专题09 分段函数零点问题（解析版）.docx

1、专题09 分段函数零点问题 一、单选题1（2023天津南开高三南开中学校考期末）已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足，解得：故选：A.2（2023全国高三专题练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】设，求导由反比例函数及对数函数性质知在上单调递增，且，故在内必有唯一零点，当时，单调递减；当时，单调递增；令，解得或2，可作出函数的图像，令，即，在之间解得或或，作出图像如下图数形结合可得：，故选：A3（202

2、3陕西西安高三统考期末）已知函数， 若函数，则函数的零点个数为（）A1B3C4D5【答案】D【解析】当时，当时，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，所以我们求出时零点个数即可，令，解得，故在上单调递增，在单调递减，且，而，故在有1零点，故在上有1零点，图像大致如图所示：故在上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在上也有2个零点，且，故共5个零点，故选：D.4（2023全国高三专题练习）已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.函数的对称轴为直线，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.当时，即当时，

3、则函数在上无零点，所以，函数在上有个零点，当时，则，由题意可得，解得，此时不存在；当时，即当时，函数在上只有一个零点，当时，则，则函数在上只有个零点，此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；当时，即当时，函数在上有个零点，则函数在上有个零点，则，解得，此时；当时，即当时，函数在上有个零点，则函数在上有个零点，则，解得，此时，.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.5（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】，故，则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解，故的图象有两个不同的交点，设又的图象如图所示，由图象可得两个函数的图象均

4、过原点，若，此时两个函数的图象有两个不同的交点，当时，考虑直线与的图象相切，则由可得即，考虑直线与的图象相切，由可得，则即.考虑直线与的图象相切，由可得即，结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点，综上，或或，故选：B.6（2023全国高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（）A3B4C5D6【答案】B【解析】令，当时，且递增，此时，当时，且递减，此时，当时，且递增，此时，当时，且递增，此时，所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：由图知：与有两个交点，横坐标、：当，即时，在、上各有一个解；当，即时，在有一个解.综上，的零点共有4个.故选：B7（2023四川绵阳四川省绵

5、阳南山中学校考一模）已知，函数，若恰有2个零点，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】若是一个零点，则需要 只有一个零点，即有，且此时当时，需要只 有一个实根，而 ，解方程根得 ，易得 .即当 时， 恰有 2 个零点，.若 不是函数的零点，则为函数的 2 个零点，于是 ，解得：综上: .故选：A.8（2023全国高三专题练习）已知函数若函数有三个零点，则（）ABCD【答案】D【解析】要使函数有三个解，则与有三个交点，当时，则，可得在上递减，在递增，时，有最小值，且时，；当时，；当时，；当时，单调递增；图象如下，要使函数有三个零点，则，故选：D9（2023广东广州高三广州市真光中学校考期末

6、）定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）ABCD【答案】B【解析】由题设，画出上的大致图象，又为奇函数，可得的图象如下：的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点.由图象知：与有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为，1、关于对称，；2、且满足方程即，解得：；3、关于轴对称，则；故选：B10（2023全国高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数是 （）A4B5C6D7【答案】A【解析】令，则，作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，.当时，有，即有一解；当时，有三个解，综上，共有4个解，即有4个零点.故选：A二、多选题11（2023河南郑州高三郑州市第七中学校考期末）

7、已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（）A当时，有3个零点B当时，有2个零点C当时，有4个零点D当时，有1个零点【答案】CD【解析】令，得，设f（x）t，则方程等价为f（t）1，若k0，作出函数f（x）的图象如图：f（t）1，此时方程f（t）1有两个根其中t20，0t11，由f（x）t20，此时x有两解，由f（x）t1（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，即函数yff（x）+1有4个零点若k0，作出函数f（x）的图象如图：f（t）1，此时方程f（t）1有一个根t1，其中0t11，由f（x）t1（0，1），此时x只有1个解，即函数yff（x）+1有1个零点故选：CD12（2

