专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类（26大核心考点）（讲义）（解析版）.docx

1、专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类【目录】 233612考点一：函数零点问题之分段分析法模型12考点二：函数嵌套问题14考点三：函数整数解问题17考点四：唯一零点求值问题20考点五：等高线问题22考点六：分段函数零点问题25考点七：函数对称问题29考点八：零点嵌套问题31考点九：函数零点问题之三变量问题34考点十：倍值函数36考点十一：函数不动点问题38考点十二：函数的旋转问题40考点十三：构造函数解不等式42考点十四：导数中的距离问题45考点十五：导数的同构思想49考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法51考点十七：三次函数问题54考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直

2、问题56考点十九：任意存在性问题62考点二十：双参数最值问题65考点二十一：切线斜率与割线斜率67考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）69考点二十三：两边夹问题和零点相同问题72考点二十四：函数的伸缩变换问题74考点二十五：V型函数和平底函数76考点二十六：曼哈顿距离与折线距离78有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.考点要求考题统计考情分析零点2023年II卷第11题，5分2022年

3、I卷第10题，5分2021年I卷第7题，5分【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立具体估计为：（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题不等式2021年II卷第16题，5分三次函数2022年 I卷第10题，5分2021年 乙卷第12题，5分 1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所

4、求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式4、分段函数零点的求解与判断方法：（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函

5、数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解5、动态二次函数中静态的值：解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题6、动态二次函数零点个数和分布问题：通常转化为相应二次函数的图象与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：（1）对称轴变动，区间固定；（2）对称轴固定，区间变动；（3）对称轴变动，区间也变动这时要讨论

6、对称轴何时在区间之内，何时在区间之外讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点具体来说，对于三次函数，其导函数为，根的判别式判别式图象单调性增区间：，；减区间：增区间：增区间：图象（1）当时，恒成立，三次函数在上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；（2）当时，有两根，不妨设，则，可得三次函数在，上为增函数，在上为

7、减函数，则，分别为三次函数的两个不相等的极值点，那么： 若，则有且只有个零点； 若，则有个零点； 若，则有个零点特别地，若三次函数存在极值点，且，则地解析式为同理，对于三次函数，其性质也可类比得到9、由于三次函数的导函数为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点，此结论可以由对称性的定义加以证明事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同导数的几何意义就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后

8、根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围14、两类零点问题的不同处理方法利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且直接法：判断-一个零点

9、时，若函数为单调函数，则只需取值证明分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现16、已知函数零点个数求参数的常用方法（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围（2）分类

10、讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围1（2021新高考）若过点可以作曲线的两条切线，则ABCD【答案】【解析】法一：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，即切点坐标在轴上方，如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立点在轴或下方时，只有一条切线如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知故选：法二：设过点的切线横坐标为，则切线方程为，可得，设，可得，是增函数，是减函数，因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线故选：2（20

11、21乙卷）设，若为函数的极大值点，则ABCD【答案】【解析】令，解得或，即及是的两个零点，当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；综上，故选：3（多选题）（2023新高考）若函数既有极大值也有极小值，则ABCD【答案】【解析】函数定义域为，且，由题意，方程即有两个正根，设为，则有，即故选：4（多选题）（2022新高考）已知函数，则A有两个极值点B有三个零点C点是曲线的对称中心D直线是曲线的切线【答案】【解析】，令，解得或，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，且，有两个极值点，有

12、且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；又，则关于点对称，故选项正确；假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，显然和均不在曲线上，故选项错误故选：5（2022新高考）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ，【答案】，【解析】，设切点坐标为，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，整理得：，切线存在两条，方程有两个不等实根，解得或，即的取值范围是，故答案为：，6（2021新高考）已知函数，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 【答案】【解析】当时，导数为，可得在点，处的斜率为，切线的方程为，令，可得，即，当时，导数为，可得在点，处的斜率为，令，可得，即

13、，由的图象在，处的切线相互垂直，可得，即为，所以故答案为：7（2023乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 【答案】的取值范围是，【解析】函数在上单调递增，在上恒成立，即，化简可得在上恒成立，而在上，故有，由，化简可得，即，解答，故的取值范围是，故答案为：，8（2022乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点若，则的取值范围是 【答案】【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得：，当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，则在单调递减，单调递增，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，则在单

