专题08 三角形综合篇（解析版）.docx

1、专题07 三角形的综合知识回顾1. 角平分线的性质：平分角。角平分线上任意一点到角两边的距离相等。2. 角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。3. 角平分线的尺规作图：具体步骤：以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图。分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图。连接OP，OP即为角的平分线。4. 垂直平分线的性质： 垂直且平分线段。 垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。5. 垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。6. 垂直平分线的吃规作图：具体步骤：以线段

2、两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图7. 中位线的性质： 三角形的中位线平行且等于第三边的一半。8. 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两腰相等。等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。（简称底边上三线合一）9. 等腰三角形的判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。有两个底角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。10. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个

3、角都等于60。等边三角形三条边都存在“三线合一”等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。等腰三角形的面积等于（为等腰三角形的边长）。11. 等腰三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等（两个角是60）的三角形是等腰三角形。底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。12. 直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。含30的直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。直角三角形的勾股定理。13. 勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于

4、斜边的平方。若直角三角形的两直角边是，斜边是，则。14. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是，且满足，则三角形是直角三角形，且C是直角。15. 特殊三角形三边的比：含30的直角三角形三边的比例为（从小打大）：。45的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：。16. 两点间的距离公式： 若点与点，则线段AB的长度为：。专题练习1如图，在RtACB中，ACB90，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EFAC于点F，连接CM，CE已知A50，ACE30（1）求证：CECM（2）若AB4，求线段FC的长【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MCMAMB，根据外角的性质可得MECA+ACE，EM

5、CB+MCB，根据等角对等边即可得证；（2）根据CECM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长【解答】（1）证明：ACB90，点M为边AB的中点，MCMAMB，MCAA，MCBB，A50，MCA50，MCBB40，EMCMCB+B80，ACE30，MECA+ACE80，MECEMC，CECM；（2）解：AB4，CECMAB2，EFAC，ACE30，FCCEcos302如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长（2）当a3时，该小正方形的面积是多少？【分析】（1）观察图形，

6、用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；（2）根据正方形的面积边长的平方列出代数式，把a3代入求值即可【解答】解：（1）直角三角形较短的直角边2aa，较长的直角边2a+3，小正方形的边长2a+3aa+3；（2）小正方形的面积（a+3）2，当a3时，面积（3+3）2363如图，在ABC中，ACB90，BC4，点D在AC上，CD3，连接DB，ADDB，点P是边AC上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设APx，PDQ与ABD重叠部分的面积为S（1）求AC的长；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围【分析】（1）根据勾股定理可

7、求出BD，根据ADBD进而求出AC，（2）分两种情况进行解答，即点P在点D的左侧或右侧，分别画出相应的图形，根据相似三角形的判定和性质分别用含有x的代数式表示PD、PE、PQ，由三角形面积之间的关系可得答案【解答】解：（1）在RtBCD中，BC4，CD3，BD5，又ADBD，ACAD+CD5+38；（2）当点P在点D的左侧时，即0x5，如图1，此时重叠部分的面积就是PQD的面积，PQAC，BCAC，PQBC，ABCAQP，2，设APx，则PQx，PDADAP5x，S重叠部分SPQD（5x）xx2+x；当点P在点D的右侧时，即5x8，如图2，由（1）得，APx，PQx，则PDx5，PQBC，DP

8、EDCB，PE（x5），QEPQPEx（x5）x+，S重叠部分SDEQ（x5）（x+）x2+x；答：S关于x的函数解析式为：当0x5时，Sx2+x；当5x8时，Sx2+x4在ABC中，ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DEDF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DEDF，EA的延长线交CF于点M（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；连接DM，求EMD的度数；若DM6，ED12，求EM的长【分析】（1）证明ADECD

9、F（SAS），由全等三角形的性质得出AECF，DAEDCF，由直角三角形的性质证出EMC90，则可得出结论；（2）同（1）可证ADECDF（SAS），由全等三角形的性质得出AECF，EF，则可得出结论；过点D作DGAE于点G，DHCF于点H，证明DEGDFH（AAS），由全等三角形的性质得出DGDH，由角平分线的性质可得出答案；由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案【解答】解：（1）ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线，ADBDCD，ADBC，ADECDF90，又DEDF，ADECDF（SAS），AECF，DAEDCF，DAE+DEA90，DCF+DE

