专题07 平行线的证明和三角形内角（考点清单）解析版.docx

1、专题07讲：平行线的证明和三角形内角（考点清单）【聚焦考点】考点一：平行公理及推论考点二：平行线的判定考点三： 平行线的性质定理考点四： 平行线性质的应用考点五：平行线之间的距离考点六：平行线的性质和判定综合问题考点七：三角形内角和定理考点八：与平行线有关的三角形内角和问题考点九：与角平分线有关的三角形内角和问题考点十：三角形中折叠的角度问题考点十一：三角形内角和的综合问题考点十二：平行线和三角形内角和的综合问题【题型归纳】题型一：平行公理及推论【典例1】（2022上山东济南八年级统考期末）下面的四个命题中，真命题的是（）A两条直线被第三条直线所截，同位角相等B过一点有且仅有一条直线和已知直线

2、平行C如果两个角相等，那么这两个角是对顶角D同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行【答案】D【分析】由对顶角的性质判断C，由平行线的性质和平行公理判断B、A、D【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故选项A错误；没有说明点在直线外，故选项B错误；对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，故选项C错误；同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故选项D正确故选：D【专训1-1】 （浙江台州七年级台州市书生中学校考期中）下列命题中，真命题的个数是（）同位角相等；a，b，c是三条直线，若ab，bc，则aca，b，c是三条直线，若ab，bc，则ac；过一点有且只有一条直线与已

3、知直线平行A1个B2个C3个D4个【答案】A【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案【详解】解：两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；，在同一平面内，a，b，c是三条直线，若ab，bc，则ac，故原命题是假命题；a，b，c是三条直线，若ab，bc，则ac，是真命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题，综上，真命题只有一个，故选：A【专训1-2】（2014上山东临沂八年级统考期末）下列说法中是真命题的有（）一条直线的平行线只有一条过一点与已知直线平行的直线只有一条因为ab，cb，所以ac经过直线外一点有且只有一条直线与已知直

4、线平行A1个B2个C3个D4个【答案】B【详解】试题分析：一条直线的平行线只有一条是错误的；经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故是错误的因为ab，ac，所以bc，正确满足平行公理的推论，正确故选B考点：1平行线；2垂线题型二：平行线的判定【典例2】（2023上贵州贵阳八年级统考期末）如图，下列推理中正确的是（）A，B，C，D，【答案】B【分析】根据平行线的判定可进行求解【详解】解：A、，故原选项不符合题意；B、，故原选项符合题意；C、，故原选项不符合题意；D、，故原选项不符合题意；故选B【专训2-1】 （2022河北廊坊统考二模）如图，点E是四边形的边延长线上的一

5、点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（）ABCD【答案】B【分析】根据平行线的判定与性质，平行四边形的判定定理进行判断作答即可【详解】解：A中由可得，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；B中由可得，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求；C中由可得，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；，D中由可得，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；故选：B【专训2-2】（2023上陕西西安八年级校考期末）如图，在三角形中，点E，D，F分别在上，连接，下列条件中，能推理出的是（）ABCD【答案】C【分析】根据“同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，内错角相等两

6、直线平行”进行判断即可【详解】解：A、不能得到平行，不符合题意；B、由，得到，不符合题意；C、由，得到，符合题意；D、由，得到，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了平行线的判定定理；熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键题型三： 平行线的性质定理【典例3】（2023下江苏淮安八年级统考期末）如图，在中，点E、F、G分别在边上，则四边形的周长是（）A20B24C30D10【答案】A【分析】由，可得四边形是平行四边形，由，可得，由，可知，即，根据四边形的周长为，计算求解即可【详解】解：，四边形是平行四边形，四边形的周长为，故选：A【专训3-1】（2023下江苏泰州八年级统考期末）如图，在中，点D、

7、E分别在边、上，且，M、N分别为线段、的中点，则线段的长为（）A1.5B3CD【答案】C【分析】连接，取的中点H，连接，根据中位线性质得出，根据平行线的性质得出，同理课程，根据平行线的性质得出，求出，根据勾股定理求出结果即可【详解】解：连接，取的中点H，连接，如图所示：M、N分别为线段、的中点，是的中位线，同理可得：，故C正确故选：C【专训3-2】（2023下广西河池八年级统考期末）如图，是等边三角形，是内一点，则的周长是（）ABCD【答案】B【分析】延长交于，延长交于，由条件推出四边形，四边形是平行四边形，是等边三角形，得到，即可求出的周长【详解】解：延长交于，延长交于，四边形，四边形是平行