8、023河南濮阳高三濮阳一高校考期中）已知函数，函数，其中，若函数恰有2个零点，则b的值可以是（）A1BC2D3【答案】BD【解析】， ，函数恰好有两个零点，方程有两个解，即有两个解，即函数与的图象有两个交点， ，作函数与的图象如下，当和，即 ，结合图象可知，当时，有不止两个交点，当或时，满足函数与的图象有两个交点，当时，无交点，综上，或时满足题意，故选：BD.13（2023江西高三校联考阶段练习）已知函数则以下判断正确的是（）A若函数有3个零点，则实数的取值范围是B函数在上单调递增C直线与函数的图象有两个公共点D函数的图象与直线有且只有一个公共点【答案】AC【解析】当，故的图像如图所示，对AC

9、，函数有3个零点，相当于与有3个交点，故的取值范围是，直线与函数的图象有两个公共点，AC对；对B，函数在上先增后减，B错；对D，如图所示，联立可得解得或，由图右侧一定有一个交点，故函数的图象与直线不止一个公共点，D错.故选：AC14（2023广东佛山高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知，令，则下列结论正确的有（）A若有个零点，则B恒成立C若有个零点，则D若有个零点，则【答案】AD【解析】，作出的图象，如图所示：因为，所以的零点个数即为函数与的图象的交点的个数，对于：若有个零点，则函数与的图象仅有一个公共点，由图象得，故正确；对于：由图象得恒成立，故B错误；对于：若有个零点，则函数与的图象

10、有三个公共点，由图象得或者，故C错误；对于：若有个零点，则函数与的图象有四个公共点，由图象得，故D正确.故选：15（2023黑龙江绥化高三校考阶段练习）已知函数，若，则下说法正确的是（）A当时，有4个零点B当时，有5个零点C当时，有1个零点D当时，有2个零点【答案】AC【解析】当时，令，由，解得或或.作出函数的图象，如图1所示，易得有4个不同的实数解，即当时，有4个零点.故A正确，B错误；当时，令，所以，解得或或（舍）作出函数的图象，如图2所示，易得有1个实数解，即当时，有1个零点.故C正确，D错误.故选：AC.16（2023广东深圳高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数，下列结论中

11、正确的是（）A任取，都有B，其中；C对一切恒成立；D函数有个零点；【答案】ACD【解析】作出函数的图象如图所示.所以.对于A：任取，都有.故A正确；对于B：因为，所以.故B错误；对于C：由，得到，即.故C正确；对于D：函数的定义域为.作出和的图象如图所示：当时,;当时,函数与函数的图象有一个交点;当时,因为,，所以函数与函数的图象有一个交点,所以函数有3个零点.故D正确.故选：ACD17（2023全国模拟预测）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（）ABCD【答案】BD【解析】在上单调递增且值域为；在上单调递减且值域为；在上单调递增且值域为；故的图象如下：由题设，有个零点，即有7个不同

12、解，当时有，即，此时有1个零点；当时有，即，有1个零点，有3个零点，此时共有4个零点；当时有或或，有1个零点，有3个零点，有3个零点，此时共有7个零点；当时有或或，有1个零点，有3个零点，有2个零点，此时共有6个零点；当时有或，有3个零点，有2个零点，此时共有5个零点；综上，要使有7个零点时，则，()故选：BD18（2023全国高三专题练习）若函数f(x)恰有两个零点，则正整数m的取值可能为（）A1B2C15D16【答案】AD【解析】函数f(x)的零点即为方程f(x)0的解当m1时，解方程f(x)0，当x2时，4x10，解得：x0；当x2时，2021（x1）（x3）0，解得：x1或3，只取x3

13、函数有两个零点0或3A对；当m2时，解方程f(x)0，当x2时，4x20，解得：x；当x2时，2021（x2）（x6）0，解得：x2或6函数有三个零点或2或6B错；当m15时，解方程f(x)0，当x2时，4x150，解得：xlog4152；当x2时，2021（x15）（x45）0，解得：x15或45函数有三个零点log415或15或45C错；当m16时，解方程f(x)0，当x2时，4x160，解得：x2不成立；当x2时，2021（x16）（x48）0，解得：x16或48函数有两个零点16或48D对；故选：AD三、填空题19（2023全国高三专题练习）知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值