14、调递增，单调递减，且，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，故仅需满足，即：，解得：，又因为，故综上所述：的取值范围是9（2022新高考）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ，【答案】，【解析】当时，设切点坐标为，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，切线方程为，即，当时，与的图像关于轴对称，切线方程也关于轴对称，切线方程为，综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，故答案为：，10（2022上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，若将方程的正实数根从小到大依次记为，则【答案】2【解析】函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，是周期为4的周期函数，图像如

15、图：将方程的正实数根从小到大依次记为，则的几何意义是两条渐近线之间的距离2，故答案为：2考点一：函数零点问题之分段分析法模型例1（2023浙江宁波高三统考期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】因为函数至少存在一个零点所以有解即有解令，则因为，且由图象可知，所以所以在上单调递减，令得当时，单调递增当时，单调递减所以且当时所以的取值范围为函数的值域，即故选：A例2（2023全国高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】令，即令，则函数与函数的图象至少有一个交点易知，函数表示开口向上，对称轴为的

16、二次函数，函数在上单调递增，在上单调递减，作出函数与函数的草图，如下图所示由图可知，要使得函数与函数的图象至少有一个交点只需，即解得：故选：B例3（2023全国高三校联考专题练习）已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】令，则由题意可得函数的图象与函数的图象有三个交点，即方程有三个不同的实数根由可得，即，令，则直线与函数的图象有三个交点，易得，当或时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为，极大值为又，所以当时，直线与函数的图象有三个交点，故实数的取值范

17、围为故选B考点二：函数嵌套问题例4（2023全国高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为AB或C或D或或【答案】A【解析】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：令，则方程必有两个根，且，不仿设 ，当时，恰有，此时，有个根，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.例5（2023全国高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A3B4C2或3或4或5D2或3或4或5或6【答案】A【解析】根据题意作出函数的图象：，当，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以；函数，时

18、单调递减，所以，对于方程，令，则，所以，即方程必有两个不同的实数根，且，当时，3个交点；当时，也是3个交点；故选：A例6（2023全国高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A3B1或3C4或6D3或4或6【答案】B【解析】由已知，令，解得或，则函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值，最小值.f(x)的图象如下：综上可考查方程的根的情况如下： （1）当或时，有唯一实根；（2）当时，有三个实根；（3）当或时，有两个实根；（4）当时，无实根.令，则由，得，当时，由，符号情况（1），此时原方程有1个根，由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根

19、；当时，由，又，符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，综上得共1个或3个根.综上所述，的值为1或3.故选B.考点三：函数整数解问题例7（2023福建龙岩高三上杭一中校考阶段练习）若函数没有零点，则整数的最大值是（）A3B2C1D0【答案】C【解析】函数定义域为，函数没有零点可转化为方程没有实根，设，则令，即，又函数，所以恒成立，所以在单调递增，所以方程即，即，有唯一的实数解且函数在上，单调递减，在上，单调递增，所以有最小值,又时，所以方程没有实根，可得则整数的最大值是1.故选：C.例8（2023福建泉州高三泉州五中校考）关于的不等式的解集

20、中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】D【解析】依题意，关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，即的解集中有且仅有两个大于2的整数，构造函数，即的解集中有且仅有两个大于2的整数，当时，对于，即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.所以.若，即，设，设，在上递减，且，所以当时，递减，由于，所以当时，所以当时，递减，所以，所以当时，恒成立，即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.所以，即，解得，所以的取值范围是.故选：D例9（2023全国高三专题练习）已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析

21、】当时，由，可得（），显然当时，不等式在恒成立，不合题意；当时，令，则在上单调递增，令，则，故上，上，在上递增，在上递减，又且趋向正无穷时趋向0，故，综上，图象如下：由图知：要使有两个正整数解，则，即，解得故选：D考点四：唯一零点求值问题例10（2023全国高三专题练习）已知函数有唯一零点，则负实数ABCD或【答案】A【解析】函数有唯一零点，设则函数有唯一零点，则 设 为偶函数，函数 有唯一零点，与有唯一的交点，此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去），故选A例11（2023全国高三专题练习）已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（）ABC1D2【答案】

22、C【解析】由题设，可得：，由，易知：关于对称.当时，则，所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大，所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得.故选：C例12（2023春辽宁高三校联考期末）已知函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（）A或B1或C或D或1【答案】C【解析】由题意，函数，分别是奇函数和偶函数，且，可得，解得，则，所以为偶函数，又由函数关于直线对称，且函数有唯一零点，可得，即，即，解得或.故选：C.例13（2023春福建泉州高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数有唯一零点，则（）ABCD1【答案】B【解

