专题07 数列（解析版）.docx

1、五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题07 数列考点一 数列的函数特性1（2020浙江）已知数列满足，则【解析】数列满足，可得，所以故答案为：10考点二 等差数列的性质2（2023新高考）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】若是等差数列，设数列的首项为，公差为，则，即，故为等差数列，即甲是乙的充分条件反之，若为等差数列，则可设，则，即，当时，有，上两式相减得：，当时，上式成立，所以，则（常数），所以数列为等差数列即甲是乙的必要条件综上所述

2、，甲是乙的充要条件故本题选：考点三 等差数列的前n项和3（2022上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，中不同的数值有 个【解析】等差数列的公差不为零，为其前项和，解得，1，中，其余各项均不相等，中不同的数值有：故答案为：984（2020上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则【解析】根据题意，等差数列满足，即，变形可得，所以故答案为：5（2020海南）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为【解析】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前项和为，故答案为：6（2021新高考）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，（）

3、求数列的通项公式；（）求使成立的的最小值【解析】（）数列是公差不为0的等差数列的前项和，若，根据等差数列的性质，故，根据可得，整理得，可得不合题意），故（），即，整理可得，当或时，成立，由于为正整数，故的最小正值为7考点四 等比数列的前n项和7（2023新高考）记为等比数列的前项和，若，则A120B85CD【解析】等比数列中，显然公比，设首项为，则，化简得，解得或（不合题意，舍去），代入得，所以故选：考点五 等差数列与等比数列的综合8（2022浙江）已知等差数列的首项，公差记的前项和为（）若，求；（）若对于每个，存在实数，使，成等比数列，求的取值范围【解析】（）因为等差数列的首项，公差，因为，

4、可得，即，即，整理可得：，解得，所以，即；（）因为对于每个，存在实数，使，成等比数列，则，整理可得：，则恒成立在，整理可得，当时，可得或，而，所以的范围为；时，不等式变为，解得，而，所以此时，当时，则符合要求，综上所述，对于每个，的取值范围为，使，成等比数列9（2022新高考）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且（1）证明：；（2）求集合，中元素的个数【解析】（1）证明：设等差数列的公差为，由，得，则，由，得，即，（2）由（1）知，由知，即，又，故，则，故集合，中元素个数为9个10（2020上海）已知各项均为正数的数列，其前项和为，（1）若数列为等差数列，求数列的通项公式；（2）若数列为等

5、比数列，求满足时的最小值【解析】（1）数列为公差为的等差数列，可得，解得，则；（2）数列为公比为的等比数列，可得，即，则，即为，即，可得，即的最小值为7考点六 数列递推式11（2022浙江）已知数列满足，则ABCD【解析】，为递减数列，又，且，又，则，则，；由得，得，累加可得，；综上，故选：12（2020浙江）已知等差数列的前项和，公差，且记，下列等式不可能成立的是ABCD【解析】在等差数列中，根据等差数列的性质可得正确，若，则，成立，正确，若，则，即，得，符合，正确；若，则，即，得，不符合，错误；故选：13（2019浙江）设，数列满足，则A当时，B当时，C当时，D当时，【解析】对于，令，得，

6、取，当时，故错误；对于，令，得或，取，当时，故错误；对于，令，得，取，当时，故错误；对于，递增，当时，故正确故选：14【多选】（2021新高考）设正整数，其中，记，则ABCD【解析】，对；当时，（7），（2），（7）（2），错；，对；，对故选：15（2021上海）已知，2，对任意的，或中有且仅有一个成立，则的最小值为 【解析】设，由题意可得，恰有一个为1，如果，那么，同样也有，全部加起来至少是；如果，那么，同样也有，全部加起来至少是，综上所述，最小应该是31故答案为：3116（2019上海）已知数列前项和为，且满足，则【解析】由，得，即，且，得：数列是等比数列，且故答案为：17（2022上海）

7、数列对任意且，均存在正整数，满足，（1）求可能值；（2）命题：若，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；（3）若，成立，求数列的通项公式【解析】（1），或（2），为等差数列，逆命题：若，则，为等差数列是假命题，举例：，（3）因为，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：当，明显成立，假设时命题成立，即，则，则，命题得证回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1若，则矛盾，2若，则，此时，3若，则，（由（2）知对任意成立），事实上：矛盾综上可得18（2021浙江）已知数列的前项和为，且（）求数列的通项公式；（）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实

8、数的取值范围【解析】（）由 可得，两式作差，可得：，很明显，所以数列 是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为：（）由，得，两式作差可得：，则据此可得 恒成立，即 恒成立时不等式成立；时，由于时，故；时，而，故：；综上可得，考点七 数列的求和19（2021浙江）已知数列满足，记数列的前项和为，则ABCD【解析】因为，所以，所以，故，由累加法可得当 时，又因为当 时， 也成立，所以，所以，故，由累乘法可得当 时，所以另解：设，可得在递增，接下来运用待定系数法估计的上下界，设，则探索也满足上界的条件在此条件下，有，注意到，取，从而，此时可得故选：20（2021上海）已知为无穷等比数列，的各项和为

9、9，则数列的各项和为 【解析】设的公比为，由，的各项和为9，可得，解得，所以，可得数列是首项为2，公比为的等比数列，则数列的各项和为故答案为：21（2021新高考）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折次，那么【解析】易知有，共5种规格；由题可知，对折次共有种规格，且面积为，故，则，记，则，故答案为：5；22（2023新高考）已知为等差数列，记，为，的前项和，（1）求的通项公式；（2）