8、四边形，是等边三角形，是等边三角形，同理：是等边三角形，的周长为：，即的周长是故选：B题型四： 平行线性质的应用【典例4】（2023上河北邢台八年级统考期末）如图，A岛在B岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏东方向，C岛在A岛的南偏东方向，从C岛看A、B两岛的视角是（）度ABCD【答案】C【分析】先根据方向角的概念，得出，；，再由两直线平行，内错角相等，然后根据三角形内角和定理即可求解【详解】解：如图所示：A岛在B岛的北偏东方向，即，C岛在B岛的北偏东方向，即，C岛在A岛南偏东方向，即，在中，故选：C【专训4-1】（2023下贵州毕节八年级期末）如图，在中，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，

9、交于点E，若，则的度数是（）ABCD【答案】A【分析】先根据平角的定义得到，进而根据三角形外角的性质得到，利用等边对等角和三角形内角和定理得到，再由平行线的性质得到，由此即可得到答案【详解】解：，故选A【专训4-2】（2023下广东深圳七年级深圳外国语学校校考期末）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，点C在上，连接，则度数是（）ABCD【答案】A【分析】先证明，再证明，结合角的和差关系可得答案【详解】解：，故选A题型五：平行线之间的距离【典例5】13（2022下四川绵阳八年级校联考期末）如图，直线，其中P在上，A、B、C、D在上，且PB，则与间的距离是（）A线段 PA 的长度B线段 PB

10、 的长度C线段 PC 的长度D线段 PD 的长度【答案】B【分析】根据平行线之间的距离定义解答即可【详解】解：P在上， B在上，PB，与间的距离是线段PB的长度故选：B【专训5-1】（2022下河南濮阳八年级校联考期末）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，当边与射线所夹的锐角为时，则：ABCF；点和点到的距离相等以上四个结论正确的有几个（）A个B个C个D个【答案】D【分析】先根据判定ABFC，然后根据垂直的定义得出，进而求出，再利用外角的性质求出【详解】解：如图， ，ABFC，故正确；，故正确；，故正确；平行线间的距离处处相等，且ABFC，点和点到的距

11、离相等，故正确故正确的结论有个，故选：D【专训5-2】（2022下浙江金华八年级统考期末）如图，在中，E点在BC边上，PQ是AD边上的两点（P在Q的左侧）、若PB与AE相交于R点，QB与AE相交于S点，则下列对的面积大小判断正确的是()ABCD【答案】D【分析】根据平行线之间的距离处处相等，可得PBE、QBE有同底和相等的高，即可得PBE的面积QBE的面积；由图可得BRE的面积BSE的面积，可得PRE的面积QSE的面积即可判断【详解】解：PBE、QBE如图所示：两个三角形有相同的底BE，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，平行线之间的距离处处相等，PBE、QBE有相等的高，PBE的面积QBE

12、的面积；PBE的面积QBE的面积，PRE的面积+BRE的面积QSE的面积+BSE的面积，由图可知：BRE的面积BSE的面积，PRE的面积QSE的面积故选：D题型六：平行线的性质和判定综合问题【典例6】（2022上广东深圳八年级校考期末）已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，(1)求证：；(2)若平分，求的度数【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质得到，继而推出，即可证明；（2）利用平行线的性质得到，结合角平分线的定义求出，再利用平行线的性质求解即可【详解】（1）证明：，；（2）解：，平分，【专训6-1】（2022上贵州贵阳八年级统考期末）如图，(1)求证：；(2)若，求的度

13、数【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由得到，即可得到，再根据等量代换得到即可证明；（2）由平行的性质得到，求出即可求出答案【详解】（1），；（2），【专训6-2】（2023上河南平顶山八年级统考期末）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点(1)求证：；(2)若，求的度数【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据内错角相等两直线平行，可证；（2）根据平行线的性质可以解题【详解】（1）证明：（2）解，,，【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键题型七：三角形内角和定理【典例7】（2020上湖北武汉八年级统考期末）如图，在中，为延长线上一点，于，则的度

14、数为（）.ABCD【答案】C【分析】先根据ADE中三角形内角和定理求出A的度数，再根据ABC中三角形内角和定理即可求出的度数【详解】CEAF于E，AED90，D20，A180AEDD180902070，180AC180704070故选：C【专训7-1】20（2019下福建漳州七年级统考期末）如图，中，平分，垂直平分交于点，交于点，连接，若，则的度数为ABCD【答案】B【分析】据角平分线的性质可得DBC=ABD=25，然后再计算出ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得FCB=25，然后可算出ACF的度数.【详解】解：BD平分ABC，DBC=ABD=25，A=60，ACB

