专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类（26大核心考点）（讲义）（原卷版）.docx

1、专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类【目录】 233612考点一：函数零点问题之分段分析法模型12考点二：函数嵌套问题14考点三：函数整数解问题17考点四：唯一零点求值问题20考点五：等高线问题22考点六：分段函数零点问题25考点七：函数对称问题29考点八：零点嵌套问题31考点九：函数零点问题之三变量问题34考点十：倍值函数36考点十一：函数不动点问题38考点十二：函数的旋转问题40考点十三：构造函数解不等式42考点十四：导数中的距离问题45考点十五：导数的同构思想49考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法51考点十七：三次函数问题54考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直

2、问题56考点十九：任意存在性问题62考点二十：双参数最值问题65考点二十一：切线斜率与割线斜率67考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）69考点二十三：两边夹问题和零点相同问题72考点二十四：函数的伸缩变换问题74考点二十五：V型函数和平底函数76考点二十六：曼哈顿距离与折线距离78有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.考点要求考题统计考情分析零点2023年II卷第11题，5分2022年

3、I卷第10题，5分2021年I卷第7题，5分【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立具体估计为：（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题不等式2021年II卷第16题，5分三次函数2022年 I卷第10题，5分2021年 乙卷第12题，5分 1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所

4、求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式4、分段函数零点的求解与判断方法：（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函

5、数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解5、动态二次函数中静态的值：解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题6、动态二次函数零点个数和分布问题：通常转化为相应二次函数的图象与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：（1）对称轴变动，区间固定；（2）对称轴固定，区间变动；（3）对称轴变动，区间也变动这时要讨论

6、对称轴何时在区间之内，何时在区间之外讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点具体来说，对于三次函数，其导函数为，根的判别式判别式图象单调性增区间：，；减区间：增区间：增区间：图象（1）当时，恒成立，三次函数在上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；（2）当时，有两根，不妨设，则，可得三次函数在，上为增函数，在上为

7、减函数，则，分别为三次函数的两个不相等的极值点，那么： 若，则有且只有个零点； 若，则有个零点； 若，则有个零点特别地，若三次函数存在极值点，且，则地解析式为同理，对于三次函数，其性质也可类比得到9、由于三次函数的导函数为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点，此结论可以由对称性的定义加以证明事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同导数的几何意义就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后

8、根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围14、两类零点问题的不同处理方法利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且直接法：判断-一个零点

9、时，若函数为单调函数，则只需取值证明分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现16、已知函数零点个数求参数的常用方法（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围（2）分类

10、讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围1（2021新高考）若过点可以作曲线的两条切线，则ABCD2（2021乙卷）设，若为函数的极大值点，则ABCD3（多选题）（2023新高考）若函数既有极大值也有极小值，则ABCD4（多选题）（2022新高考）已知函数，则A有两个极值点B有三个零点C点是曲线的对称中心D直线是曲线的切线5（2022新高考）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ，6（2021新高考）已知函数，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 7（

11、2023乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 8（2022乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点若，则的取值范围是 9（2022新高考）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ，10（2022上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，若将方程的正实数根从小到大依次记为，则考点一：函数零点问题之分段分析法模型例1（2023浙江宁波高三统考期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（）ABCD例2（2023全国高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）ABCD例3（2023全国高三校联考专题练习）已知函数的图象上存在三个不同点

12、，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）ABCD考点二：函数嵌套问题例4（2023全国高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为AB或C或D或或例5（2023全国高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A3B4C2或3或4或5D2或3或4或5或6例6（2023全国高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A3B1或3C4或6D3或4或6考点三：函数整数解问题例7（2023福建龙岩高三上杭一中校考阶段练习）若函数没有零点，则整数的最大值是（）A3B

13、2C1D0例8（2023福建泉州高三泉州五中校考）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（）ABCD例9（2023全国高三专题练习）已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（）ABCD考点四：唯一零点求值问题例10（2023全国高三专题练习）已知函数有唯一零点，则负实数ABCD或例11（2023全国高三专题练习）已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（）ABC1D2例12（2023春辽宁高三校联考期末）已知函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（）A或

