专题06 奇偶性（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇人教A版2019必修第一册）.docx

1、专题06 奇偶性知识点一奇偶性偶函数奇函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有，且，那么函数f(x)叫做偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有，且，那么函数f(x)叫做奇函数图象特点关于y轴对称关于原点对称定义域特征关于原点对称奇偶性如果函数是奇函数或是偶函数，那么称函数f(x)具有奇偶性【思考】对于函数f(x)ax2bxc.(1)若f(x)为偶函数，需满足什么条件？(2)若f(x)为奇函数，需满足什么条件？【提示】（1）b=0;(2)a=c=0【基础自测】1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(1)f(1)，则f(x

2、)一定是偶函数()(2)对于函数yf(x)，若存在x，使f(x)f(x)，则函数yf(x)一定是奇函数()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数 () (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数()【答案】（1）（2）（3）（4）2下列函数是偶函数的是 ()AyxBy3x2 Cyx1 Dy|x|(x0,1)【答案】B【解析】选项A、C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数3函数yf(x)，x1，a(a1)是奇函数，则a等于 ()A1 B0C1 D无法确定【答案】C【解析】奇函数的定义域关于原点对称，a10，即a1.4函数f(x

3、)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x1，则当x0时，f(x)_.【答案】-x-1【解析】当x0，则f(x)(x)1x1f(x)，所以f(x)x1.题型一函数奇偶性的判断【探究发现】（1）为什么奇偶函数的定义域一定关于原点对称？【提示】由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则x一定也在定义域内(若x不在定义域内，则f(x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称（2）是否存在函数既是奇函数又是偶函数？【提示】若f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)f(x)，且f(x)f(x)，f(x)f(x)0，这样的函数有且只有一类，即f(x)0，xD，D是关于原点对称的非空数集【例1

4、】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x) ；(3)f(x)；(4)f(x)【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(2)函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，

5、f(x)为偶函数【方法技巧】函数奇偶性的判断方法(1)定义法(2)图象法（3）性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇【提醒】分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0时，f(x)x22x3，求f(x)的解析式【解析】【解析】当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3，由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以f(x)x22x3.即当x0时，f(x)x22x3.故f(x)【方法技巧】利用函数奇偶性求函数解析式的3步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的

6、解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)【变式训练】1变设问本例条件不变 ，求f(-2)10的值【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2)f(2)(22223)3.2 变条件若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x0时，f(x)的解析式【解析】当x0，f(x)(x)22(x)3x22x3，由于f(x)是偶函数，故f(x)f(x)，所以f(x)x22x3，即当x0时，f(x)x22x3.3设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)2xx2，求函数f(x)，g(x)的解析式 (1)y1；(2)y.【解析】因为f(x)是偶函数，g

7、(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，由f(x)g(x)2xx2. 用x代替x得f(x)g(x)2x(x)2，所以f(x)g(x)2xx2，()2，得f(x)x2.()2，得g(x)2x.题型四函数单调性与奇偶性的应用探究发现（1）奇偶函数图象的特点是什么？【提示】奇函数的图象关于原点对称，且定义域包括实数0时图象过原点；偶函数的图象关于y轴呈轴对称（2）在关于原点对称的区间上，奇偶函数单调性的关系是怎样的【提示】在对称的区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.【例4】(1)若对于任意实数x总有f(x)f(x)，且f(x)在区间(，1上是增函数，则( )Aff(1)f

8、(2)Bf(2)ff(1)Cf(2)f(1)fDf(1)ff(2)【答案】B【解析】(1)f(x)f(x)，f(x)为偶函数，f(2)f(2)又f(x)在区间(，1上是增函数，且21.f(2)f(2)ff(1)，故选B.(2)若奇函数f(x)在区间2,5上的最小值是5，那么f(x)在区间5，2上有( )A最小值5B最小值5 C最大值5 D最大值5【答案】A【解析】因为奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)在区间2,5上的最小值是5，所以f(x)在区间5，2上有最大值5，所以f(x)f(x)在区间5，2上有最小值5.(3)设定义在3,3上的奇函数f(x)在区间0,3上是减函数，若f(1m)f

9、(m)，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】因为f(x)是奇函数且f(x)在0,3上是减函数，所以f(x)在3,3上是减函数所以不等式f(1m)f(m)等价于解得2mf(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响【变式训练】1比较大小设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是_【解析】f(2)f(3)f()【解析】因为f(x)是偶函数，则f(2)f(2)，f(3)f(3)，又当x0时，f(x)是增函数，所以f(2)f(3)f()，即f(2)f(3)f()2解不等式已

