专题08 三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型（原卷版）.docx

1、专题08 三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”

2、，在以后还会遇到很多类似总结）。平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 图1 图2 图3 条件：如图1，OO平分MON，过OO的一点P作PQ/ON. 结论：OPQ是等腰三角形。条件：如图2，ABC中，BD是 ABC的角平分线，DE BC。结论：BDE是等腰三角形。条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N结论：BOM、CON都是等腰三角形。2）角平分线加射影模型必出等腰三角形 图4条件：如图4，BE平分CBA，ACBCDA90. 结论：三角形CEF是等腰三角形。例1（2023河南濮阳统考二模）如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；分

3、别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点若，则的度数为（）ABCD例2（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为ABC的ABC和ACB的平分线的交点，OD / AB交BC于点D， OE / AC交BC于点E若AB=5 cm，BC=10 cm，AC=9 cm，则ODE的周长为()A10 cmB9 cmC8 cmD5 cm例3（2023广东八年级期末）如图，ABCD中，AB3cm，BC5cm，BE平分ABC交AD于E点，CF平分BCD交AD于F点，则EF的长为 cm例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，则_例5（20

4、23.山东八年级期末）如图，ABC中，AB=AC，B、C的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F.(1)图中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图,若ABAC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图，若ABC中B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型1）内角平分线定理 图1 图2 图3条件：如图1，在A

5、BC中，若AD是BAC的平分线。 结论：2）外角平分线定理条件：如图2，在ABC中，BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：3）奔驰模型条件：如图3，的三边、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。例1（2022秋山东菏泽八年级统考期中）如图，在中，是的平分线，设和的面积分别是，则 例2（2023广东惠州八年级校考阶段练习）如图，的三边，长分别是3，4，5，其三条角平分线将分为三个三角形，则为（）ABCD例3（2022春江苏九年级专题练习）请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理，如图1，在ABC中，AD平分BAC，则下面是

6、这个定理的部分证明过程证明：如图2，过点C作交BA的延长线于点E任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3，已知RtABC中，AB3，BC4，ABC90，AD平分BAC，求ABD的周长例4、ABC中，BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：例5.（2022秋北京八年级北京八十中校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接(1)如图1，当点D是边的中点时，_；(2)如图2，当平分时，若，求的值（用含m、n的式子表示）；(3)如图3，平分，延长到E使得，连接，若，求的值课后专项训练1（2023春山东淄博九年级校考期中）如图，中，点I为各内角平分线的交点

7、，过I点作的垂线，垂足为H，若，那么的值为（）A1BC2D2（2023春湖南岳阳八年级统考期末）如图，是的角平分线，相交于点于，下列四个结论：；若的周长为，则；若，则其中正确的结论有（）个ABCD3（2023秋四川南充八年级校考期末）如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；若，则；其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个4（2022秋江苏宿迁八年级校考期末）如图，在中，垂足为D，平分，交于点E，交于点F若，则的长为（）AB3CD5（2023春四川达州八年级校考阶段练习）如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E

8、，交CB于点F，则下列结论成立的是（）AECEFBFEFCCCECFDCECFEF6（2023贵州中考模拟）如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A6B7C8D97（2023河南开封统考模拟预测）如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（）A是的平分线BC点在线段的垂直平分线上D8（2023江苏扬州九年级校联考期末）如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点

9、F若AC6，AB10，则DE的长为（）AB3CD9（2023北京顺义统考二模）如图，在中，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F若，则的长为 10（2023春陕西咸阳八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，在中，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为 11（2023秋安徽滁州八年级统考期末）中，D是边上的点（不与点B，C重合），连接（1）如图1，当平分时，若，则 ；（2）如图2，平分，延长到E，使得，连接，如果，则 .12.（2023.广东九年级期中）如图所示，在ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，CBP的平分线交CE于Q

10、，当CQ =CE时，EP+BP =_. 13（2023春山东淄博七年级统考期末）如图，在中，是斜边上的高，的平分线交于点，交于点(1)求证：是等腰三角形(2)若，求的长度14（2023秋江苏八年级专题练习）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，与交于点，求证：是等腰三角形15（2023广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在中，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有_个等腰三角形：与、之间的数量关系是_，的周长是_（2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，”其余条件不变，则图中共有_个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长（3）已知：如图3

11、，在外，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？写出结论并证明16.（2022秋福建厦门八年级厦门市湖里中学校考期中）如图，为的角平分线（1）如图1，若于点，交于点，则_；（2）如图2，若，的面积是10，求的面积；（3）如图3，若，请直接写出的长（用含，的式子表示）17（2023湖南长沙统考二模）如图，按照下列步骤作图：以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于E、F两点；分别以E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；作射线，交于点M(1)试根据作图过程，说明是的平分线的理由；(2)若，求的度数18（2023宁夏石嘴山统考一模）爱动脑筋的小明同学在学

12、习完角平分线的性质一节后意犹未尽经过思考发现里面还有一个有趣的结论：(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：小明的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，是的角平分线，且， ，(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D求证：(3)【直接应用】如图3所示，中，是交于D，若，在不添加辅助线的情况下直接写出 (4)【拓展应用】如图4所示，在中，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形ABDE），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形DEGF），求出剩余部分的面积 19（2023河南驻马店校考三模）阅读以下材

13、料，并按要求完成相应的任务数学的发现是2006年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治波利亚本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题（有些是非数学的）进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形共高定理：如图，设点M在直线上，点P为直线外一点，则有下面是该结论的证明过程：证明：如图，过点P作于点Q，按要求完成下列任务：(1)请你按照以上证明思路，结合图完成剩余的证明；(2)如图，画出的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）；若的平分线交于D，求证：；(3)如图，E是平行四边形边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为2，则的面积为 ；20（2023安徽合肥九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务：已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图，在ABC中，AD平分BAC，则下面是这个定理的部分证明过程(1)证明：如图，过C作CEDA，交BA的延长线于E请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分(2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程。