专题09 四边形综合篇（解析版）.docx

1、专题08 四边形综合知识回顾1. 平行四边形的性质：边的性质：两组对边分别平行且相等。角的性质：对角相等，邻角互补。对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180与原图形重合。面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。2. 平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。ABDC，AB=DC，四边行ABCD是平行四边形两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。符号语言：AB=DC，AD=BC（ABDC，ADBC），四边行ABCD是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行

2、四边形。ABC=ADC，DAB=DCB，四边行ABCD是平行四边形对角线相互平行的四边形是平行四边形。OA=OC，OB=OD，四边行ABCD是平行四边形3. 矩形的性质：具有平行四边形的一切性质。矩形的四个角都是直角。矩形的对角线相等。矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。4. 矩形的判定：（1）直接判定：有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。（2）利用平行四边形判定：定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形

3、。5. 菱形的性质：具有平行四边形的一切性质。菱形的四条边都相等。菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。6. 菱形的判定：（1）直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。几何语言：AB=BC=CD=DA，四边形ABCD是菱形（2）利用平行四边形判定：定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。7. 正方形的性质：具有平行四边形的一切性质。具有矩形与菱形的一切性质。所以正方形的四

4、条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。8. 正方形的判定：（1）利用平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）（2）利用菱形与矩形判定：有一个角是直角的菱形是正方形。对角线相等的菱形是正方形。邻边相等的矩形是正方形。对角线相互垂直的矩形是正方形。9. 中点四边形的判定：任意四边形的中点四边形是平行四边形。对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。（菱形的中点四边形

5、是矩形）对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。（矩形的中点四边形是菱形）对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。（正方形的中点四边形是正方形）专题练习1如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若BDCD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由【分析】（1）证ABODEO（AAS），得OBOE，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得ABCD，再证ABBD，然后由菱形的判定即可得出结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，ABODEO，

6、点O是边AD的中点，AODO，在ABO和DEO中，ABODEO（AAS），OBOE，四边形ABDE是平行四边形；（2）解：四边形ABDE是菱形，理由如下：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BDCD，ABBD，四边形ABDE是平行四边形，平行四边形ABDE是菱形2如图，在ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BEDF求证：（1）ABECDF；（2）四边形AECF是平行四边形【分析】（1）根据平行四边形的性质得到ABCD，ABCD，根据平行线的性质得到ABDCDB，利用SAS定理证明ABECDF；（2）根据全等三角形的性质得到AECF，AEBCFD，根据平行线的判定定理证明AECF，再根据平行

7、四边形的判定定理证明结论【解答】证明：（1）四边形ABCD为平行四边形，ABCD，ABCD，ABDCDB，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）；（2）由（1）可知，ABECDF，AECF，AEBCFD，180AEB180CFD，即AEFCFE，AECF，AECF，AECF，四边形AECF是平行四边形3如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，ABDF，ACDE，EBCF连接AE，CD（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）若AEAC，求证：ABDB【分析】（1）根据等式的性质可得BCEF，从而利用SSS证明ABCDFE，然后利用全等三角形的性质可得ABCDFE，从而可

8、得ABDF，即可解答；（2）连接AD交BF于点O，利用平行四边形的性质可得OBOF，从而可得OEOC，再利用等腰三角形的性质可得AOEC，然后证明四边形ABDF是菱形，即可解答【解答】证明：（1）EBCF，EB+ECCF+EC，BCEF，ABDF，ACDE，ABCDFE（SSS），ABCDFE，ABDF，四边形ABDF是平行四边形；（2）连接AD交BF于点O，四边形ABDF是平行四边形，OBOF，BECF，OBBEOFCF，OEOC，AEAC，AOEC，四边形ABDF是菱形，ABBD4如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分DBC，交CD于点F（1）请用尺规作ADB的角平分线DE，交A

