专题06 半角模型综合应用（能力提升）（解析版）.docx

1、 专题06 半角模型综合应用（能力提升）1 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且EAF45，将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，连接BD交AF于点M，DE2，BF3，则GM【答案】2【解答】解：连接GE交AF于点O，四边形ABCD是正方形，BADABFADEC90，ABADBCDC，ADBC，EAF45，BAF+DAEBADEAF904545，由旋转得：AEAG，ABFADE90，BGDE2，BAGDAE，BAG+BAF45，GAFEAF45，ABFABG90，GBCABG+ABF180，点G、B、F三点在同一条直线上，BF3，FGBG+BF2+35，GAFEAF（SAS

2、），FGFE5，设正方形ABCD的边长为x，CFx3，CEx2，在RtECF中，FC2+EC2EF2，（x3）2+（x2）252，x6或x1（舍去），正方形ABCD的边长为6，在RtABF中，AF3，ADBC，DAMMFB，ADMMBF，ADMFBM，2，AMAF2，在RtADE中，AE2，AGAE，FGFE，AF是EG的垂直平分线，AOE90，EAF45，AEAO，AO2，点M与点O重合，EG2GM，在RtECG中，ECDCDE624，GCBC+GB6+28，EG4，GM2，故答案为：22如图：已知正方形ABCD，动点M、N分别在DC、BC上，且满足MAN45，CMN的周长为2，则CMN面积

3、的最大值是 【答案】32【解答】解：四边形ABCD为正方形，BD90，ABAD，CDCB；如图，将ABN绕点A沿逆时针方向旋转90得到ADE，AEAN，DEBN，DAEBAN；MAEMAD+BAN，MAN45，MAD+BAN904545，MAEMAN；在MAE与MAN中，MAEMAN（SAS），MEMN，MD+BNMN；MCN的周长CM+CN+MNCM+ME+CNCM+DM+CN+BNCD+CB2，而CDCB，CDCB1；设DMx，BNy，CMN的面积为s，则S，整理得：x+yxy12S；由勾股定理得：MN2CM2+CN2，即（x+y）2（1x）2+（1y）2，整理得：x+y+xy1，联立得：

4、xys，x+y1s，x、y为方程z2（1s）z+s0的两个根，0，即（1s）24s0，解得：s或s（不合题意，舍去），故答案为323旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题已知，ABC中，ABAC，BAC，点D、E在边BC上，且（1）如图a，当60时，将AEC绕点A顺时针旋转60到AFB的位置，连结DFDAF ；求证：DFDE；（2）如图b，当90时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由【解答】（1）解：由旋转知，AFAE，BAFCAE，EAF60，DAE，BAC60，DAE6030，CAE+BADBACDAE30，DAFBAD

5、+BAFBAD+CAE30，故答案为：30；证明：由知，AFAE，DAFDAE30，ABAC，DAFDAE（SAS），DFDE；（2）解：DE2BD2+CE2，理由如下：如图，将AEC绕点A顺时针旋转90到AFB的位置，连结DF，AFAE，EAF90BAC，BAFCAE，BAFCAE（SAS），BFCE，ABFACE，在RtABC中，CABC45，ABF45，DBF90，根据勾股定理得，DF2BD2+BF2，DF2BD2+CE2，同（1）的方法得，DFDE，DE2BD2+CE24已知MBN60，等边BEF与MBN顶点B重合，将等边BEF绕顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与MBN的BN边相交于点

6、C，并在BM边上截取ABBC，连接AE（1）将等边BEF旋转至如图所示位置时，求证：CEBE+AE；（2）将等边BEF顺时针旋转至如图、图位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，若BF4，AE1，则CE 【解答】（1）证明：BEF为等边三角形，BEEFBF，EBF60，EBA+ABF60，MBN60，CBF+ABF60，EBACBF，在ABE与CBF中，ABECBF（SAS），AECF，CEEF+CF，CEBE+AE；（2）解：图结论为CEBEAE，图结论为CEAEBE，图的理由如下：BEF为等边三角形，BEEFBF，EBF60，EBA

7、+ABF60，MBN60，CBF+ABF60，EBACBF，在ABE与CBF中，ABECBF（SAS），AECF，CEEFCF，CEBEAE，图的利用如下：BEF为等边三角形，BEEFBF，EBF60，EBA+ABF60，MBN60，CBF+ABF60，EBACBF，在ABE与CBF中，ABECBF（SAS），AECF，CECFEF，CEAEBE；（3）解：在（1）条件下，CEBE+AEBF+AE4+15；在（2）条件下，CEBEAEBFAE413，综上所述，CE3或5，故答案为：3或55已知，正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于

8、点M、N，AHMN于点H（1）如图，当MAN点A旋转到BMDN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ；（2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN45，AHMN于点H，且MH2，NH3，求AH的长【解答】解：（1）如图AHAB，四边形ABCD是正方形，ABAD，BD90，在ABM与ADN中，ABMADN，BAMDAN，AMAN，AHMN，MAHMAN22.5，BAM+DAN45，BAM22.5，在ABM与AHM中，ABMAHM，ABAH；故答案为：AHAB；（2）数量关系成立如图，延长CB

9、至E，使BEDNABCD是正方形，ABAD，DABE90，在RtAEB和RtAND中，RtAEBRtAND，AEAN，EABNAD，EAMNAM45，在AEM和ANM中，AEMANM，SAEMSANM，EMMN，AB、AH是AEM和ANM对应边上的高，ABAH；（3）如图分别沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，BM2，DN3，BDBAD90，分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AHABBCCDAD，设AHx，则MCx2，NCx3，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2MC2+NC2，52（x2）2+（x3）2，解得x16，x21（不符合题意，舍去）AH66