10、证明：当时，【解析】（1）设等差数列的公差为，为的前项和，则，即，解得，故；（2）证明：由（1）可知，当为偶数时，当为奇数时，故原式得证23（2023新高考）设等差数列的公差为，且令，记，分别为数列，的前项和（1）若，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求【解析】（1），根据题意可得，又，解得，；（2）为等差数列，为等差数列，且，根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；或设，则，且，当，时，则，又，解得；当，时，则，又，此时无解，综合可得24（2021新高考）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和【解析】（1）因为，所以，所以，所以数列是以为首项，以3为公

11、差的等差数列，所以另解：由题意可得，其中，于是，（2）由（1）可得，则，当时，也适合上式，所以，所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，则的前20项和为25（2020海南）已知公比大于1的等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）求【解析】（1）设等比数列的公比为，则，（2）令，则，所以，所以数列是等比数列，公比为，首项为8，26（2020山东）已知公比大于1的等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和【解析】（1）设等比数列的公比为，解得或（舍去），（2）记为在区间，中的项的个数，故，可知0在数列中有1项，1在数列中有2项，2在数列中有4项，由，可知

12、，数列的前100项和27（2020浙江）已知数列，满足，（）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；（）若为等差数列，公差，证明：，【解析】（）解：由题意，整理，得，解得（舍去），或，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，则，各项相加，可得（）证明：依题意，由，可得，两边同时乘以，可得，数列是一个常数列，且此常数为，又，故得证考点八 数列与不等式的综合28（2022新高考）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列（1）求的通项公式；（2）证明：【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，所以，整理得，故当时，得：，故，化简得：，；所以，故（首项符合通项）所以证明：（2）由于，所以，所以考

13、点九 数列与函数的综合29（2023上海）已知，在该函数图像上取一点，过点，做函数的切线，该切线与轴的交点记作，若，则过点，做函数的切线，该切线与轴的交点记作，以此类推，直至停止，由这些项构成数列（1）设属于数列，证明：；（2）试比较与的大小关系；（3）若正整数，是否存在使得、依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由【解析】（1）证明：，则过点，的切线的斜率为，由点斜式可得，此时切线方程为，即，令，可得，根据题意可知，即得证；（2）先证明不等式，设，则，易知当时，单调递增，当时，单调递减，则（1），即，结合（1）可知，；（3）假设存在这样的符合要求，由（2）可知，数列为严格

14、的递减数列，2，3，由（1）可知，公差，先考察函数，则，易知当时，单调递增，当时，单调递减，则至多只有两个解，即至多存在两个，使得，若，则，矛盾，则，当时，设函数，由于，则存在，使得，于是取，它们构成等差数列综上，30（2019浙江）设等差数列的前项和为，数列满足：对每个，成等比数列（）求数列，的通项公式；（）记，证明：，【解析】（）设数列的公差为，由题意得，解得，数列满足：对每个，成等比数列，解得，解得，（）证明：，用数学归纳法证明：当时，不等式成立；假设，时不等式成立，即，则当时，即时，不等式也成立由得，考点十 数列的应用32（2022新高考）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的

15、水平距离称为步，垂直距离称为举图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，已知，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则A0.75B0.8C0.85D0.9【解析】设，则，由题意得：，且，解得，故选：33（2022上海）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是A若，则数列是递增数列B若，则数列是递增数列C若数列是递增数列，则D若数列是递增数列，则【解析】如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；如果数列，公比为，数列是递增数列，但是，所以不正确；数列是递

16、增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以正确；故选：34（2020上海）已知数列为有限数列，满足，则称满足性质（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质，请说明理由；（2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围；（3）若是1，2，3，的一个排列，符合，2，、都具有性质，求所有满足条件的数列【解析】（1）对于数列3，2，5，1，有，满足题意，该数列满足性质；对于第二个数列4、3、2、5、1，不满足题意，该数列不满足性质（2）由题意：，可得：，3，两边平方可得：，整理可得：，当时，得此时关于恒成立，所以等价于时，所以，所以，或，所以取，当时，得，此时关于恒成立，

17、所以等价于时，所以，所以，所以取当时：，当为奇数时，得，恒成立，当为偶数时，不恒成立；故当时，矛盾，舍去当时，得，当为奇数时，得，恒成立，当为偶数时，恒成立；故等价于时，所以，所以或，所以取，综上，（3）设，4，因为，可以取，或，可以取，或，如果或取了或，将使不满足性质；所以的前5项有以下组合：，；，；，；，；对于，与满足性质矛盾，舍去；对于，与满足性质矛盾，舍去；对于，与满足性质矛盾，舍去；对于，与满足性质矛盾，舍去；所以，4，均不能同时使、都具有性质当时，有数列，2，3，满足题意当时，有数列，3，2，1满足题意当时，有数列，1，3，满足题意当时，有数列，3，2，1满足题意所以满足题意的数列

18、只有以上四种35（2019上海）数列有100项，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质（1）若，求所有可能的值；（2）若不为等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质；（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用，表示【解析】（1）数列有100项，对任意，存在，若，则当时，当时，则或，当时，则或或或的所有可能的值为：3，5，7；（2）不为等差数列，数列存在使得不成立，对任意，存在，；存在，使，则对于，存在，使得，因此中存在具有性质的项；（3）由（2）知，去除具有性质的数列中的前三项，则数列的剩余项均不相等，对任意，存在，则一定能将数列的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为，公差为，