14、B1或C或D或1例13（2023春福建泉州高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数有唯一零点，则（）ABCD1考点五：等高线问题例14（2023全国高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于对称，当时，若方程有四个不等实根，时，都有成立，则实数的最小值为（）ABCD例15（2023全国高三专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（）ABCD例16（2023吉林长春东北师大附中校考模拟预测）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（）ABCD考点六：分段函数零点问题例17（2023全国高三专题练

15、习）已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（）ABCD例18（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）ABCD例19（2023全国高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（）A3B4C5D6考点七：函数对称问题例20（2023全国高三专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）ABCD例21（2023上海高三专题练习）已知函数f（x）x2ex （x0）与g（x）x2ln（xa）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）ABCD 例22（2023广西钦州高一校考阶段练习）若直

16、角坐标平面内的两点、满足条件：、都在函数的图象上；、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（点对与看作同一对“友好点对”）已知函数，则此函数的“友好点对”有（）A4对B3对C2对D1对考点八：零点嵌套问题例23（2023全国高三专题练习）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（）A1BCD例24（2023全国高三专题练习）已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为ABCD例25（2023辽宁校联考二模）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（）A81B81C9D9考点九：函数零点问题之三变量问题例26（2023辽宁沈阳高三沈阳二中校考阶段练习）已知函数，若函数有三个不同的零点，且

17、，则的取值范围为A(0，1B(0，1)C(1，+)D1，+)例27（2023新疆阿克苏高三新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学校考阶段练习）若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a(y-2ex)(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()ABCD(-,0)例28（2023全国高三专题练习）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）ABCD考点十：倍值函数例29（2023春浙江衢州高二校联考期中）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：在上是单调函数；在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”下列结论错误的是（）A函

18、数存在“和谐区间”B函数不存在“和谐区间”C函数存在“和谐区间”D函数（且）不存在“和谐区间”例30（2023上海金山高一上海市金山中学校考期末）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是A函数存在“和谐区间”B函数不存在“和谐区间”C函数存在“和谐区间”D函数（，）不存在“和谐区间”考点十一：函数不动点问题例31（2023全国高三专题练习）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是ABCD例32（2023全国高二专题练习）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值

19、范围是（）ABCD例33（2023江西南昌高三专题练习）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在使得，则的取值范围是（）ABCD考点十二：函数的旋转问题例34（2023全国高三专题练习）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中的取值只可能是AB1CD0例35（2023上海杨浦高三上海市控江中学校考阶段练习）是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A0B1C2D3例36（2023内蒙古呼和浩特高一呼市二中校考期末）设D是含有数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图象绕原点逆时针

20、旋转90与原图象重合，则的值一定不可能为（）A4B3C2D1考点十三：构造函数解不等式例37（2023全国高三专题练习）已知函数是定义在的奇函数，当时，则不等式的解集为（）ABCD例38（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，则不等式的解集为（）ABCD例39（2023湖北孝感高三校联考阶段练习）对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，则不等式的解集是（）ABCD例40（2023全国高三专题练习）是定义在上的函数，满足，则下列说法正确的是（）A在上有极大值B在上有极小值C

21、在上既有极大值又有极小值D在上没有极值考点十四：导数中的距离问题例41（2023浙江高三专题练习）已知函数，若对任意的正实数t，在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（）ABCD例42（2023全国高三专题练习）若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是ABCD例43（2023全国高三专题练习）已知实数满足，则的最小值为（）AB1CD2例44（2023全国高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为ABCD例45（2023春新疆乌鲁木齐高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（）ABCD考点十五：导数的同构思

22、想例46（2023全国高三专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为（）ABCD例47（2023上海高三专题练习）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）ABCD例48（2023全国高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（）ABCD考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法例49（2023全国模拟预测）已知函数，对于恒成立，则满足题意的a的取值集合为（）ABCD例50（2023广东高三校联考阶段练习）已知函数对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD例51（2023四川南充四川省南充高级中学校考模拟预测）若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数

23、的最小值为（）ABCD考点十七：三次函数问题例52（2023全国高三专题练习）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若，则的值为（）A4B2C0D2例53（2023秋北京高三校考阶段练习）如图是某高山滑雪场的一段滑道的示意图，图中该段滑道对应的曲线可以近似看作某个三次函数图像的一部分，A，B两点分别是这段滑道的最高点和最低点（在这个三次函数的极值处）.在A，B两点之间的滑道的最陡处，滑道的坡度为（坡度即坡面与水平面所成角的正切值），经测量A，B两点在水平方向的距离为90m，则它们在竖直方向上的距离约为（）A20mB30mC45mD

