专题09 四边形综合篇（原卷版）.docx

1、专题08 四边形综合知识回顾1. 平行四边形的性质：边的性质：两组对边分别平行且相等。角的性质：对角相等，邻角互补。对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180与原图形重合。面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。2. 平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。ABDC，AB=DC，四边行ABCD是平行四边形两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。符号语言：AB=DC，AD=BC（ABDC，ADBC），四边行ABCD是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行

2、四边形。ABC=ADC，DAB=DCB，四边行ABCD是平行四边形对角线相互平行的四边形是平行四边形。OA=OC，OB=OD，四边行ABCD是平行四边形3. 矩形的性质：具有平行四边形的一切性质。矩形的四个角都是直角。矩形的对角线相等。矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。4. 矩形的判定：（1）直接判定：有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。（2）利用平行四边形判定：定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形

3、。5. 菱形的性质：具有平行四边形的一切性质。菱形的四条边都相等。菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。6. 菱形的判定：（1）直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。几何语言：AB=BC=CD=DA，四边形ABCD是菱形（2）利用平行四边形判定：定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。7. 正方形的性质：具有平行四边形的一切性质。具有矩形与菱形的一切性质。所以正方形的四

4、条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。8. 正方形的判定：（1）利用平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）（2）利用菱形与矩形判定：有一个角是直角的菱形是正方形。对角线相等的菱形是正方形。邻边相等的矩形是正方形。对角线相互垂直的矩形是正方形。9. 中点四边形的判定：任意四边形的中点四边形是平行四边形。对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。（菱形的中点四边形

5、是矩形）对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。（矩形的中点四边形是菱形）对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。（正方形的中点四边形是正方形）专题练习1如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若BDCD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由2如图，在ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BEDF求证：（1）ABECDF；（2）四边形AECF是平行四边形3如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，ABDF，ACDE，EBCF连接AE，CD（1）求证：四边形ABDF是平行

6、四边形；（2）若AEAC，求证：ABDB4如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分DBC，交CD于点F（1）请用尺规作ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形请将下面的证明过程补充完整证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBCADB （两直线平行，内错角相等）又DE平分ADB，BF平分DBC，EDBADB，DBFDBCEDBDBFDE （ ）（填推理的依据）又四边形ABCD是平行四边形BEDF四边形DEBF为平行四边形（ ）（填推理的依据）5如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分DAB，AB2CD，E为AB中点

7、，连结CE（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若D120，DC2，求ABC的面积6在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交CE的延长线于点F（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB8，菱形ADBF的面积为40求AC的长7如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，BDF90（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD5，DF3，求四边形ABCF的面积S8如图，在菱形ABCD中，ABC60，AB2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运

8、动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0t3，过F作FGBC于点G，连结EF（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，BFC与DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由9小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在ABCD中，AN为BC边上的高，m，点M在AD边上，且BABM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将ABE沿BE翻折得FBE（1）问题解决：如图，当BAD60，将ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则 ；（2）问题探究：如图，当BAD45

9、，将ABE沿BE翻折后，使EFBM，求ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当BAD30，将ABE沿BE翻折后，若EFAD，且AEMD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值10如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E，F在对角线BD上，BEEFFD，BAFDCE90（1）求证：ABFCDE；（2）连接AE，CF，已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论条件：ABD30；条件：ABBC（注：如果选择条件条件分别进行解答，按第一个解答计分）11下面图片是八年级教科书中的一道题如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，

10、AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F求证AEEF（提示：取AB的中点G，连接EG）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变求证：AEEF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EPAC，垂足为P设k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明12已知ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处请探究：当点P在线段AC上的

11、位置发生变化时，DPQ的大小是否发生变化？说明理由（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明13在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC60，P是DF的中点，连接PG、PC（1）如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系（不必证明）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）14已知ABN90，在ABN内部作等腰ABC，ABAC，BAC（090）点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段A

12、D绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F（1）如图1，当90时，线段BF与CF的数量关系是 ；（2）如图2，当090时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若60，AB4，BDm，过点E作EPBN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）15如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且EAF45（1）当BEDF时，求证：AEAF；（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GHAE，垂足为K，交AC于点H且GHAE若DFa，CHb，请用含a，b的代数式表示EF的长