专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）(典型题型归类训练)（解析版）.docx

1、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型2题型一：求的前项和2题型二：求的前项和5题型三：通项含有的类型；例如：10题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题13三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练17一、必备秘籍有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：角度1：求的前项和角

2、度2：求的前项和类型二：通项含有的类型；例如：类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题二、典型题型题型一：求的前项和例题1（2023秋安徽高三校联考阶段练习）已知为等差数列的前n项和，(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为d，解得（2）当n为奇数时，当为偶数时，设，则，得故例题2（2023秋山东德州高三德州市第一中学校考阶段练习）数列满足，(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和【答案】(1)(2)【详解】（1），则，两式相除得：，当时，即，当时，即，综上所述，的通项公式为：；（2）由题设及（1）可知：，例题3（2023秋湖南衡阳高三

3、衡阳市八中校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，设数列的公差为，因为，所以，则，因为，即，所以，所以，所以，即（2）因为，所以，所以例题4（2023秋安徽高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知数列满足，.(1)记，求证：数列是等比数列；(2)若，求.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，所以，故，故，当时，故，所以数列是首项为5，公比为2的等比数列；（2）由（1）知：，故，其中，故，设，故.题型二：求的前项和例题1（2023浙江绍兴统考模拟预测）已知数列满足.(1)求的通项公式

4、；(2)设数列满足求的前项和.【答案】(1),；(2).【详解】（1）根据题意可知，所以当为奇数时，即，所以当为偶数时，；当为偶数时，即，所以当为奇数时，.综上，,.（2）由（1）可知当为奇数时，若，即，解得，当为偶数时，若，即，解得，所以，当时，所以.当时，且为奇数时，当时，且为偶数时，.综上，例题2（2023全国高三专题练习）在数列中，且对任意的，都有.(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，；(2).【详解】（1）证明：因为，所以.因为，所以，又，则有，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.所以，所以，又，所以是以1为首项，1为

5、公差的等差数列，所以，所以.（2）由（1）知，则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.所以当为偶数，且时，；当为奇数，且时，为偶数，.时，满足.所以，当为奇数，且时，有.综上，.例题3（2023全国高三专题练习）数列的前项和为，数列的前项积为，且(1)求和的通项公式；(2)若，求的前项和【答案】(1)；(2)【详解】（1）当时，当时，所以，因为，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；当时，当时，时也符合，所以（2）由（1）知，所以，当即为偶数时，即；当为奇数时，所以例题4（2023全国高三专题练习）已知数列中，（），成等差数列(1)求k的值和的通项公式

6、；(2)设，求数列的前n项和【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：，成等差数列，所以，得，得，因为，所以，所以，得（2）由（1）知， 当n为偶数时，设n2k，可得，即；当n为奇数时，设n2k1，可得，即综上所述，.题型三：通项含有的类型；例如：例题1（2023秋天津和平高三天津二十中校考阶段练习）数列是等差数列，数列是等比数列，且，(1)求数列的公差以及数列的公比；(2)求数列前项的和(3)求数列前项的和【答案】(1)数列的公差为1，数列的公比为2(2)(3)【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，由题意可得，即，解得，所以数列的公差为1，数列的公比为2.（2）由（1）可得：，

7、则，设数列前项的和为，则，所以.（3）由（2）可知，当为奇数，则，设数列前项的和为，则，可得，两式相减得，所以.例题2（2023秋广东珠海高三珠海市第二中学校考阶段练习）已知数列满足（是常数）.(1)若，证明是等比数列；(2)若，且是等比数列，求的值以及数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2),【详解】（1）依题意，当时，所以数列是首项，公比为的等比数列.（2）依题意，且是等比数列，则，所以，而，故解得，则，所以等比数列的公比，则，所以，所以，当为偶数时，当为奇数时，综上所述，.例题3（2023河南开封校考模拟预测）已知数列的前项和满足，且(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案

8、】(1)(2)【详解】（1）因为，当时，所以，即，所以，所以，即是常数数列，又，所以，则.（2）因为，当为偶数时，；当为奇数时，；综上可得.例题4（2023山东山东师范大学附中校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，成等差数列(1)求的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和【答案】(1)(2)【详解】（1）由，成等差数列，得，当时，得（舍去），当时，得，又，是首项为2，公差为1的等差数列，故；（2）由（1）知，当是奇数时，当是偶数时，综上.题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题例题1（2023吉林长春东北师大附中校考一模）已知各项均为正数的数列满足：，(1)求数列的通