15、=180-60-252=70，BC的中垂线交BC于点E，BF=CF，FCB=25，ACF=70-25=45，故选B【专训7-2】（2019上湖北武汉八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，ABAD，BCBD，若ABDBACa，则BDC的度数为()A2aB45aC90aD1803a【答案】A【分析】作MBADBA,交CA延长线于M由ABDADBa,BAC2a,得CAD1804a,易证BAMBAD,得MADBa,BMBDBC,设ACDx，则BDCxa，故x(xa)aaa,解得xa，故BDC2a【详解】作MBADBA,交CA延长线于MABDADBa,BAC2a,CAD1804a,BAM1802a,B

16、AD1802a,BAMBAD,MADBa,BMBDBC,ABAM,ABMMa,ACBMa,设ACDx，则BDCxa，由八字形得x(xa)aaa,xa，BDC2a题型八：与平行线有关的三角形内角和问题【典例8】（2021上黑龙江鸡西八年级校考期末）如图，在ABC中，B=46，ADE=40，AD平分BAC，交BC于D，DEAB，交AC于E，则C的大小是（）A46B54C66D80【答案】B【分析】先根据ADE=40，DEAB求出BAD的度数，再由AD平分BAC得出BAC的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论【详解】解：ADE=40，DEAB，BAD=40AD平分BAC，BAC=2BAD=80B=

17、46，C=180-B-BAC=180-46-80=54故选：B【专训8-1】23（2021安徽统考中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，AB与DF交于点M若，则的大小为（）ABCD【答案】C【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案【详解】由图可得，故选：C【专训8-2】（2022下湖北咸宁七年级统考期中）如图，已知l1l2，A45，2100，则1的度数为（）A50B55C45D60【答案】B【分析】根据平角的定义得出ACB80，根据三角形内角和得到ABC55，再根据平行线的性质即可得解【详解】解：2100，ACB18010080，A45，ABC180458055，l1l2，1ABC5

18、5，故选：B【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键题型九：与角平分线有关的三角形内角和问题【典例9】（2023下广东汕头八年级统考期末）如图，在三角形中，为的平分线，则的度数为（）ABCD【答案】D【分析】求出的度数，再根据角平分线定义求解即可【详解】解：在三角形中，则，为的平分线，故选：D【专训9-1】（2023上四川雅安八年级统考期末）如图，在中，分别平分和，且相交于点O，若，则的度数是（）ABCD【答案】C【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可【详解】，分别平分和，故选：C【专训9-2】（2023上辽宁沈阳八年级统考期末）如图，分别是的外

19、角，的角平分线；，分别是，的角平分线；，分别是，的角平分线当（）时，A45B50C60D120【答案】C【分析】根据角平分线的定义得出，根据平角为可得，从而得出，同理可得，然后根据两直线平行同旁内角互补得出，代入整理得出，最后根据三角形内角和即可得出答案【详解】，分别是的外角，的角平分线，分别是，的角平分线，同理，由于、分别是、的角平分线，假设，根据两直线平行，同旁内角互补得即整理得，故选C题型十：三角形中折叠的角度问题【典例10】（2023上河南周口八年级校联考期末）如图所示，在中，将沿着直线折叠，点落在点的位置则的度数是（）ABCD【答案】A【分析】本题主要考查了三角形外角的性质及轴对称的

20、性质，由轴对称的性质得出，再由，即可得到，从而求出答案【详解】解：如图所示，由题意得：，故选：A【专训10-1】（2023上重庆开州八年级统考期末）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，则原三角形中的度数为（）ABCD【答案】A【分析】设，由翻折得，根据三角形内角和得到，求出，再利用三角形内角和求出的度数【详解】解：设，由翻折得，解得，故选：A【专训10-2】（2023上浙江绍兴八年级统考期末）如图是一张三角形纸片ABC，点M是边的中点，点E在边AC上，将沿BE折叠，使点C落在边AC上的点D处，若，则（）A18B54C60D72【答案】D【分析】根据直角三角形的性质得，则，根据