23、析】因为函数，令，则为偶函数，因为函数有唯一零点，所以有唯一零点，根据偶函数的对称性，则，解得，故选：B考点五：等高线问题例14（2023全国高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于对称，当时，若方程有四个不等实根，时，都有成立，则实数的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】作出函数的图象，如图，作直线，它与图象的四个交点的横坐标依次为，因为函数的图象关于对称，所以，即，且，显然，不等式变形为，所以，由勾形函数性质知在时是增函数，所以，令，则，当时，单调递减，所以，所以，即的最小值是故选：A例15（2023全国高三专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，

24、则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，即必有两个不相等的实根，不妨设，则，作出的图象，函数与三个不等实根，且，那么，可得，所以，构造新函数当时，在单调递减；当时，在单调递增；当时，取得最小值为，即的最小值为；故选：A例16（2023吉林长春东北师大附中校考模拟预测）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（）ABCD【答案】A【解析】由解析式，在上单调递增且值域为，在上单调递增且值域为，函数图象如下：所以，的值域在上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在上任意函数值都有一个x值与之对应，要使恰有三个不同的零

25、点，则与的交点横坐标一个在上，另一个在上，由开口向下且对称轴为，由上图知：，此时且，结合图象及有，则，所以，且，令且，则，当时，递增；当时，递减；所以，故最大值为.故选：A考点六：分段函数零点问题例17（2023全国高三专题练习）已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.函数的对称轴为直线，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.当时，即当时，则函数在上无零点，所以，函数在上有个零点，当时，则，由题意可得，解得，此时不存在；当时，即当时，函数在上只有一个零点，当时，则，则函数在上只有个零点，此时，函

26、数在上的零点个数为，不合乎题意；当时，即当时，函数在上有个零点，则函数在上有个零点，则，解得，此时；当时，即当时，函数在上有个零点，则函数在上有个零点，则，解得，此时，.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.例18（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】，故，则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解，故的图象有两个不同的交点，设又的图象如图所示，由图象可得两个函数的图象均过原点，若，此时两个函数的图象有两个不同的交点，当时，考虑直线与的图象相切，则由可得即，考虑直线与的图象相切，由可得，则即.考虑直线与的图象相切，由可得即

27、，结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点，综上，或或，故选：B.例19（2023全国高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（）A3B4C5D6【答案】B【解析】令，当时，且递增，此时，当时，且递减，此时，当时，且递增，此时，当时，且递增，此时，所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：由图知：与有两个交点，横坐标、：当，即时，在、上各有一个解；当，即时，在有一个解.综上，的零点共有4个.故选：B考点七：函数对称问题例20（2023全国高三专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】设上一点，且关于

28、轴对称点坐标为，在上，有解，即有解令，则，当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增， 有解等价于与图象有交点，故选：B例21（2023上海高三专题练习）已知函数f（x）x2ex （x0,且t1),则a=(2e-t)ln t.令f(t)=(2e-t)ln t,f(t)0,则f(t)=-(1+ln t).令=1+ln t,得t=e.由数形结合可知,当te时,f(t)0;当0t0.所以f(t)e,且f(t)0,所以0e或0,解得a0或a.例28（2023全国高三专题练习）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】由得，设，则，则有解，设，

29、为增函数，当时，递增，当时，递减，所以当时函数取极小值，即，若有解，则，即，所以或，故选：B考点十：倍值函数例29（2023春浙江衢州高二校联考期中）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：在上是单调函数；在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”下列结论错误的是（）A函数存在“和谐区间”B函数不存在“和谐区间”C函数存在“和谐区间”D函数（且）不存在“和谐区间”【答案】D【解析】对于选项A，存在区间，在上是单调增函数，在上的值域是，故A正确；对于选项B，假设存在区间，函数在区间上为增函数，由在上的值域是，可得，解得 ，这与矛盾，故假设错误，所以选项B正确；对于选项C，由函数，可得，取区

30、间，在此区间上，所以函数在区间上为增函数因为，所以函数在区间上的值域为，所以选项C正确；对于选项D，不妨设，因为内层函数为增函数，外层函数也为增函数，所以，函数在其定义域内为增函数，假设函数存在“和谐区间”，则由得，所以、是方程的两个根，即、是方程的两个根令，可得，设关于的二次方程的两根分别为、，则，则、，即关于的二次方程有两个正根，故函数存在“和谐区间”，D错.故选：D.例30（2023上海金山高一上海市金山中学校考期末）设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是A函数存在“和谐区间”B函数不存在“和

