专题06 正多边形与圆（解析版）.docx

1、专题06 正多边形与圆知识梳理：一.、正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形2. 正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； （2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距补充说明：正多边形的性质：（1）正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴

2、对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心二.、正多边形与圆的关系1. 把一个圆等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆叫这个正边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆三.、正多边形有关的计算1. 正边形的每个内角都等于；2. 正边形的每一个外角与中心角相等，等于；题型一：正多边形的相关概念【例1】下面给出六个命题：各角相等的圆内接多边形是正多边形；各边相等的圆内接多边形是正多边形；正多边形是中心对称图形；各角均为的六边形是正六边形；边数相同的

3、正边形的面积之比等于它们边长的平方比；各边相等的圆外切多边形是正多边形其中，正确的命题是_【答案】 【解析】 错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成 个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；错误，正奇数边形不是中心对称图形；错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；正确，相似的性质；错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可【例2】以下说法正确的是 ( )A每个内角都是120的六边形一定是正六边形B正n边形的对称轴不一定有n条C正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数D

4、正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形【答案】C【解析】解：A选项不正确；因为每个角都是120的六边形可以是空间六边形；B选项不正确；正n边形的对称轴一定由n条；C选项正确；因为正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数；D选项不正确；因为当正n边形的边数为偶数时才既是轴对称图形又是中心对称图形；【例3】以下说法错误的是（ ）A多边形的内角大于任何一个外角B任意多边形的外角和是C正六边形是中心对称图形D圆内接四边形的对角互补【答案】A【解析】解：对于A选项，多边形的内角不一定大于任何一个外角，如正方形，故错误，符合题意；对于B选项，任意多边形的外角和是360，正确，故不符合题意；对于C选

5、项，正六边形是中心对称图形，正确，故不符合题意；对于D选项，圆内接四边形的对角互补，正确，故不符合题意；故选A【例4】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( ) 正三角形；正方形；正五边形；正六边形；线段；圆；菱形；平行四边形A3个B4个C5个D6个【答案】C【解析】因为轴对称图形是指一个图形沿某一条直线对折，其中的一部分与另一部分完全重合，中心对称图形是指一个图形绕某一个点旋转180后与原来的图形完全重合，所以是轴对称图形而不是中心对称图形有：正三角形，正五边形；是中心对称图形而不是轴对称图形有：平行四边形；是轴对称图形又是中心对称图形有：正方形，正六边形，线段，圆，菱形；【例5

6、】正十边形的中心角是（ ）A18B36C72D144【答案】B【解析】正十边形的每个中心角相等，且其和是360，故一个中心角的度数为：36010=36，故选：B【例6】下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）A正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B存在一个正多边形，它的外角和为C任何正多边形都有一个外接圆 D不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【答案】C【解析】A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，B.任意多边形的外角和都等于360，故该选项错误，C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，D.正三角形的每个外角为120，对应的每个内角为60，存在每个外角都是对

7、应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，【例7】若O的内接正n边形的边长与O的半径相等，则n的值为（）A4B5C6D7【答案】C【解析】解：O的半径与这个正n边形的边长相等，这个多边形的中心角60，60，n6，题型二：正多边形与圆的有关计算【例1】如图，四边形ABCD为O的内接正四边形，AEF为O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A8B10C12D15【答案】C【解析】解：连接OA、OD、OF，如图，AD，AF分别为O的内接正四边形与内接正三角形的一边，AOD90，AOF120，DOFAOFAOD30，n12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边故选：

8、C【例2】如图，正五边形ABCD内接于O，连接对角线AC，AD，则下列结论：BCAD；BAE=3CAD；BACEAD；AC=2CD其中判断正确的是（ ）ABCD【答案】B【解析】解：BCAD，故本选项正确；BC=CD=DE，BAC=CAD=DAE，BAE=3CAD，故本选项正确；在BAC和EAD中，BA=AE，BC=DE，B=E，BACEAD(SAS)，故本选项正确；AB+BCAC，2CDAC，故本选项错误故答案为【例3】如图，正五边形ABCDE内接于，点P为DE上一点（点P与点D，E不重合），连接PC，PD，垂足为G，则等于_度. 【答案】54【解析】解析：如答图，连接OC，OD.五边形AB