9、B于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形请将下面的证明过程补充完整证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBCADB （两直线平行，内错角相等）又DE平分ADB，BF平分DBC，EDBADB，DBFDBCEDBDBFDE （ ）（填推理的依据）又四边形ABCD是平行四边形BEDF四边形DEBF为平行四边形（ ）（填推理的依据）【分析】（1）根据作已知角的角平分线步骤作图即可；（2）根据平行线的性质及判定分别填空即可【解答】解：（1）作图如下：DE即为所求；（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBCADBDBC（两直线平行，内错角相等）又DE平分A

10、DB，BF平分DBC，EDBADB，DBFDBCEDBDBFDEBF（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）又四边形ABCD是平行四边形BEDF四边形DEBF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据）故答案为：DBC，BF，内错角相等，两直线平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形5如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分DAB，AB2CD，E为AB中点，连结CE（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若D120，DC2，求ABC的面积【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD

11、CD，可得结论；（2）由菱形的性质可求AEBECE2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解【解答】（1）证明：E为AB中点，AB2AE2BE，AB2CD，CDAE，又AECD，四边形AECD是平行四边形，AC平分DAB，DACEAC，ABCD，DCACAB，DCADAC，ADCD，平行四边形AECD是菱形；（2）四边形AECD是菱形，D120，ADCDCEAE2，D120AEC，AECEBE，CEB60，CAE30ACE，CEB是等边三角形，BEBCEC2，B60，ACB90，ACBC2，SABCACBC2226在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的

12、中点，过点A作AFBC交CE的延长线于点F（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB8，菱形ADBF的面积为40求AC的长【分析】（1）利用平行线的性质可得AFCFCD，FAECDE，利用中点的定义可得AEDE，从而证明FAECDE，然后利用全等三角形的性质可得AFCD，再根据D是BC的中点，可得AFBD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BDAD，从而利用菱形的判定定理即可解答；（2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积2ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得ABC的面积2ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积ABC的面积，然后利用三角形的面积

13、进行计算即可解答【解答】（1）证明：AFBC，AFCFCD，FAECDE，点E是AD的中点，AEDE，FAECDE（AAS），AFCD，点D是BC的中点，BDCD，AFBD，四边形AFBD是平行四边形，BAC90，D是BC的中点，ADBDBC，四边形ADBF是菱形；（2）解：四边形ADBF是菱形，菱形ADBF的面积2ABD的面积，点D是BC的中点，ABC的面积2ABD的面积，菱形ADBF的面积ABC的面积40，ABAC40，8AC40，AC10，AC的长为107如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，BDF90（1）求证：四边形AB

14、DF是矩形；（2）若AD5，DF3，求四边形ABCF的面积S【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得BAEFDE，而点E是AD的中点，可得BEAFED（ASA），即知EFEB，从而四边形ABDF是平行四边形，又BDF90，即得四边形ABDF是矩形；（2）由AFD90，ABDF3，AFBD，得AF4，S矩形ABDFDFAF12，四边形ABCD是平行四边形，得CDAB3，从而SBCDBDCD6，即可得四边形ABCF的面积S为18【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BACD，BAEFDE，点E是AD的中点，AEDE，在BEA和FED中，BEAFED（ASA），EFEB，又AEDE，

15、四边形ABDF是平行四边形，BDF90四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，AFD90，ABDF3，AFBD，AF4，S矩形ABDFDFAF3412，BDAF4，四边形ABCD是平行四边形，CDAB3，SBCDBDCD436，四边形ABCF的面积SS矩形ABDF+SBCD12+618，答：四边形ABCF的面积S为188如图，在菱形ABCD中，ABC60，AB2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0t3，过F作FG

16、BC于点G，连结EF（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，BFC与DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由【分析】（1）根据平行线的判定定理得到EHFG，由题意知BF2tcm，EHtcm，推出四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到四边形EFGH是矩形；（2）根据菱形的性质得到ABC60，AB2cm，求得ADCABC60，CDAB2cm，解直角三角形即可得到结论【解答】（1）证明：EHBC，FGBC，EHFG，由题意知BF2tcm，EHtcm，在菱形ABCD中，ABC60，CBD30，FGBFtcm，EHFG，四边形EF