31、谐区间”C函数存在“和谐区间”D函数（，）不存在“和谐区间”【答案】D【解析】函数中存在“和谐区间”,则在内是单调函数；或,若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得存在“和谐区间”正确.若,若存在“和谐区间”,则此时函数单调递增,则由,得,即是方程的两个不等的实根,构建函数,所以函数在上单调减,在上单调增,函数在处取得极小值，且为最小值,无解,故函数不存在“和谐区间”,正确.若函数,若存在“和谐区间”,则由,得,即存在“和谐区间”,正确.若函数,不妨设,则函数定义域内为单调增函数,若存在“和谐区间”, 则由,得,即是方程的两个根,即是方程的两个根,由于该方程有两个不等的正根，故存在

32、“和谐区间”,结论错误,故选D.考点十一：函数不动点问题例31（2023全国高三专题练习）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是ABCD【答案】D【解析】法一：由题意可得，而由可知，当时，为增函数，时， 不存在使成立，故A，B错；当时，当时，只有时才有意义，而，故C错故选D法二：显然，函数是增函数，由题意可得，而由可知，于是，问题转化为在上有解由，得，分离变量，得，因为，所以，函数在上是增函数，于是有，即，应选D例32（2023全国高二专题练习）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】曲线上存在点 函数（）在上是增

33、函数，根据单调性可证即在上有解，分离参数，根据是增函数可知，只需故选A.例33（2023江西南昌高三专题练习）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在使得，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由，可得，其中是函数的反函数，若曲线上存在使得，因为函数（，为自然对数的底数），所以，因为，所以，因此命题“若曲线上存在使成立”转化为“存在，使”，即的图像与函数的图像在上有交点，的图像与的图像关于直线对称，的图像与函数的图像的交点必定在直线上，由此可得，的图像与直线的图像在上有交点，根据，化简整理得，记，在同一坐标系内作出它们的图像，可得，所以 ，解得，即实数的取值范围为，故B，C，D错误.故

34、选：A考点十二：函数的旋转问题例34（2023全国高三专题练习）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中的取值只可能是AB1CD0【答案】B【解析】由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合设处的点为，的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，旋转后的对应点也在的图象上，同理的对应点也在图象上，以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当（1）时，即，此时，不满足函数定义；当（1）时，即，此时，不满足函数定义；当（1）时，即，此时，不满足函数定义；故选例35（2023上海杨浦高三上海市控江

35、中学校考阶段练习）是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A0B1C2D3【答案】C【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合我们可以通过代入和赋值的方法当f（）=，3时，此时得到的圆心角为，然而此时x=0或者x=时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，故答案为：C例36（2023内蒙古呼和浩特高一呼市二中校考期末）设D是含有数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转90与原图

36、象重合，则的值一定不可能为（）A4B3C2D1【答案】D【解析】对于上一点绕原点逆时针旋转90后对应点为，也在图象上，所以，绕原点逆时针旋转90后对应点为，且绕原点逆时针旋转90后对应点为，均在图象上，所以，在含有数1的有限实数集D中，若，则有，若，则有，若，则有，若，则有，显然当时有2个y与之对应，不符合函数的定义，的值一定不可能为1.故选：D.考点十三：构造函数解不等式例37（2023全国高三专题练习）已知函数是定义在的奇函数，当时，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【解析】令，当时，当时，在上单调递减； 又为的奇函数，即为偶函数，在上单调递增； 又由不等式得，当，即时，不等式可化为，

37、即，由在上单调递减得，解得，故；当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递增得，解得，故；综上所述，不等式的解集为：故选：D例38（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】令，所以，因为，所以，化简得，所以是上的奇函数；，因为当时，所以当时，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；考虑到，由，得，即，由在上单调递增，得解得，所以不等式的解集为，故选：B.例39（2023湖北孝感高三校联考阶段练习）对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.