9、CDE是正五边形，.，.【例4】如图，A、B、C是上顺次三点，若分别是内接正三角形、正方形的一边，则_【答案】15【解析】解：如图，连接OA，OC，OB若AC、AB分别是O内接正三角形、正方形的一边，AOC=120，AOB=90，BOC=AOC-AOB=30，BAC=15，【例5】如图，正六边形中，连接，则的长为_【答案】2【解析】如图，连接AC，六边形ABCDEF是正六边形，ABC=BCD=120，ADC=60，AB=BC=CD，BCA=BAC=30，ACD=BCD-BCA=90，CAD=30，AB=CD=1，AD=2CD=2，故答案为：2【例6】如图，AC是O的内接正六边形的一边，点B在弧

10、AC上，且BC是O的内接正十边形的一边，若AB是O的内接正n边形的一边，则n=_ .【答案】15【解析】连接OB，AC是O的内接正六边形的一边，AOC=3606=60，BC是O的内接正十边形的一边，BOC=36010=36，AOB=60-36=24，即360n=24，n=15，故答案为15.【例7】如图，已知正五边形ABCDE内接于O，则劣弧AB的度数是（）A45B60C72D90【答案】C【解析】解：五边形ABCDE是O的内接正五边形，五边形ABCDE的中心角AOB的度数为72，劣弧AB的度数是72，故选：C【例8】如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则BED的度

11、数为（）A30B45C50D60【答案】B【解析】解：正六边形ADHGFE的内角为120，正方形ABCD的内角为90，BAE36090120150，ABAE，BEA（180150）15，DAE120，ADAE，AED30，BED15+3045故选：B题型三：正多边形的画法【例1】作图与证明:如图，已知O和O上的一点A,请完成下列任务:(1)作O的内接正六边形ABCDEF;(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状,并加以证明.【答案】见解析【解析】解:(1)如图,首先作直径AD,然后分别以A,D为圆心,OA长为半径画弧,分别交O于点B,F和C,E,连接AB,BC,CD,DE,EF,AF,则

12、正六边形ABCDEF即为所求.(2)如图,连接BF,CE,四边形BCEF是矩形.证明:如图,连接OE.六边形ABCDEF是正六边形,AB=AF=DE=DC=FE=BC,AB=AF=DE=DC,BF=CE,BF=CE,四边形BCEF是平行四边形.EOD=3606=60,OE=OD,EOD是等边三角形,OED=ODE=60,EDC=FED=2ODE=120.DE=DC,DEC=DCE=30,CEF=FED-DEC=90,四边形BCEF是矩形.【例2】已知O和O上的一点A（如图）. （1）作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； （2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是O内接

13、正十二边形的边. 【答案】见解析【解析】（1）作法:作直径AC,作直径BDAC,依次连接A,B,C,D四点,四边形ABCD即为O的内接正方形,分别以A,C为圆心,OA的长为半径作弧,交O于E,H,F,G,顺次连接A,E,F,C,G,H各点,六边形AEFCGH为O的内接正六边形. （2）连接OE,DE,AOD=90，AOE=60,DOE=AOD-AOE=30, DE为O的内接正十二边形的一边.【例3】已如：O与O上的一点A（1） 求作：O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由 【答案】见解析【解析】解

14、:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；（2）四边形BCEF为矩形理由如下：连接BE，如图，六边形ABCDEF为正六边形，AB=BC=CD=DE=EF=FA，BE为直径，BFE=BCE=90，同理可得FBC=CEF=90，四边形BCEF为矩形【例4】如图正六边形的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图（1） 在图1中，画出一条长度为0.5的线段（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形 【答案】见解析【解析】（1）如图1：连接CF，BD交于点G，则CG即为所求；理由：正六边形ABCDEF的边长1，BC=CD=1，BCD=120，CBD是等腰三角形，CBG=30，

15、又CF是正六边形的对称轴，CGBD，在RtCBG中，CG=BC=0.5；（2）画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求解法二：菱形AGDH即为所求【例5】如图，A是O上一点（1）作O的内接等边ABC（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）若O的半径为3，求ABC的边长【答案】见解析【解析】解析：（1）如图所示，ABC即为所求（2）连接OA，作OHAB于H，OHAB，AH=HB在RtAOH中，OA=3，OAH=30AB=等边三角形ABC的边长为【例6】已知O，如图所示（1）求作O的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若O的半径为4，则它的内接正方形的边长为_【答案】（1）见解析 （