10、问题提出：如图1：在ABC中，BC10且BAC45，点O为ABC的外心，则ABC的外接圆半径是 问题探究：如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且EAF45，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由问题解决：如图3，四边形ABCD中，ABAD4，B45，D135，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且EAFC60，试问AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图1，作出ABC的外接圆O，A45，BOC90，BC10，OBsin45BC，故答案为：5（2）EFBE+DF，理由如下：如图2，延长EB，使BGDF，连接

11、AG，四边形ABCD是正方形，ABAD，ABGD90，在ABG和ADF中，ABGADF（SAS），AGAF，GABDAF，EAF45，DAF+BAE45，GAE45，在GAE和FAE中，GAEFAE（SAS），EFGEDF+BE，（3）存在最小值，如图3，延长CB，使BGDF，ABC45，ABG135，ABGADF，又ABAD，ABGADF（SAS），GABFAD，AGAF，ABC45，D135，C60，BAD120，EAF60，BAE+DAF60，GAE60，GAEFAE（SAS），在AEF中，EAF60，AH4，EF边上的高AK4，画AEF的外接圆O，作OMEF于M，EAF60，EOM60

12、，设OMx，EM，OE2x，EF2，OM+OAAK，x+2x4，x，EF的最小值为2，SAEF的最小值为7如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且EAF45度则有结论EFBE+FD成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是BC，CD上的点，且EAF是BAD的一半，那么结论EFBE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，延长BC到点E，延长CD到点F，使得EAF仍然是BAD的一半，则结论EFBE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数

13、量关系并证明【解答】解：（1）延长CB到G，使BGFD，连接AG，ABGD90，ABAD，ABGADF，BAGDAF，AGAF，EAFBAD，DAF+BAEEAF，EAFGAE，AEFAEG，EFEGEB+BGEB+DF（2）结论不成立，应为EFBEDF，证明：在BE上截取BG，使BGDF，连接AGB+ADC180，ADF+ADC180，BADFABAD，ABGADFBAGDAF，AGAFBAG+EADDAF+EADEAFBADGAEEAFAEAE，AEGAEFEGEFEGBEBGEFBEFD8已知，四边形ABCD是正方形，MAN45，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作

14、AHMN，垂足为点H（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知BAC45，ADBC于点D，且BD2，CD3，求AD的长；小萍同学通过观察图发现，ABM和AHM关于AM对称，AHN和ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图进行翻折变换，解答了此题你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？【解答】（1）答：ABAH，证明：延长CB至E使BEDN，连接AE，四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABE180ABC90又ABAD，在ABE和ADN中，ABEADN（SAS），12，AEAN，BAD90，MAN45，2+390MAN45，1+345，即EAM45，在E

15、AM和NAM中，EAMNAM（SAS），又EM和NM是对应边，ABAH（全等三角形对应边上的高相等）；（2）作ABD关于直线AB的对称ABE，作ACD关于直线AC的对称ACF，AD是ABC的高，ADBADC90EF90，又BAC45EAF90延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又AEADAF四边形AEGF是正方形，由（1）、（2）知：EBDB2，FCDC3，设ADx，则EGAEADFGx，BGx2；CGx3；BC2+35，在RtBGC中，（x2）2+（x3）252解得x16，x21，故AD的长为69.已知：正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、D

16、C（或它们的延长线）于点M、N（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BM+DNMN当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明【解答】解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DNMN，理由为：如图2，在MB的延长线上截取BEDN，连接AE，四边形ABCD是正方形，ADAB，DDABABCABE90，在ABE和ADN中，ABEADN（SAS）AEAN；EABNAD，DAB90，MAN45，DAN+BAM45，EA

17、MBAM+EAB45MAN，在AEM和ANM中，AEMANM（SAS），MEMN，MNMEBE+BMDN+BM，即DN+BMMN；（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DNBMMN证明：如图3，在DN上截取DEMB，连接AE，由（1）知：ADAB，DABM90，BMDE，ABMADE（SAS）AMAE；MABEAD，MAN45MAB+BAN，DAE+BAN45，EAN904545MAN，在AMN和AEN中，AMNAEN（SAS），MNEN，DNDEEN，DNBMMN10已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、

18、N（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DNMN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2，图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN10，CM8，求AP的长【解答】解：（1）证明：作AEAN交CB的延长线于E，EAB+BAN90，NAD+BAN90，EABNAD又ABED90，ABAD，ABEAND（ASA），AEAN，BEDNEAMNAM45，AMAM，AMEAMNMNMEMB+BEMB+DN（2）图2的结论：MN+DNBM；图3的结论：MN+BMDN（3）连接ACMN10，CM8，在RtMNC中，根勾股定理得：MN2CM2+CN2，即10282+CN2，CN6，如图3在ND上截取DGBM，ADAB，ABMADN90，ADGABM，AGAM，MABDAG，MAN45，BAD90，MAG90，AMG为等腰直角三角形，AN垂直MG，AN为MG垂直平分线，所以NMNGDNBMMN，即MN+BMDN，MN+CMBCDC+CN，CMCN+MN2BC，86+102BC，BC6AC6BAP+BAQ45，NAC+BAQ45，BAPNAC又ABPACN135，ABPCAN，在RtAND中，根据勾股定理得：AN2AD2+DN236+144，解得AN6，AP3