38、类比上述解题思路，则不等式的解集是（）ABCD【答案】A【解析】由不等式，得.设函数，则，所以在上单调递增.因为，所以.解得或.故选：A.例40（2023全国高三专题练习）是定义在上的函数，满足，则下列说法正确的是（）A在上有极大值B在上有极小值C在上既有极大值又有极小值D在上没有极值【答案】D【解析】根据题意，故，又，得，故，令，则，即，记，所以， 当时，当时，所以函数在上递减，在上递增，所以，即，即，所以在上单调递增，故在上没有极值.故选项ABC说法错误，选项D说法正确. 故选：D考点十四：导数中的距离问题例41（2023浙江高三专题练习）已知函数，若对任意的正实数t，在R上都是增函数，则

39、实数a的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】由题意在R上恒成立，其中，整理得对恒成立，所以对恒成立，令，时，递减，时，递增，所以，所以的最小值是16，所以故选：D例42（2023全国高三专题练习）若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是ABCD【答案】A【解析】因为函数在上都是增函数，所以恒成立，即对任意的实数，在上恒成立，所以，故只需的最小值令， ，由于时，；时，即时，取得最小，故选：A例43（2023全国高三专题练习）已知实数满足，则的最小值为（）AB1CD2【答案】D【解析】 ，令 ，则，其几何意义为点A 与点 之间距离的平方，设 ，则点A和B分别在 和 的图像上，如

40、下图，显然 和互为反函数，其图像关于y=x对称，则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称，不妨设 ，则 ， ，设 ， ，当 ， ，在x=1处取得最小值 ，即 ，当 取最小值时，即是 取得最小值， 的最小值为 ；故选：D.例44（2023全国高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为ABCD【答案】A【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，令解得，由于，可知当时，递增，时，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，当时，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递

41、增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A.例45（2023春新疆乌鲁木齐高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】，且在上递增；，且在上递增.所以，且都有唯一解，构造函数，所以在区间递减；在区间递增.所以的最小值为.所以的最小值为.故选：A考点十五：导数的同构思想例46（2023全国高三专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为（）ABCD【答案】A【解析】由已知可得，由可得，所以，构造函数，其中，则，故函数在上为增函数，由可得，所以，即，令，其中，则.当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，

42、则，解得，故实数的最大值为.故选：A.例47（2023上海高三专题练习）若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】由题设可得，令，则在上恒成立，由，在上；在上；所以在上递增；在上递减，且，在上，上，而，所以，只需在上恒成立，即恒成立，令，则，即在上递增，故.故a的取值范围为.故选：B例48（2023全国高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，即，构造函数，所以，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时因为当时，单调递减，故，两

43、边取对数得：，令，则，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减，所以故a的最小值是故选：C考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法例49（2023全国模拟预测）已知函数，对于恒成立，则满足题意的a的取值集合为（）ABCD【答案】D【解析】因为函数，对于恒成立，所以，对于恒成立，所以，对于恒成立，设，则为上的增函数，所以，则，对于恒成立，设，则，当时，恒成立，所以在上为增函数，因为，所以存在，使得，不满足，对于恒成立；当时，令，得，所以当时，为减函数，当时，为增函数，所以，则，设，则，令，得，当时，为增函数，当时，为减函数，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即.综上所述：的取值集

44、合为.故选：D例50（2023广东高三校联考阶段练习）已知函数对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】因为，且恒成立，则在上恒成立，令，则，令，则，所以在上单调递增，又因为，所以存在，使得，当时，也即，此时函数单调递减；当时，也即，此时函数单调递增；故，因为，所以，则，令，则，所以在上单调递增，则有，所以，所以，则，故选：.例51（2023四川南充四川省南充高级中学校考模拟预测）若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】令，其中，则， 当时，则函数在上单调递增，且，令，则，因为函数在上单调递增，所以，存在，使得，当时，此时函数单

45、调递增，当时，此时函数单调递减，如下图所示：由题意得，直线恒位于的图象上方，的图象下方，代表直线在轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过且与曲线相切时，最小设切点为，则，整理可得，令，则，而当时，所以，所以当时，则函数在上单调递增，所以有唯一的零点，所以，此时直线方程为，故.故选：C.考点十七：三次函数问题例52（2023全国高三专题练习）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若，则的值为（）A4B2C0D2【答案】A【解析】设的对称中心为，设，则为奇函数，由题可知，且，所以，即，则，整理得，所以，解得，所以函数的对称中心为；所以