10、知定义在(1,1)上的函数f(x).(1)试判断f(x)的奇偶性及在(1,1)上的单调性；(2)解不等式f(t1)f(2t)0.【解析】(1)因为f(x)，所以任取x(1,1)，则x(1,1)，所以f(x)f(x)故f(x)为奇函数任取x1，x2(1,1)且x10,1x1x20且x10，x10，所以f(x2)f(x1)，故f(x)在(1,1)上为增函数 (2)因为定义在(1,1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t1)f(2t)0，得f(t1)f(2t)f(2t)所以有即解得0t.故不等式f(t1)f(2t)0可得3x3，所以x4f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f()

11、Df(3)f()f(2)【答案】A【解析】f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上单调递增，且23f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)5已知f(x)x5ax3bx8(a，b是常数)，且f(3)5，则f(3)()A21B21C26D26【答案】B【解析】设g(x)x5ax3bx，则g(x)为奇函数由题设可得f(3)g(3)85，得g(3)13.又g(x)为奇函数，所以g(3)g(3)13，于是f(3)g(3)813821.6已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_.【答案】x1【解析】当x0时，x0，f(x)x1，又f(x)为偶函数，f(x)x1

12、.7若定义在(1,1)上的奇函数f(x)，则常数m，n的值分别为_【答案】0,0【解析】由已知得f(0)0，故m0.由f(x)是奇函数，知f(x)f(x)，即，x2nx1x2nx1，n0.8若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是_【答案】f(2)f(1)f(0)【解析】f(x)是偶函数，f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，m0，即f(x)x22.f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在0，)上单调递减，f(2)f(1)f(0)，又f(x)x22为偶函数，f(2)f(2)即f(2)f(1)f(3)10已知定义在

13、(1,1)上的函数f(x).(1)试判断f(x)的奇偶性及在(1,1)上的单调性；(2)解不等式f(t1)f(2t)0.【解析】(1)因为f(x)，所以f(x)f(x)故f(x)为奇函数任取x1，x2(1,1)且x10,1x1x20且分母x10，x10，所以f(x2)f(x1)，故f(x)在(1,1)上为增函数(2)因为定义在(1,1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t1)f(2t)0，得f(t1)f(2t)f(2t)所以有即解得0t.故不等式f(t1)f(2t)0的解集为.11(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有()Af

14、(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是偶函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数【答案】BC【解析】f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，所以|f(x)g(x)|为偶函数，故选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确故选B、C.12设f(x)为偶函数，且在区间(，0)内是增函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(1,0)(2，)B(，2)(0,2)C(2,0)(2，)D(2,0)(0,2)【答

15、案】C【解析】根据题意，偶函数f(x)在(，0)上为增函数，且f(2)0，则函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)f(2)0，作出函数f(x)的草图如图所示，又由xf(x)0，可得或由图可得2x2，即不等式的解集为(2,0)(2，)故选C.13函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是_【答案】x|1x3【解析】f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.14已知函数f(x)是R上的偶函数(1)求实数m的值；(2)判断函数f(

16、x)在(，0上的单调性；(3)求函数f(x)在3,2上的最大值与最小值【解析】(1)若函数f(x)是R上的偶函数，则f(x)f(x)，即，解得m0.(2)函数f(x)在(，0上单调递增理由如下：由(1)知f(x)，设任意的x1，x2(，0，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x20，所以x2x10，(1x)(1x)0，所以f(x1)0)在区间0,2上的最小值为g(m)(1)求函数g(m)的解析式；(2)定义在(，0)(0，)上的函数h(x)为偶函数，且当x0时，h(x)g(x)若h(t)h(4)，求实数t的取值范围【解析】(1)因为f(x)x2mx2(m0)，所以当02,02，即m4时，函数f(x)2在区间0,2上单调递减，所以g(m)f(2)42m.综上可知，g(m)(2)因为当x0时，h(x)g(x)，所以当x0时，h(x)易知函数h(x)在(0，)上单调递减，因为定义在(，0)(0，)上的函数h(x)为偶函数，且h(t)h(4)，所以0|t|4，解得4t0或0t4.综上所述，实数t的取值范围为(4,0)(0,4)