9、项公式；(2)若，记数列的前项和为，求【答案】(1)(2)【详解】（1）因为各项为正数，所以上式两边同时除以，得，令，则，即，解得（负值舍去），所以，又，所以是以，的等比数列，故.（2），当时，当时，当时，当时，根据三角函数周期性知的周期为4，则例题2（2023春重庆九龙坡高三重庆市育才中学校考开学考试）设为正数数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前99项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）,两式相减，化简得，又,所以,所以数列为等差数列，在中令得，因此数列的通项公式为；（2）由的周期为3， ， ，因此 .例题3（2023全国高二专题练习）已知为等差数列的前n项和，.

10、(1)求的通项公式；(2)若，的前项和为，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）设数列的公差为，则解得，所以（2）由，可得，数列的最小正周期，所以，所以例题4（2023全国高二专题练习）已知正项数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1），当时，两式子作差可得，又，所以，可得数列为公差为2 的等差数列，当时，所以，数列的通项公式为.（2），所以，数列的前项和.例题5（2023春广东佛山高二佛山市第四中学校考阶段练习）已知在数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，即数列为

11、常数列，因为，所以.（2）由（1）可得，三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练一、单选题1（2023全国高三专题练习）已知数列的前项和为，则（）A1012BC2023D【答案】D【详解】，故故.故选：D.2（2023秋广东深圳高二统考期末）若数列的通项公式（），则的前项和（）ABCD【答案】C【详解】因为，则，故选：C3（2023全国高二专题练习）已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，则（）A0B50C100D2525【答案】B【详解】法一：由于，则当时，-，得，即，易知，所以又满足，故，则，易知，所以.法二：由于，则当时，-，得，即，又易知，所以数列为常数列，所以，所以，则，易知

12、，所以.故选：B4（2023全国高三专题练习）已知数列满足，数列的前n项和为，则（）A351B353C531D533【答案】B【详解】依题意，显然，当n为奇数时有，即有，令，故，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，故；当n为偶数时有，即，于是，故选：B5（2023全国高三专题练习）已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（）A1008B1009C1010D1011【答案】D【详解】解：因为当为奇数时，为偶数时，所以，所以，所以；故选：D6（2023春陕西西安高二西安中学校考期中）已知数列的通项公式是，则（ ）ABC3027D3028【答案】A【详解】解：由，得.故选：A.二、填空题7（202

13、3秋辽宁高三校联考阶段练习）数列满足则数列的前60项和为 【答案】【详解】由，得，所以，即，又，所以， 所以数列为各项均为1的常数数列，所以，又由得，即，所以，所以数列的前60项和为 .故答案为：.8（2023春江西上饶高二上饶市第一中学校考阶段练习）已知数列的通项公式，其前项和为，则 .【答案】-1012【详解】解：因为，所以，当时，当时，当时，当时，所以，所以，故，所以.故答案为：-1012.9（2023全国高三专题练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则 【答案】【详解】由题意，在数列中，当或，时，；当，时，；当，时，故答案为：-2023.10（2023秋辽宁沈阳高三沈阳二中校考开学考试

14、）设数列的通项公式为，其前项和为，则 .【答案】100【详解】当或，时，；当，时，当，时.，.故答案为：100.三、解答题11（2023春辽宁朝阳高二建平县实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，求的值.【答案】36【详解】法一：由可得：当n为奇数时，两式相减可得：，所以.当n为偶数时，两式相加可得：，所以，所以.法二：因为，所以，所以.12（2023春安徽阜阳高二统考期末）已知数列的前项和为，若，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，可得，数列为等差数列.设公差为，则.又.从而.（2）由（1）可知，当为偶数时，.当为奇数时，.数列的前项和.13（2023全国高三专题练习）已知是等差数列，且，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，记，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为是等差数列，且，成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以（2）由题意知，所以当为偶数时，当为奇数时，综上14（2023全国高三专题练习）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设数列的公差为，则，又，所以因为，成等比数列，所以，化简得，又，所以，所以；（2）由（1）可得：，则，则当为偶数时，当为奇数时，即.