46、，故选：A例53（2023秋北京高三校考阶段练习）如图是某高山滑雪场的一段滑道的示意图，图中该段滑道对应的曲线可以近似看作某个三次函数图像的一部分，A，B两点分别是这段滑道的最高点和最低点（在这个三次函数的极值处）.在A，B两点之间的滑道的最陡处，滑道的坡度为（坡度即坡面与水平面所成角的正切值），经测量A，B两点在水平方向的距离为90m，则它们在竖直方向上的距离约为（）A20mB30mC45mD60m【答案】B【解析】把函数图象平移到在轴，在轴上，如图，新函数计算出的竖直方向上的距离与原函数结果相同，由题意题中三次函数的导函数是二次函数，记为，的最小值是，设，则，因此可设，所以它们在竖直方向上

47、的距离约为30 m，故选：B例54（2023全国高三专题练习）一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由函数求导得：，则，由解得，则有，当或时，当时，则在，上单调递增，在上单调递减，因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，于是得，解得，综上得：，实数a的取值范围是.故选：A.考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直问题例55（2023春四川成都高三树德中学校考开学考试）已知函数则下列四个说法中正确的个数为

48、（）曲线上存在三条互相平行的切线；函数有唯一极值点；函数有两个零点；过坐标原点O可作曲线的切线A4B3C2D1【答案】B【解析】，则当或，在，.对，大致图象如图所示，可知方程可能有三个根，即存在三个极值点，故存在三条互相平行的切线，正确；对，结合单调性及大致图象，则存在，使得，则当；，故正确；对，则，则大致图象如图，故正确；设过原点的直线与相切于点，则有，消元整理可得，易知此方程无解，故错误综上，正确的是故选：B.例56（2023春全国高三校联考开学考试）已知过点不可能作曲线的切线对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】设是曲线上的任

49、意一点，所以在点处的切线方程为，代入点得，由于过点不可能作曲线的切线，则直线与函数的图象没有公共点，所以函数在区间上导数大于零，函数单调递增；在区间上导数小于零，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值也即是最大值，则对于满足此条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，等价于恒有两个不同的变号零点，等价于方程有两个不同的解令，则，即直线与函数的图象有两个不同的交点记，则，记，则，所以在上单调递增令，得当时，当时，所以在上单调递减，上单调递增所以所以因为，所以，所以即实数a的取值范围是故选：A例57（2023秋上海闵行高三上海市七宝中学校考期末）若函数的图像上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线

50、重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（）ABCD【答案】D【解析】对于A， 显然是偶函数， ，当 时， ，单调递减，当 时， 单调递增，当 时， ，单调递减，当 时，单调递增；在 时， ，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A是“切线重合函数”；对于B， 是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B是“切线重合函数”；对于C，考察 两点处的切线方程， ， 两点处的切线斜率都等于1，在A点处的切线方程为 ，化简得： ，在B点处的切线方程为 ，化简得 ，显然重合， C是“切线重合函数”；对于D， ，令 ，则 ， 是增函数，不存在 时， ，所以D不是“切线

51、重合函数”；故选：D.例58（2023秋天津滨海新高三大港一中校考阶段练习）已知函数，其导函数为，设，下列四个说法：；当时，；任意，都有；若曲线上存在不同两点，且在点，处的切线斜率均为，则实数的取值范围为.以上四个说法中，正确的个数为（）A3个B2个C1个D0个【答案】B【解析】对于，函数，当时，取到等号，故不正确；对于，设，所以在恒成立，则在上单调递减，故，即，又，则，所以，可得令，所以在恒成立，则在上单调递减，故，即，所以，综上，恒成立，故正确；对于，设，则，因为，所以，又，设，所以，又，所以，则恒成立，所以在上单调递增，则，所以，单调递减，则恒成立，所以，即，故正确；对于，因为，所以，令

52、，则得，所以，单调递增，单调递减，所以，又得，且则可以得的图象如下：因为曲线上存在不同两点，且在点，处的切线斜率均为，所以，则与应存在两个不同的交点，所以，故不正确.综上，正确，不正确.故选：B.例59（2023全国高三专题练习）若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（）ABCD【答案】C【解析】因为，所以，因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，不妨设函数在和的切线互相垂直，则，即，因为a一定存在，即方程一定有解，所以，即，解得或，又，所以或，所以方程变为，所以，故A，B，D错误.故选：C.考点十九：任意存在性问题例60（2023全国高三专题练习）某同学对函数进行研究后，得出以下