24、60m例54（2023全国高三专题练习）一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（）ABCD考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直问题例55（2023春四川成都高三树德中学校考开学考试）已知函数则下列四个说法中正确的个数为（）曲线上存在三条互相平行的切线；函数有唯一极值点；函数有两个零点；过坐标原点O可作曲线的切线A4B3C2D1例56（2023春全国高三校联考开学考试）已知过点不可能作曲线的切线对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（）ABCD例57（2023秋上海闵行高三

25、上海市七宝中学校考期末）若函数的图像上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（）ABCD例58（2023秋天津滨海新高三大港一中校考阶段练习）已知函数，其导函数为，设，下列四个说法：；当时，；任意，都有；若曲线上存在不同两点，且在点，处的切线斜率均为，则实数的取值范围为.以上四个说法中，正确的个数为（）A3个B2个C1个D0个例59（2023全国高三专题练习）若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（）ABCD考点十九：任意存在性问题例60（2023全国高三专题练习）某同学对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确的有（

26、）个.（1）函数的图像关于y轴对称； （2）对定义域中的任意实数的值，恒有成立；（3）函数的图像与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；（4）对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且.A1B2C3D4例61（2023全国高三专题练习）对于任意都有，则的取值范围为（）ABCD例62（2023全国高三专题练习）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（）ABCD例63（2023吉林长春十一高校联考模拟预测）已知函数（，）在区间上总存在零点，则的最小值为（）ABCD考点二十：双参数最值问题例64（2023全国高三专题练习）已知在函数，若对，恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD例6

27、5（2023全国高三专题练习）已知实数，满足，则的值为ABCD例66（2023春河南南阳高二统考期中）已知e为自然对数的底数，a，b为实数，且不等式对任意的恒成立则的最大值为_考点二十一：切线斜率与割线斜率例67（2023全国高三专题练习）已知函数 ，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，则实数的取值范围是（）ABCD例68（2023春全国高三校联考阶段练习）已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，则实数的取值范围是（）ABCD例69（2023全国高三专题练习）已知函数，在其图象上任取两个不同的点、，总能使得，则实数的取值范围为（）ABCD考点二十二：最大值

28、的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）例70（2023湖北高一校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（）A1B0CD1例71（2023全国高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（）ABCD例72（2023全国高三专题练习）设函数，当时，记的最大值为，若恒成立，则的最大值为（）AeBC0D例73（2023全国高三专题练习）已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（）A0B1C2D考点二十三：两边夹问题和零点相同问题例74（2023全国高三专题练习）若存在正实数x，y使得不等式成立，则（）ABCD例75（20

29、23全国高三专题练习）已知实数，满足，则的值为ABCD例76（2023江苏高一专题练习）若不等式对任意实数恒成立，则（ ）AB0C1D2考点二十四：函数的伸缩变换问题例77（2023春四川高一阶段练习）定义域为的函数满足，当时，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为ABCD例78（2023秋河北唐山高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD例79（2023全国高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD考点二十五：V型函数和平底函数例80（浙江省衢州市2022-2023学年高二下学期数学试题

30、）已知等差数列满足：，则的最大值为（）A18B16C12D8例81（浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知等差数列满足，则的最大值为（）A14B13C12D11例82（上海市川沙中学2022-2023学年高一第二学期期末数学试题）等差数列，满足，则（ ）A的最大值为50B的最小值为50C的最大值为51D的最小值为51考点二十六：曼哈顿距离与折线距离例83（2023全国高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，则，两点的“曼哈顿距离

31、”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（）ABCD例84（2023四川高二树德中学校考阶段练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为.若点，Q是圆上任意一点，则的取值范围为（）ABCD例85（2023高二课时练习）“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创之间，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：.在此定义下，已知点，满足的点M轨迹围成的图形面积为（）A2B1C4D例86（2023全国高三专题练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：若点，点为圆上一动点，则的最大值为（）ABCD