10、A90，EMC90，AECF故答案为：AECF，AECF；（2）（1）中的结论还成立，理由：同（1）可证ADECDF（SAS），AECF，EF，F+ECF90，E+ECF90，EMC90，AECF；过点D作DGAE于点G，DHCF于点H，EF，DGEDHF90，DEDF，DEGDFH（AAS），DGDH，又DGAE，DHCF，DM平分EMC，又EMC90，EMDEMC45；EMD45，DGM90，DMGGDM，DGGM，又DM6，DGGM6，DE12，EG6，EMGM+EG6+65【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图，在ABC和ABC中，AD，AD分别是BC和BC边

11、上的高线，且ADAD、则ABC和ABC是等高三角形【性质探究】如图，用SABC，SABC分别表示ABC和ABC的面积，则SABCBCAD，SABCBCAD，ADADSABC：SABCBC：BC【性质应用】（1）如图，D是ABC的边BC上的一点若BD3，DC4，则SABD：SADC ；（2）如图，在ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点若BE：AB1：2，CD：BC1：3，SABC1，则SBEC ，SCDE ；（3）如图，在ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点若BE：AB1：m，CD：BC1：n，SABCa，则SCDE 【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；（2

12、）同（1）的方法即可求出答案；（3）同（1）的方法即可求出答案【解答】解：（1）BD3，DC4，SABD：SADCBD：DC3：4，故答案为：3：4；（2）BE：AB1：2，SBEC：SABCBE：AB1：2，SABC1，SBEC；CD：BC1：3，SCDE：SBECCD：BC1：3，SCDESBEC；故答案为：，；（3）BE：AB1：m，SBEC：SABCBE：AB1：m，SABCa，SBECSABC；CD：BC1：n，SCDE：SBECCD：BC1：n，SCDESBEC，故答案为：6在四边形ABCD中，O是边BC上的一点若OABOCD，则点O叫做该四边形的“等形点”（1）正方形 “等形点”

13、（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”已知CD4，OA5，BC12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EHFG若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值【分析】（1）根据“等形点”的定义可知OABOCD，则OABC90，而O是边BC上的一点从而得出正方形不存在“等形点”；（2）作AHBO于H，由OABOCD，得ABCD4，OAOC5，设OHx，则BH7x，由勾股定理得，（4）2（7x）252x2，求出x的值，再利用勾股定理求出AC的长即可；（3）根据“等形点”的定义可得OEFOGH，则EOFHOG，OEOG

14、，OGHOEF，再由平行线性质得OEOH，从而推出OEOHOG，从而解决问题【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，C90，OABOCD，OABC90，O是边BC上的一点正方形不存在“等形点”，故答案为：不存在；（2）作AHBO于H，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”，OABOCD，ABCD4，OAOC5，BC12，BO7，设OHx，则BH7x，由勾股定理得，（4）2（7x）252x2，解得，x3，OH3，AH4，CH8，在RtCHA中，AC4；（3）如图，边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，OEFOGH，EOFHOG，OEOG，OGHOEF，EHFG，HEOEOF，EHOH

15、OG，HEOEHO，OEOH，OHOG，OEOF，17两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形（1）问题发现：如图1，若ABC和ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边求证：BDCE；（2）解决问题：如图2，若ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一条直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由【分析】（1）根据ABC和ADE是顶角相等的等腰三角形，证明ABDACE（SAS），即可得BDC

16、E；（2）根据ACB和DCE均为等腰直角三角形，可得ACDBCE（SAS），即有ADBE，ADCBEC，从而可得BECADC135，即知AEBBECCED90，由CDCE，CMDE，DCE90，可得DMMECM，故AEAD+DEBE+2CM【解答】（1）证明：ABC和ADE是顶角相等的等腰三角形，ABAC，ADAE，BACDAE，BACDACDAEDAC，即BADCAE，ABDACE（SAS），BDCE；（2）解：AEB90，AEBE+2CM，理由如下：如图：ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBC，DCEC，ACB90DCE，ACDBCE，ACDBCE（SAS），ADBE，ADCBEC，C

17、DE是等腰直角三角形，CDECED45，ADC180CDE135，BECADC135，AEBBECCED1354590，CDCE，CMDE，DMME，DCE90，DMMECM，DE2CM，AEAD+DEBE+2CM8在ABC中，ACBC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DECD，过点E作EFAB，交直线AB于点F（1）如图1，若ACB120，请用等式表示AC与EF的数量关系： （2）如图2若ACB90，完成以下问题：当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；当点D，点F位于点A的同侧时，若DF1，AD3，请直接写出AC的长【分析】（1）过点