16、2）【解析】解析：（1）如图，正方形ABCD即为所求（2）O的半径为4，四边形ABCD是正方形ACBD，OA=OB=4题型四：内接圆 外接圆综合【例1】半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ B ）A1： B：1 C3：2：1 D1：2：3【答案】B【解析】解析：设圆的半径为R，如图（一），连接OB，过O作ODBC于D，则OBC=30，故BC=2BD=；如图（二），连接OB、OC，过O作OEBC于E，则OBE是等腰直角三角形，2BE2=OB2，即BE=，故BC=；如图（三），连接OA、OB，过O作OGAB，则OAB是等边三角形，故，AB=2AG=R，故圆内接正三角形、正方形

17、、正六边形的边长之比为【例2】在ABC中，C90，AB5，周长为12，那么ABC内切圆半径为（ ）A3 B2.5 C2 D1【答案】D【解析】解析：C=90，AB=5，周长等于12，BCAC=7，r=（75）2=1【例3】若O是ABC的外接圆，且ABC=50，ACB=80，则BOC=_若O是ABC的内切圆，且ABC=50，ACB=80，则BOC=_【答案】100 115【解析】解析：（1）O是ABC的外接圆OBC=BCO=90CAB=9050=40，BOC=1804040=100（2）O是ABC的内切圆OBC=ABC=25，OCB=ACB=40BOC=1802540=115【例4】如图，O是A

18、BC的内切圆，切点分别为D、E、F，点M是O上一点，EMF=55，则A=_【答案】70【解析】解析：连接OF、OEO是ABC的内切圆，切点分别为D、E、FAEO=AFO=90EMF=55EOF=110A=180110=70【例5】如图，O是ABC的外接圆，OCB=40，则A的度数等于（ ）A30 B40 C50 D60【答案】C【解析】解析：在OCB中，OB=OC（O的半径），OBC=0CB（等边对等角）；OCB=40，C0B=180OBC0CB，COB=100；又A=C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），A=50【例6】若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为_【答案】【解析】解

19、析：如图所示，连接OA、OE，AB是小圆的切线，OEAB，四边形ABCD是正方形，AE=OE，AOE是等腰直角三角形，OE=OA=【例7】若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为 【答案】3【解析】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长正方形边长为6，正方形的对角线长为6，外接圆半径为3如图所示：在RtBOD中，OB3，OBD30，BDBDCD，BC2BD3故答案为3【例8】已知正五边形的外接圆直径为6，那么该正五边形外接圆的半径为 【答案】3【解析】解：正五边形的外接圆直径为6，该正五边形外接圆的半径为623，故答案为：3【例9】如图，已知O的内接正六边形ABCDEF的边心距

20、OM2cm，则该圆的内接正三角形ACE的边长为 cm【答案】4【解析】解：如图所示，连接OC、OB，过O作ONCE于N，多边形ABCDEF是正六边形，COB60，OCOB，COB是等边三角形，OCM60，OC（cm），OCN30，ON（cm），CE2CN4（cm）故答案为4题型四：解答题题型【例1】如图，正方形ABCD内接于O，M为的中点，连接AM，BM（1）求证：；（2）求的度数【答案】见解析【解析】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ADBC，M为的中点，+，；（2）解：连接OM，OA，OB，正方形ABCD内接于O，AOB90，AOMBOM（36090）135，的度数是135【例2】如图，

21、在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB1，求BF【答案】【解析】解：在正五边形ABCDE中，ABCDCB108，BCBACD，BACBCACDBCBD36，ABF72，AFBCBD+ACB72，AFBABF，FCBFBC，AFAB1，FBCF，设FBFCx，BCFBCA，CBFCAB，BCFACB，CB2CFCA，x（x+1）1，x2+x10，x或（舍去），BF【例3】如图，A，P，B，C是O上的四个点，APCCPB60（1）求证：ABC是等边三角形（2）若O的半径为2，求等边ABC的边心距【答案】见解析【解析】（1）证明：在O中，BAC与CPB是对的圆周角，ABC与APC是所对

