC=60，即BAD+DAC=60，DAC+CAE60，即DAE=6

39、0，ADE是等边三角形，DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为DA=DC+DB；（2） DADBDC（或写成2DA2(DBDC)2）延长DC到点E，使CEBD，连接AEBAC90，BDC90，ABDACD180ACEACD180，ABDACE又ABAC，CEBD，ABDACEADAE，BADCAEDAEBAC90DA2AE2DE22DA2(DBDC)2DADBDC【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键14【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，

40、再利用全等图形求线段的数量关系截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N(1)若，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）(3)如图，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明；（2）证明方法与（1）一致，证明即可；（3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果（1）证明：根据题意得：AD=BD，延长到E，使，连接，在和中，在和中，（2）由（1）中条件得ACD+MDN=90，证明方法同（1）类似，；（3），证明：在截取，连接，在和中，即，即即，在和中，【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解题关键