18、C作CGAB于G，先证明EDFCDG，得到EFCG，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；（2）过点C作CHAB于H，与（1）同理，证明EDFCDH，然后证明ACH是等腰直角三角形，即可得到结论；过点C作CGAB于G，与（1）同理，得EDFCDG，然后得到ACG是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案【解答】解：（1）过点C作CGAB于G，如图1，EFAB，EFDCGD90，EDFCDG，DECD，EDFCDG（AAS），EFCG；在ABC中，ACBC，ACB120，；故答案为：；（2）过点C作CHAB于H，如图2，与（1）同理，可证EDFCDH，DFD

19、H，AD+DFAD+DHAH，在ABC中，ACBC，ACB90，ABC是等腰直角三角形，CAH45，ACH是等腰直角三角形，；如图3，过点C作CGAB于G，与（1）同理可证，EDFCDG，DFDG1，AD3，当点F在点A、D之间时，有AG1+34，与同理，可证ACG是等腰直角三角形，；当点D在点A、F之间时，如图4：AGADDG312，与同理，可证ACG是等腰直角三角形，；综合上述，线段AC的长为或9已知ABCDEC，ABAC，ABBC（1）如图1，CB平分ACD，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图2，将（1）中的CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用

20、等式表示ACE与EFC之间的数量关系，并证明；（3）如图3，将（1）中的CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于ABC），若BADBCD，求ADB的度数【分析】（1）根据全等三角形的性质得到ACDC，根据角平分线的定义得到DCBACB，证明四边形ABCD为平行四边形，根据菱形的判定定理证明结论；（2）根据全等三角形的性质得到ABCDEC，根据三角形内角和定理证明即可；（3）在AD上取点M，使AMBC，连接BM，证明AMBCBD，得到BMBD，ABMCDB，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案【解答】（1）证明：ABCDEC，ACDC，ABAC，ABCACB，ABDC，CB平分ACD，

21、DCBACB，ABCDCB，ABCD，四边形ABDC为平行四边形，ABAC，平行四边形ABDC为菱形；（2）解：ACE+EFC180，理由如下：ABCDEC，ABCDEC，ACBDEC，ACB+ACFDEC+CEF180，CEFACF，CEF+ECF+EFC180，ACF+ECF+EFC180，ACE+EFC180；（3）解：如图3，在AD上取点M，使AMBC，连接BM，在AMB和CBD中，AMBCBD（SAS），BMBD，ABMCDB，BMDBDM，BMDBAD+MBA，ADBBCD+BDC，设BCDBAD，BDC，则ADB+，CACD，CADCDA+2，BACCADBAD2，ACB（180

22、2）90，ACD90+，ACD+CAD+CDA180，90+2+2180，+30，即ADB3010问题提出（1）如图1，AD是等边ABC的中线，点P在AD的延长线上，且APAC，则APC的度数为 问题探究（2）如图2，在ABC中，CACB6，C120过点A作APBC，且APBC，过点P作直线lBC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积问题解决（3）如图3，现有一块ABC型板材，ACB为钝角，BAC45工人师傅想用这块板材裁出一个ABP型部件，并要求BAP15，APAC工人师傅在这块板材上的作法如下：以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；作CD的垂直平分线l，与

23、CD交于点E；以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得ABP请问，若按上述作法，裁得的ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论【分析】（1）根据等边三角形的性质得到ABAC，BAC60，根据等腰三角形的三线合一得到PAC30，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案；（2）连接PB，证明四边形PBCA为菱形，求出PB，解直角三角形求出BE、PE、OE，根据三角形的面积公式计算即可；（3）过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，根据线段垂直平分线的性质得到PAPF，根据等边三角形的性质得到PAF60，进而求出BAP15，根据要求判断

24、即可【解答】解：（1）ABC为等边三角形，ABAC，BAC60，AD是等边ABC的中线，PACBAC30，APAC，APC（18030）75，故答案为：75；（2）如图2，连接PB，APBC，APBC，四边形PBCA为平行四边形，CACB，平行四边形PBCA为菱形，PBAC6，PBC180C60，BEPBcosPBC3，PEPBsinPBC3，CACB，C120，ABC30，OEBEtanABC，S四边形OECASABCSOBE633；（3）符合要求，理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，CACD，DAC45，ACD90，四边形FDCA为正方形，PE