17、GH是平行四边形，FGH90，四边形EFGH是矩形；（2）BFC与DCE能够全等，理由：在菱形ABCD中，ABC60，AB2cm，ADCABC60，CDAB2cm，ABCD，CBDCDB30，DCHABC60，DHBC，CHD90，CDH906030CBF，在RtCDH中，cosCDH，DH23，BF2tcm，EHtcm，DE（3t）cm，当BFDE时，BFCDEC，2t3t，t19小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在ABCD中，AN为BC边上的高，m，点M在AD边上，且BABM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将ABE沿BE翻折得FBE（1）问题解决：

18、如图，当BAD60，将ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则 ；（2）问题探究：如图，当BAD45，将ABE沿BE翻折后，使EFBM，求ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当BAD30，将ABE沿BE翻折后，若EFAD，且AEMD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据折叠的性质即可求得AEB的度数，由三角形内角和定理可得ABE的度数，根据点M在AD边上，当ADAM时，m取得最小值，从而求解；（3）连接FM，设ANa，然后结合勾股定理分析求解【解答】解：（1）BABM，BAD

19、60ABM是等边三角形，ABAMBM，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABNBAM60，AN为BC边上的高，故答案为：；（2）BAD45，BABM，AMB是等腰直角三角形，MBCAMB45，EFBM，FEMAMB45，AEBFEB（180+45）112.5，ADNC，BAEABN45，ABE180AEBBAE22.5，m，AMB是等腰直角三角形，AN为底边上的高，则ANAM，点M在AD边上，当ADAM时，m取得最小值，最小值为2，（3）如图，连接FM，延长EF交NC于点G，BAD30，则ABN30，设ANa，则AB2a，NBa，EFAD，AEBFEB（180+90）135，EABBAD3

20、0，ABE15，ABF30，ABBM，BAD30，ABM120，MBCAMB30，FBM90，在RtFBM中，FBABBM，FMFB2a，EGGB，EBGABE+ABN45，GBEGa，NBa，AEEFMD（1）a，在RtEFM中，EM（+1）a，ADAE+EM+MD2AE+EM（31）a，同理，当点F落在BC下方时，AD（3+1）am3110如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E，F在对角线BD上，BEEFFD，BAFDCE90（1）求证：ABFCDE；（2）连接AE，CF，已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论条件：ABD30；条

21、件：ABBC（注：如果选择条件条件分别进行解答，按第一个解答计分）【分析】（1）由等式的性质得BFDE，由平行线的性质得ABFCDE，从而利用AAS证明ABFCDE；（2）若选择，由（1）可说明AFCE，则四边形AECF是平行四边形，由直角三角形斜边上中线的性质得AE，利用含30角的直角三角形的性质得AF，则AEAF，从而AECF是菱形；若选择连接AC交BD于点O，同理可得四边形AECF是平行四边形，利用等腰三角形的性质可得BOAC，即EFAC，从而证明结论【解答】（1）证明：BEFD，BE+EFFD+EF，BFDE，ABCD，ABFCDE，在ABF和CDE中，ABFCDE（AAS）；（2）解

22、：若选择条件：四边形AECF是菱形，理由如下：由（1）得，ABFCDE，AFCE，AFBCED，AFCE，四边形AECF是平行四边形，BAF90，BEEF，AE，BAF90，ABD30，AF，AEAF，AECF是菱形；若选择条件：四边形AECF是菱形，理由如下：连接AC交BD于点O，由得：ABFCDE，AFCE，AFBCED，AFCE，四边形AECF是平行四边形，AOCO，ABBC，BOAC，即EFAC，AECF是菱形故答案为：（答案不唯一）11下面图片是八年级教科书中的一道题如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F求证AEEF（提示：

23、取AB的中点G，连接EG）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变求证：AEEF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EPAC，垂足为P设k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明【分析】（1）根据点E为BC的中点，可得答案；（2）取AGEC，连接EG，首先说明BGE是等腰直角三角形，再证明GAECEF，可得答案；（3）设BCx，则BEkx，则GEkx，EC（1k）x，再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长，利用平行四边形的判定可得只要EPFC，即可解决问题【解答】（1）解：点E为