21、折叠的性质得：，根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质得出，根据角的和差即可得出答案【详解】解：，点M是边的中点，根据折叠的性质得：，故选：D题型十一：三角形内角和的综合问题【典例11】（2023上福建漳州八年级统考期末）在中，平分，交于，点在线段上，过点作于平分，交于(1)如图，当时，求证：；(2)当时，直线与直线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由（要求：画出相应的示意图再作答）【答案】(1)见解析(2)或，理由见解析【分析】（1）如图，得到，角平分线，得到，进而得到，再根据三角形内角和推出，即可；（2）分，两种情况，画出图形，讨论求解【详解】（1）证明：，平分平分，在和中，（2）或理

22、由：当时，如图，平分，平分，当时，如图，综上所述，与的数量关系为或【专训11-1】（2023下海南省直辖县级单位八年级校考期末）在中，与的平分线相交于点(1)如图1，如果，求的度数；(2)如图1，如果，用含的代数式表示；(3)探索：如图2，作外角、的平分线交于点，试写出、之间的数量关系；(4)拓展：如图3，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数【答案】(1)(2)(3)(4)或或或【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解；（2）根据角平分线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解；（3）根据角平分线的性质可得，根据三角形的外角性质可得

23、，根据三角形内角和定理即可求解；（4）根据角平分线的性质求得，结合（3）中结论和三角形内角和定理求得 ，分四种情况进行讨论：；分别列出方程，求解即可【详解】（1）解：与的平分线相交于点，在中，（2）解：与的平分线相交于点，在中，即，在中，（3）解：、之间的数量关系为：理由：、的平分线交于点，且，故，在中，（4）解：是的角平分线，是的角平分线，由（3）可得，则，如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：若是的倍，即，解得：；若是的倍，即，解得：；若是的倍，即，解得：；若是的倍，即，解得：；综上所述，的度数是或或或【专训11-2】（2023下浙江八年级专题练习）探索归纳：(1)如图

24、1，已知为直角三角形，若沿图中虚线剪去，则A90B315C135D. 270(2)如图2，已知中，剪去后形成四边形，则度(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是【答案】(1)D(2)240(3)(4)【分析】（1）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案（2）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案（3）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案（4）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻

25、的两个内角的和，即可得到答案【详解】（1）解：，故选：D（2）解：，故答案为：240（3）解：，故答案为：（4）解：连接，故答案为：题型十二：平行线和三角形内角和的综合问题【典例12】34（2023上辽宁锦州八年级统考期末）如图，是的角平分线，点E在的延长线上，交于点F，交于点G，在的延长线上取一点H，使(1)求证：；(2)若，求的度数【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义，通过等量代换证明，再根据平行线的判定可得结论；（2）根据平行四边形的性质求出，再由可得，根据角平分线的定义求出，再由平行线的性质可得，从而可得结论【详解】（1），平分，（2），平分，【专训

26、12-1】（2023上河北邢台八年级统考期末）在中，延长到D，使，点E是下方一点，连接，且(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接，连接交于G，当时，求的长度；(3)如图3，若，将沿直线翻折得到，连接，连接交于G，交于H，若，求线段的长度（用含m，n的代数式表示）【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据条件和可得，即可证明；（2）根据条件和可得，进而得到即可求出；（3）证明， ，可得结论【详解】（1）证明：，又，在和中，；（2）解：由（1）可知，由翻折变换的性质，；（3）解：由（1）可知，由翻折变换的性质可知， ，；【专训12-2】（2023下江苏徐州八年级统考

27、期末）如图在平面直角坐标系中，且，(1)求的值(2)若点P的坐标是，且，求m的取值范围(3)如图2，D为线段上一个动点（不与O，A重合），直线交于E点，的平分线交于F点，过O点作的平分线与的平分线交于G点，在（1）的条件下，下列结论：的值不变；的值不变，其中有且只有一个是正确的，请选出正确的结论，并给出证明【答案】(1)(2)或(3)的值不变；即正确，错误；理由见解析【分析】（1）根据绝对值的非负性和二次方的非负性，求出a、b的值，得出点A、C的坐标，然后求出三角形的面积即可；（2）先求出直线的解析式为，再求出直线与直线的交点坐标为，分两种情况：当点P在点Q右侧时，当点P在点Q左侧时，分别画出图形，求出m的取值范围即可；（3）根据、分别平分，得出，根据、分别平分、，得出，根据，得出【详解】（1）解：，解得：，（2）解：设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，直线的解析式为，把代入得：，解得：，直线与直线的交点坐标为，点P的坐标是，点P在直线上，当点P在点Q右侧时，如图所示：，解得：；当点P在点Q左侧时，如图所示：，解得：；综上分析可知，或（3）解：的值不变；即正确，错误；理由如下：、分别平分，、分别平分、，即，