25、是CD的垂直平分线，PE是AF的垂直平分线，PFPA，APAC，PFPAAF，PAF为等边三角形，PAF60，BAP604515，裁得的ABP型部件符合要求11如图，在ABC中，ABC40，ACB90，AE平分BAC交BC于点EP是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将APC沿AP翻折得APD，连结DC，记BCD（1）如图，当P与E重合时，求的度数（2）当P与E不重合时，记BAD，探究与的数量关系【分析】（1）由B40，ACB90，得BAC50，根据AE平分BAC，P与E重合，即得ACDADC65，从而ACBACD25；（2）分两种情况：当点P在线段BE上时，可得ADCACD90，根据

26、ADC+BADB+BCD，即可得250；当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由ADCACD90，又ADCAFC+BCD，AFCABC+BAD可得9040+，2+50【解答】解：（1）B40，ACB90，BAC50，AE平分BAC，P与E重合，D在AB边上，ACAD，ACDADC（180BAC）265，ACBACD25；答：的度数为25；（2）当点P在线段BE上时，如图：将APC沿AP翻折得APD，ACAD，BCD，ACB90，ADCACD90，又ADC+BADB+BCD，BAD，B40，（90）+40+，250，如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：将APC沿AP翻

27、折得APD，ACAD，BCD，ACB90，ADCACD90，又ADCAFC+BCD，AFCABC+BAD，ADCABC+BAD+BCD40+，9040+，2+50；综上所述，当点P在线段BE上时，250；当点P在线段CE上时，2+5012综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在ABC中，D是AB上一点，ADCACB求证ACDABC独立思考：（1）请解答王老师提出的问题实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答“如图2，延长CA至点E，使CEBD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF、BC上，BGCD，BGHBC

28、F在图中找出与BH相等的线段，并证明”问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当BAC90时，若给出ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求该小组提出下面的问题，请你解答“如图3，在（2）的条件下，若BAC90，AB4，AC2，求BH的长”【分析】（1）利用三角形的外角的性质证明即可；（2）结论：BHEF如图2中，在CB上取一点T，使得GHCT证明BGHDCT（SAS），推出BHDT，GBHCDT，再证明CEFBDT（AAS），推出EFDT，可得结论；（3）如图3，过点E作EMAD交CE的延长线于点M利用平行线分线段成比例定理解决问题即可【解答】（

29、1）证明：如图1中，ADCACB，B+DCBDCB+ACD，ACDB；（2）解：结论：BHEF理由：如图2中，在CB上取一点T，使得GHCT在BGH和DCT中，BGHDCT（SAS），BHDT，GBHCDT，CDT+FDT180，GBH+FDT180，BFD+BTD180，CFE+BFD180，CFEBTD，在CEF和BDT中，CEFBDT（AAS），EFDT，EFBH；（3）解：如图3，过点E作EMAD交CE的延长线于点MADEM，EM，tanACDtanABC，AC2，AB4，AD1，BDCE3，AE1，BE，EFBE13如图1，在ABC中，ACBC，ACB90，AB4cm点D从A点出发，

30、沿线段AB向终点B运动过点D作AB的垂线，与ABC的直角边AC（或BC）相交于点E设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：变量a（cm）00.511.522.533.54变量h（cm）00.511.521.510.50在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图21；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图22根据探究的结果，解答下列问题：当a1.5时，h ；当h1时，a 将图21，图22中描出的点顺次连接起来下列说法正确的是 （填“A”或“

31、B”）A变量h是以a为自变量的函数B变量a是以h为自变量的函数（2）如图3，记线段DE与ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积（cm2）为s分别求出当0a2和2a4时，s关于a的函数表达式；当s时，求a的值【分析】（1）当0a2时，DEAD，即：ha；当h1时，在0a2和2a4各有一个自变量a与之对应；连线分别是两条线段；根据函数的定义判断；（2）阴影部分面积分别是等腰直角三角形，边长分别是a和4a，进而求得结果；分别代入中的两个函数关系式，求得结果【解答】解：（1）从图1中，当a2时，ADE是等腰直角三角形，DEAD1.5，从图2，当h1时，横坐标a对应1或3，故答案为：1.