24、BC的中点，BECE，点G为AB的中点，BGAG，AGCE，故答案为：AGCE；（2）证明：取AGEC，连接EG，四边形ABCD是正方形，ABBC，B90，AGCE，BGBE，BGE是等腰直角三角形，BGEBEG45，AGEECF135，AEEF，AEB+FEC90，BAE+AEB90，FECBAE，GAECEF（ASA），AEEF；（3）解：k时，四边形PECF是平行四边形，如图，由（2）知，GAECEF，CFEG，设BCx，则BEkx，GEkx，EC（1k）x，EPAC，PEC是等腰直角三角形，PEC45，PEC+ECF180，PECF，PE（1k）x，当PECF时，四边形PECF是平行四

25、边形，（1k）xkx，解得k12已知ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，DPQ的大小是否发生变化？说明理由（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明【分析】（1）根据菱形的判定定理和轴对称图形的性质解答即可；（2）连接PB，过点P分别作PECB交AB于点E，PFAB于点F，根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质解答即可；（3）根据等腰三

26、角形的性质解答即可【解答】（1）证明：连接BD，等边ABC中，ABBCAC，点B、D关于直线AC对称，DCBC，ADAB，ABBCCDDA，四边形ABCD是菱形；（2）解：当点P在线段AC上的位置发生变化时，DPQ的大小不发生变化，始终等于60，理由如下：将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，PQPD，等边ABC中，ABBCAC，BACABCACB60，连接PB，过点P分别作PECB交AB于点E，PFAB于点F，如图则APEACB60，AEPABC60，BACAPEAEP60，APE是等边三角形，APEPAE，而PFAB，APFEPF，点B，D关于直线AC对称，点P在线段

27、AC上，PBPD，DPABPA，PQPB，PDAPBA，PBAPQA，PDAPQBDPQDAQ60；（3）解：在满足（2）的条件下，线段AQ与CP之间的数量关系是AQCP，证明如下：ACAB，APAE，ACAPABAE，即CPBE，APEP，PFAB，AFFE，PQPB，PFAB，QFBF，QFAFBFEF，即AQBE，AQCP13在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC60，P是DF的中点，连接PG、PC（1）如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系（不必证明）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F在

28、CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）【分析】（1）延长GP交DC于点E，利用PEDPGF，得出PEPG，DEFG，得到CECG，CP是EG的中垂线，在RtCPG中，利用正切函数即可求解；（2）延长GP交DA于点E，连接EC，GC，先证明PEDPGF，再证明CDECBG，利用在RtCPG中，PCG60，即可求解；（3）延长GP到H，使PHPG，连接CH，CG，DH，作EFDC，先证GFPHDP，再证HDCGBC，利用在RtCPG中，PCG60，即可求解【解答】解：（1）PGPC；如图1，延长GP交DC于点E，P是DF的中点，PDPF，BGF是正三角形，BG

29、F60，ABC60，BGFABC，ABGF，四边形ABCD是菱形，ABCD，CDGF，CDPPFG，在PED和PGF中，PEDPGF（ASA），PEPG，DEFG，BGF是正三角形，FGBG，四边形ABCD是菱形，CDCB，CECG，CP是EG的垂直平分线，在RtCPG中，PCG60，PGtanPCGPCPC；（2）猜想：PGPC，证明如下：如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，ABC60，BGF是等边三角形，GFBCAD，EDPGFP，在PED和PGF中，PEDPGF（ASA），PEPG，DEFGBG，在CDE和CBG中，CDECBG（SAS），CECG，DCEBCG，ECGDCB1

30、20，PEPG，CPPG，PCGECG60，PGtanPCGPCPC；（3）猜想：PGPC，如图3，延长GP到H，使PHPG，连接CH，CG，DH，过点F作EFDC，P是线段DF的中点，FPDP，GPFHPD，GFPHDP，GFHD，GFPHDP，GFP+PFE120，PFEPDC，CDHHDP+PDC120，四边形ABCD是菱形，CDCB，ADCABC60，点A，B，G，在同一直线上，GBC120，四边形BEFG是菱形，GFGB，HDGB，HDCGBC（SAS），CHCG，DCHBCG，DCH+HCBBCG+HCB120，即HCG120，CHCG，PHPG，PGPC，GCPHCP60，PGt