53、结论，其中正确的有（ ）个.（1）函数的图像关于y轴对称； （2）对定义域中的任意实数的值，恒有成立；（3）函数的图像与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；（4）对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且.A1B2C3D4【答案】C【解析】对于（1）：函数的定义域为，为偶函数，图象关于轴对称，故（1）正确.对于（2）：由（1）知为偶函数，当时，令，所以在上单调递增，即恒成立.故（2）正确.对于（3）：函数的图象与轴的交点坐标为，交点与的距离为，其余任意相邻两点的距离为，故（3）错误.对于（4）：，当，时，每段区间的长度为，所以对任意常数，存在常数，使在上单调递减且，故（4）正确.故

54、选：C.例61（2023全国高三专题练习）对于任意都有，则的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】，令，则，所以在上单调递减，在上单调递减，所以，所以，所以转化为：，令，当时，所以在上单调递增，所以，所以.当时，您，所以，（i）当即时，所以在上单调递增，所以.(ii)当即时， 在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.综上，的取值范围为：.故选：B.例62（2023全国高三专题练习）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】由题设，令，则恒成立，令，则，当时，递减；当时，递增；所以，故递增，当，即时，不合题意；当，即时，要使恒成立，则恒成立，令且，则，当时，递

55、减；当时，递增；所以，故在上递增，而，此时时，即恒成立.综上，的取值范围为.故选：A例63（2023吉林长春十一高校联考模拟预测）已知函数（，）在区间上总存在零点，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】设为函数在区间上的零点，因为函数（，）在区间上总存在零点，所以，即，则点是直线上的点，所以（），设（），则设，则，令，则，当时，所以在上是增函数，则，即当时，所以在是增函数，则，即时，所以在上是增函数，则，综上：的最小值为，故选：A.考点二十：双参数最值问题例64（2023全国高三专题练习）已知在函数，若对，恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】由题意，令，则，恒成立，即恒

56、成立，即令令，即在单调递增；令，即在单调递减.令令，即在单调递增；令，即在单调递减；故选：B例65（2023全国高三专题练习）已知实数，满足，则的值为ABCD【答案】A【解析】设，则，令，(m)=m0,m1,(m)0,则在单调递增单调递减，令，则单调递减，单调递增由题意，,故x+y=2故选A例66（2023春河南南阳高二统考期中）已知e为自然对数的底数，a，b为实数，且不等式对任意的恒成立则的最大值为_【答案】【解析】依题意：不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，在上递增，则，由，令得，整理得.当时，此时，即，只需对任意的恒成立，令，所以在区间递增；在区间递减，所以.故答案为：考点二十一：切

57、线斜率与割线斜率例67（2023全国高三专题练习）已知函数 ，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】，在单调递减，设.设则在上单调递减，则对恒成立，则对恒成立， 则，解之得或.又，所以.例68（2023春全国高三校联考阶段练习）已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】，在单调递减设，则设，则在上单调递减则对恒成立则对恒成立，因为，则，即解得或，又，所以.故选：B例69（2023全国高三专题练习）已知函数，在其图象上任取两个不同的点、，总能使得，则实数的取值范围为（

58、）ABCD【答案】B【解析】由以及，所以，构造函数，则，所以，函数在上为增函数，由于，则对任意的恒成立，由，可得，当时，则，当且仅当时，等号成立，所以，因此实数的取值范围是.故选：B.考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）例70（2023湖北高一校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（）A1B0CD1【答案】C【解析】由已知得 设构造函数满足，即，解得，则，令，则函数可以理解为函数与函数在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，且（当且仅当时取等号），若设直线的方程为，直线的方程为，由此可知当，直线位于直线和直线中间时，纵坐标的竖直距离取得最大

59、值中的最小值，故，所以实数的最大值为.故选：.例71（2023全国高三专题练习）已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】由存在，使得成立，故，又对任意的实数a，b，则，可看作横坐标相同时，函数与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值，又，作示意图如图所示：设，则直线的方程，设与相切，则，得，有，得或，由图知，切点，则，当直线与，平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，函数与图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，此时，故.故选：B例72（2023全国高三专题练习）设函数，当时，记的最大值为，若恒成立，则的最大值为（）AeBC0D【

60、答案】C【解析】取绝对值后有以下四种情况:，设,故在恒成立,函数在上单调递增,函数在上单调递减,又函数在上为增函数,所以函数，在上为增函数,函数，在上为减函数,，恒成立，解得. 的最大值为 故选：C.例73（2023全国高三专题练习）已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（）A0B1C2D【答案】A【解析】，当时设的最大值，在端点处或最低点处取得，最小值为2，最小值为，最小值为4.5，最小值综上可得，取到最小值时0.故选：A考点二十三：两边夹问题和零点相同问题例74（2023全国高三专题练习）若存在正实数x，y使得不等式成立，则（）ABCD【答案】D【解析】记，当 时，；当 时，所以 在