32、5；1或3；如图，当自变量a变化时，h随之变化，当a确定时，h有唯一一个值与之对应，所以h是a的函数；当自变量h确定时，a有两个值与之对应，所以a不是h的函数，故答案为A；（2）当0a2时，DEADa，SADEADDE；当2a4时，DEABAD4a，S，S；当S时，当0a2时，a11，a21（舍去），当24时，a33，a45（舍去），综上所述：当S时，a1或314已知CD是ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，ADm，BDn，ADE与BDF的面积之和为S（1）填空：当ACB90，DEAC，DFBC时，如图1，若B45，m5，则n ，S ；如图2，若B60，m4，则n ，S ；（2）如

33、图3，当ACBEDF90时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；（3）如图4，当ACB60，EDF120，m6，n4时，请直接写出S的大小【分析】（1）证明ADE，BDF都是等腰直角三角形即可解决问题；解直角三角形求出AE，DE，BF，DF可得结论；（2）如图3中，过点D作DMAC于点M，DNBC于点N证明DMEDNF（ASA），推出SSADE+SBDFSADM+SBDN，把BDN绕点D逆时针旋转90得到右边ADN，ADN90，ADm，DNn，可得结论；（3）如图4中，过点D作DMAC于点M，DNBC于点N证明DMEDNF（AAS），推出SSADE+SBDFSADM+SBDN，把ADM绕点顺

34、时针旋转120得到DNT，BDT60，DT6，DB4，过点B作BHDT于点H，解直角三角形求出BH，可得结论【解答】解：（1）如图1中，ACB90，B45，CACB，CD平分ACB，ADDB5，DEAC，DFBC，AB45，ADE，BDF都是等腰直角三角形，BFDF5，AEDE5，S55+5525，故答案为：5，25；如图2中，在RtADE中，AD4，A90B30，DEAD2，AEDE6，DEAC，DFBC，CD平分ACB，DEDF2，BF2，BD2BF4，n4，S26+228，故答案为：4，8；（2）如图3中，过点D作DMAC于点M，DNBC于点NDMAC，DNBC，CD平分ACB，DMDN

35、，DMCDNCMCN90，四边形DNCM是矩形，DMDN，四边形DMCN是正方形，MDNEDF90，MDENDF，DMEDNF，DMEDNF（ASA），SSADE+SBDFSADM+SBDN，把BDN绕点D逆时针旋转90得到右边ADH，ADH90，ADm，DHn，Smn；（3）如图4中，过点D作DMAC于点M，DNBC于点NDMAC，DNBC，CD平分ACB，DMDN，DMCDNC90，MDN180ACB120，EDFMDN120，EDMFDN，DMEDNF90，DMEDNF（AAS），SSADE+SBDFSADM+SBDN，把ADM绕点顺时针旋转120得到DNT，BDT60，DT6，DB4，

36、过点B作BHDT于点H，BHBDsin6042，SSBDT62615回顾：用数学的思维思考（1）如图1，在ABC中，ABACBD，CE是ABC的角平分线求证：BDCE点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE求证：BDCE（从两题中选择一题加以证明）猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在ABC中，ABAC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BDCE进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：（2）如图2，在ABC中，ABAC，点D，E分别在边A

37、C，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BDCE，并证明探究：用数学的语言表达（3）如图3，在ABC中，ABAC2，A36，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点判断BF与CE能否相等若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由【分析】（1）证明BCDCBE（ASA），推出BDCE即可；证明BCDCBE（SAS），推出BDCE即可；（2）添加条件：BECD（答案不唯一）利用全等三角形的性质证明即可；（3）能设CFx，假设BFAB，利用相似三角形的性质求出x的值，即可判断【解答】（1）证明：ABAC，ABCACB，BD是ABC的角平分线，DBCABC，同

38、理ECBACB，DBCECB，在BCD和CBE中，BCDCBE（ASA），BDCE；ABAC，ABCACB，D是AC的中点，CDAC，同理BEAB，BECD，在BCD和CBE中，BCDCBE（SAS），BDCE；（2）解：添加条件：BECD（答案不唯一）理由：ABAC，ABCACB，ABC+EBCACB+BCD180，CBEBCD，在BCD和CBE中，BCDCBE（SAS），BDCE；（3）能理由：如图3中，值AC上取一点D，使得BDCE若BFCE，则BFBD，反之也成立BDAB，BFAB，显然BD越大，BF就越大，CF也越大，假设BFAB，A36，BFAA36，ABF180236108，ABAC，ABCACB72，BCF18072108，BCFABF，BCFABF，BFCAFB，BFCAFB，设CFx，ABAC2，BF2，AF2+x，解得x1或1，经检验x1是分式方程的解，且符合题意，CF1，E与A不重合，0CF1