14、范围为_.【答案】【解析】由解析式知：在上为增函数且，在上，时为单调函数，时无零点，故要使有两个不同的零点，即两侧各有一个零点，所以在上必递减且，则，可得.故答案为：20（2023全国高三专题练习）已知函数，若函数在上有三个不同的零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】令，则，由于函数在上有三个不同的零点，所以必有两解，所以或.当时，的图像如下图所示，由图可知，必有两个零点，由于有两个解，所以有一个解，即，解得.当时，的大致图像如下图所示，必有两个零点，由于有两个解，所以有一个解，所以，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：21（2023上海黄浦高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数

15、满足，函数恰有5个零点，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】因为函数满足，所以，因为函数恰有5个零点，所以函数与恰有5个交点，如图，因为与交于原点，要恰有5个交点，与必有2个交点，设与相切，切点为，此时切线斜率为，解得，解得，所以切点为，所以，解得，所以要使函数恰有5个零点，则.故答案为：.22（2023黑龙江哈尔滨高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为_【答案】【解析】设，则，则，设，则，则，则，则，函数图象如下：由，可得，或，由，可得，或，或，则仅有一根，又，则，解之得，故答案为：.23（2023全国高三专题练习）已知函数恰有个零点

16、，则_【答案】【解析】当时，令，解得，故在上恰有个零点，即方程有个负根.当时，解得，显然不满足题意；当时，因为方程有个负根，所以当，即时，其中当时，解得，符合题意；当时，解得，不符合题意；当时，设方程有个根，因为，所以，同号，即方程有个负根或个正根，不符合题意综上，故答案为：0.5.24（2023北京高三专题练习）已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函

17、数有2个零点，所以实数的取值范围是：.故答案为：25（2023全国高三专题练习）设函数则函数的零点为_【答案】【解析】函数的零点即为方程的解，也即的解令，则原方程的解变为方程组的解由方程可得，解得或，将代入方程，而方程无解，由方程解得或；将代入方程，而方程，解得，由方程，解得综上，函数的零点为，共四个零点故答案为：.26（2023春上海浦东新高三上海市川沙中学校考期中）已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】由函数在上的解析式作出如图所示图像，由知，函数是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数，若使时，存

18、在，方程在上恰有2021个零点，等价于在上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即时满足条件，且必须每个周期内均应使处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点，则当时，需使最后一个完整周期中的极小值，即，解得，即当时，需使最后一个极大值，即，解得，即，综上所述，故答案为：27（2023浙江高三专题练习）若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当时，令可得：，当时，令可得：，令，若，为减函数，若，若，为减函数，若，为增函数， 画出的图像，如下图： 如要有4个零点，则，故答案为：.28（2023全国高三专题练习）若 则在内的所有零点之和为：_【答案】【解析

19、】当时，f（x）8x8，所以，此时当时，g（x）max0；当时，f（x）168x，所以g（x）8（x1）2+20；由此可得1x2时，g（x）max0下面考虑2n1x2n且n2时，g（x）的最大值的情况当2n1x32n2时，由函数f（x）的定义知，因为，所以，此时当x32n2时，g（x）max0；当32n2x2n时，同理可知，由此可得2n1x2n且n2时，g（x）max0综上可得：对于一切的nN*，函数g（x）在区间2n1，2n上有1个零点，从而g（x）在区间1，2n上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为故答案为29（2023全国高三专题练习）已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则

20、实数的取值范围是_【答案】.【解析】函数当时是对勾函数，因为，当且仅当即时，取最小值所以函数最小值为2，且在上为减函数，在上为增函数当时，是减函数，且，所以为增函数，且，所以函数为增函数，且，函数图像如图所示令，函数恰有三个不同的零点，可以看成函数恰有三个不同的零点，函数的图像与直线有三个交点由图像可知30（2023全国高三专题练习）已知函数，则函数有5个零点时m的范围_.【答案】【解析】当时,，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，故函数在处取得极小值，据此绘制函数的图像如图所示，结合函数图像和题意可知原问题等价于函数与函数有两个交点，且交点的横坐标的范围分别位于区间和区间内，观察二次函数的图像可得m的范围是.