22、的圆周角，BACCPB，ABCAPC，又APCCPB60，ABCBAC60，ABC为等边三角形；（2）过O作ODBC于D，连接OB，则OBD30，ODB90，OB2，OD1，等边ABC的边心距为1【例4】如图，正方形ABCD内接于O，P为上一点，连接DP，C（1）CPD ；（2）若DC4，CP，求DP的长【答案】见解析【解析】解：（1）如图，连接BD，正方形ABCD内接于O，P为上一点，DBC45，CPDDBC，CPD45故答案为：45；（2）如图，作CHDP于H，CP2，CPD45，CHPH2，DC4，DH2，DPPH+DH2+2【例5】如图正方形ABCD内接于O，E为CD任意一点，连接DE

23、、AE（1）求AED的度数（2）如图2，过点B作BFDE交O于点F，连接AF，AF1，AE4，求DE的长度【答案】（1） 45 （2）【解析】解：（1）如图1中，连接OA、OD四边形ABCD是正方形，AOD90，AEDAOD45（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DHAE于HBFDE，ABCD，BDEDBF，BDCABD，ABFCDE，CFAAEC90，DECAFB135，CDAB，CDEABF，AFCE1，AC，ADAC，课后练习1、半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（）A2B1CD【答案】C【解析】解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，而正多边形的边心距即为每

24、个边长为2的正三角形的高，正六多边形的边心距等于，故选：C2、如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则AFO的度数为 【答案】22.5【解析】解：作正八边形ABCDEFGH的外接圆O连接OA、OB，八边形ABCDEFGH是OO内接正八边形，AOB45，由圆周角定理得，AFOAOB22.5，3、若一个正多边形的中心角为40，则这个正多边形的内角和是 度【答案】1260【解析】解：正多边形的一个中心角为40，360409，这个正多边形是正九边形，这个正九边形的内角和等于（92）1801260故答案为12604、半径为5的正六边形的周长为 【答案】30【解析】解：圆内接正六边形的半径为5，边长

25、是5，则周长是：5630故答案是：305、如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为 【答案】2【解析】解：如图：正三角形ABC，半径OAOBOC2，延长AO交BC于H，BOC3603120，O为正三角形中心，BHO90，BOH60，BC2BH，BH，BC26、如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AGBH（1）求FAB的度数；（2）求证：OGOH【答案】见解析【解析】（1）解：六边形ABCDEF是正六边形，FAB120；（2）证明：连接OA、OB，OAOB，OABOBA，FABCBA，OAGOBH，在AOG和BOH中，AOGBOH（SAS）

26、OGOH7、如图，若干相同正五边形排成环状图中已经排好前3个五边形，还需 个五边形完成这一圆环【答案】7【解析】解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，正五边形的外角等于360572，延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180727236，3603610，排成圆环需要10个正五边形，故排成圆环还需7个五边形8半径为R的圆内接正多边形中，下列图形边心距最大的是（）A正三角形B正方形C正五边形D正六边形【答案】D【解析】解：如图所示，OBOAR；ABC是正三角形，由于正三角形的中心就是圆的圆心，且正三角形三线合一，所以BO是ABC的平分线；OBD6030，边心距ODR，如图，延长AD交边于点E，

27、连接OF，OFR，EOEFR，同法可得，正五边形的边心距Rcos36，正六边形的边心距R，RRR，故选：D9如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b20mm，则边长a mm【答案】D【解析】解：如图，连接OC、OD，过O作OHCD于HCOD60，OCOD，COD是等边三角形，COH906030，OHCD，CHDHCD，OHb10（mm），CH（mm），a2CH（mm），故答案为：10正多边形的中心角是36，那么这个正多边形的边数是（）A10B8C6D5【答案】A【解析】解：设这个正多边形的边数是n，正多边形的中心角是36，36，解得n10故选：A11已知O过正方形ABCD顶点A、B，且与CD相切，若正方形边长为2，则圆的半径为 【答案】【解析】解：连接OE、OB，延长EO交AB于F；E是切点，OECD，OFAB，OEOB；设OBR，则OF2R，在RtOBF中，BFAB21，OBR，OF2R，R2（2R）2+12，解得R12如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点F，求证：ACAB+BF【答案】见解析【解析】解：O是正五边形ABCDE的外接圆，CBE36072O是正五边形ABCDE的外接圆，BACABE36036，AFBF，BFCABE+BAC72，CBEBFC，BCCF；同理可证：PBCPCB36，ACAF+CFAB+BF