61、 上单调递增，在 上单调递减，记，当 时，；当 时，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以由题意，又因为，所以，故故选：D.例75（2023全国高三专题练习）已知实数，满足，则的值为ABCD【答案】A【解析】设，则，令，(m)=m0,m1,(m)0,则在单调递增单调递减，令，则单调递减，单调递增由题意，,故x+y=2故选A例76（2023江苏高一专题练习）若不等式对任意实数恒成立，则（ ）AB0C1D2【答案】D【解析】当时，即时，恒成立，所以恒成立，所以且；当时，即时，恒成立所以或恒成立，所以且，综上，故选：D.考点二十四：函数的伸缩变换问题例77（2023春四川高一阶段练习）定义域为的

62、函数满足，当时，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为ABCD【答案】D【解析】当x0,1)时，f(x)=x2x,0当x1,2)时，f(x)=(0.5)|x1.5|1,，当x0,2)时，f(x)的最小值为1，又函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，当x2,0)时，f(x)的最小值为，当x4,2)时，f(x)的最小值为，若x4,2时，恒成立，恒成立即t24t+30，即(t3)(t1)0，即1t3，即t1,3，本题选择D选项.例78（2023秋河北唐山高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】当x(2,3),则x2(0,

63、1)，则f(x)=2f(x2)1=2(x2)22(x2)1，即为f(x)=2x210x+11，当x3，4，则x21，2，则f(x)=2f(x2)1=.当x(0,1)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为；当x1,2时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为；当x(2,3)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为；当x3,4时,当x=4时,f(x)取得最小值，且为0.综上可得,f(x)在(0,4的最小值为.若x(0,4时, 恒成立，则有.解得.当x(0,2)时,f(x)的最大值为1,当x(2,3)时,f(x),1)，当x3,4时,f(x)0,1，即有在(0,4上f(x)的最大值为1.由，即为，解得，

64、综上，即有实数t的取值范围是.故选：C.例79（2023全国高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】因为当时，不等式恒成立，所以，当时， 当时，当时， ，因此当时，选B.考点二十五：V型函数和平底函数例80（浙江省衢州市2022-2023学年高二下学期数学试题）已知等差数列满足：，则的最大值为（）A18B16C12D8【答案】C【解析】不为常数列，且数列的项数为偶数，设为则，一定存在正整数k使得或 不妨设，即， 从而得，数列为单调递增数列，且，同理即，根据等差数列的性质，所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误故选：

65、C.例81（浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知等差数列满足，则的最大值为（）A14B13C12D11【答案】A【解析】由题意，等差数列满足，可得等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即，由，则，即，即有，则，可得，解得，即有的最大值为，的最大值为.故选：A.例82（上海市川沙中学2022-2023学年高一第二学期期末数学试题）等差数列，满足，则（ ）A的最大值为50B的最小值为50C的最大值为51D的最小值为51【答案】A【解析】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，

66、解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.考点二十六：曼哈顿距离与折线距离例83（2023全国高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（）ABCD【答案】C【解析】根据题意：，两点的“曼哈顿距离”为，再结合四个选项可以判断只有C选项符合题意.故选：C例84（2023四川高二树德中学校考阶段练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词

67、汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为.若点，Q是圆上任意一点，则的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】根据题意,是圆上任意一点,设的坐标为,，则，若，即时，则，则当时，即时，取得最大值，当时，即时，取得最小值，则有,若,即时，则，则当时，即时，取得最大值，当时，即时，但此时无法取到，综上所述,故选：B.例85（2023高二课时练习）“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创之间，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：.在此定义下，已知点，满足的点M轨迹围成的图形面积为（）A2B1C4D【答案】A【解析】设，因为，所以，当时，则当时，当时，当时，当时，当时，当，所以点M的轨迹如图所示，是一个边长为的正方形，所以点M轨迹围成的图形面积为，故选：A例86（2023全国高三专题练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：若点，点为圆上一动点，则的最大值为（）ABCD【答案】D【解析】设点，则.当时，即当，因为，所以，当时，取得最大值；当时，即当时，因为，则，当时，取得最大值.综上所述，的最大值为.故选：D.