31、anPCGPCPC14已知ABN90，在ABN内部作等腰ABC，ABAC，BAC（090）点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F（1）如图1，当90时，线段BF与CF的数量关系是 ；（2）如图2，当090时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若60，AB4，BDm，过点E作EPBN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）【分析】（1）连接AF，先根据“SAS”证明ACEABD，得出ACEABD90，再证明RtABFRtACF，即可得出结论；（2）连接AF，先说

32、明EACBAD，然后根据“SAS”证明ACEABD，得出ACEABD90，再证明RtABFRtACF，即可得出结论；（3）先根据60，ABAC，得出ABC为等边三角形，再按照BAD的大小分三种情况进行讨论，得出结果即可【解答】解：（1）BFCF；理由如下：连接AF，如图所示：根据旋转可知，DAE90，AEAD，BAC90，EAC+CAD90，BAD+CAD90，EACBAD，在ACE和ABD中，ACEABD（SAS），ACEABD90，ACF90，在RtABF与RtACF中，RtABFRtACF（HL），BFCF，故答案为：BFCF；（2）成立，理由如下：如图2，连接AF，根据旋转可知，DAE

33、，AEAD，BAC，EACCAD，BADCAD，EACBAD，在ACE和ABD中，ACEABD（SAS），ACEABD90，ACF90，在RtABF与RtACF中，RtABFRtACF（HL），BFCF；（3）60，ABAC，ABC为等边三角形，ABCACBBAC60，ABACBC4，当BAD60时，连接AF，如图所示：RtABFRtACF，BAFCAFBAC30，在RtABF中，tan30，即CFBF4；根据（2）可知，ACEABD，CEBDm，EFCF+CE4+m，FBCFCB906030，EFPFBC+FCB60，又EPF90，FEP906030，PFEF2+m，BPBF+PF6+m，P

34、DBPBD6m；当BAD60时，AD与AC重合，如图所示：DAE60，AEAD，ADE为等边三角形，ADE60，ADB90BAC30，ADE90，此时点P与点D重合，PD0；当BAD60时，连接AF，如图所示：RtABFRtACF，BAFCAFBAC30，在RtABF中，tan30，即CFBF4；根据（2）可知，ACEABD，CEBDm，EFCF+CE4+m，FBCFCB906030，EFPFBC+FCB60，又EPF90，FEP906030，PFEF2+m，BPBF+PF6+m，PDBDBPm6，综上，PD的值为6m或0或m615如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E

35、不与点B，C重合），且EAF45（1）当BEDF时，求证：AEAF；（2）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）连接AC，G是CB延长线上一点，GHAE，垂足为K，交AC于点H且GHAE若DFa，CHb，请用含a，b的代数式表示EF的长【分析】（1）证明ABEADF，从而得出结论；（2）在CD的延长线上截取DGBE，类比（1）可证得ABEADG，进而证明GAFEAF，进一步得出结论；（3）作HRBC于R，证明ABEGRH，从而BEHR，在RtCRH中可得出HRbsin45，进而BE，根据（2）可得出结果【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABAD，BD9

36、0，在ABE和ADF中，ABEADF（SAS），AEAF；（2）解：如图1，BE+DFEF，理由如下：在CD的延长线上截取DGBE，同理（1）可得：ABEADG（SAS），BAEDAG，AGAE，四边形ABCD是正方形，BAD90，EAF45，BAE+DAFBADEAF45，DAG+DAF45，即：GAF45，GAFEAF，在GAF和EAF中，GAFEAF（SAS），FGEF，DG+DFEF，BE+DFEF；（3）如图2，作HRBC于R，HRG90，四边形ABCD是正方形，ABE90，ACBACD45，ABEHRG，BAE+AEB90，GHAE，EKG90，G+AEB90，GBAE，在ABE和GRH中，ABEGRH（AAS），BEHR，在RtCRH中，ACB45，CHb，HRbsin45，BE，EFBE+DF