专题09 角的多个等分线求角（解析版）.docx

1、专题09 角的多个等分线求角类型一 角的多个等分线求角1已知，在中，A=60，（1）如图，ABC和ACB的角平分线交于点O，则BOC= ； （2）如图，ABC和ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则；（3）如图，ABC和ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，（内部有个点），则 ；（4）如图，ABC和ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，若，求n的值【答案】（1）120；（2）100；（3）；（4）n=4【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出ABCABC，然后根据角平分线的定义即可求出OBCOCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可

2、求出ABCABC，然后根据三等分线的定义即可求出O2BCO2CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据三角形的内角和定理即可求出ABCABC，然后根据n等分线的定义即可求出On1BCO n1CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论【详解】解：（1）在中，A=60，ABCABC=180A=120ABC和ACB的角平分线交于点O，OBC=ABC，OCB=ACBOBCOCB=ABCACB=（ABCACB）=60BOC=180（OBCOCB）=120故答案为：120（2）在中，A=60，ABCABC=180A=120ABC和ACB的三等分线分别

3、对应交于点O1，O2，O2BC=ABC，O2CB=ACBO2BCO2CB=ABCACB=（ABCACB）=80180（O2BCO2CB）=100故答案为：100（3）在中，A=60，ABCABC=180A=120ABC和ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，O n1BC=ABC，O n1CB=ACBO n1BCO n1CB=ABCACB=（ABCACB）=180（O2BCO2CB）=故答案为：（4）由（3）知：解得：n=4经检验：n=4是原方程的解【点睛】本题考查了n等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键2如图，A120，且123和456，

4、则BDC（）A120B60C140D无法确定【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理，即可得到ABC+ACB18012060，再根据123，456，即可得到DBC+DCB的度数，最后利用三角形内角和定理可得BDC的度数【详解】解：在ABC中，A120，ABC+ACB18012060，又123，456，DBC+DCB6040，BDC18040140故选C【点睛】此题考查三角形的内角和，解题时注意：三角形内角和是1803如图，在中，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据题意可得ABC+ACB=160，BD1，C

5、D1，CD2，BD2BDn，CDn是角平分线，可得ABDn+ACDn=160（）n，可求BCDn+CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果【详解】解：A=20，A+ABC+ACB=180，ABC+ACB=160，BD1平分ABC，CD1平分ACB，ABD1=ABC，ACD1=ACD，BD2平分ABD1，CD2平分ACD1，ABD2=ABD1=ABC，ACD2=ACD1=ACB，同理可得ABD5=ABC，ACD5=ACB，ABD5+ACD5=160=5，BCD5+CBD5=155，BD5C=180-BCD5-CBD5=25，故选B【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的

6、规律，利用规律解决问题4如图，在ABC中，A20，ABC与ACB的平分线交于点D1，ABD1与ACD1的平分线交于点D2，以此类推，ABD2与ACD2的平分线交于点D，则BDC的度数是_【答案】40【解析】【分析】根据题意可得ABC+ACB=160，BD1，CD1，CD2，BD2BDn，CDn是角平分线，可得ABDn+ACDn=160（）n，可求BCDn+CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果【详解】A20，A+ABC+ACB180，ABC+ACB160，BD1平分ABC，CD1平分ACB，ABD1ABC，ACD1ACD，BD2平分ABD1，CD2平分ACD1，ABD2ABD1ABC，A

7、CD2ACD1ACB，同理可得ABDABC，ACDACB，ABD+ACD16020，BCD+CBD140BDC180BCDCBD40故答案为40【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题5如图，且和，则（）ABCD不能确定，具体由三角形的形状确定【答案】B【解析】【分析】先在ABC中，求出ABC和ACB的和，再利用1=2=3和4=5=6，求出DBC与DCB的和，从而得出BDC=140，再根据BCD中，点E就是三角形三个内角平分线的交点，由此求得结论即可【详解】解：在ABC中，ABC+ACB=180-120=60，1=2=3，4=5=6，DBC+DCB=

8、40，BDC=180-40=140，2=3，5=6，DE平分BDC，BDE=BDC=70故选B【点睛】此题考查三角形的内角和，角平分线的性质，三角形中三条内角的平分线交于一点是解本题的关键类型二 多个等分线求角进阶6如图，若BO、CO分别是ABC、ACB的三等分线，也就是OBCABC，OCBACB，A72，则BOC_【答案】144【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出ABC+ACB，求出OBC+OCB，然后根据三角形内角和定理求出BOC即可【详解】解：A72，ABC+ACB180A18072108，OBCABC，OCBACB，OBC+OCB（ABC+ACB）10836，BOC180（OBC

9、+OCB）18036144，故答案为：144【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，根据定理求出ABC+ACB以及OBC+OCB是解题的关键7如图，在四边形中，则的度数为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】先求出CDECBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可【详解】解：延长DC交BE于点H，ABCD90，ABCADC180，CDNCBM180，EDNnCDE，EBMnCBE，CDECBE180，由三角形的外角性质得，BHDCDEBED，BCDBHDCBE，BCDCBECDEBED，BEDBCD（CBECDE）90，故选：A【点睛】本题考查了三角

10、形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用8如图，MON=90，在ABO中，ABC=ABN，BAD=BAO，则D=_（用含n的代数式表示）【答案】【解析】【分析】由三角形外角的性质可知D=ABC-BAD，把ABC=ABN，BAD=BAO代入整理即可求出结论.【详解】D=ABC-BAD，ABC=ABN，BAD=BAO，D=ABN-BAO=(ABN-BAO)，MON=ABN-BAO=90，D=MON=()，故答案为【点睛】本题主要考查角平分线和外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的性

11、质是解题的关键9如图，已知ABC中，A=60，点O为ABC内一点，且BOC=140，其中O1B平分ABO，O1C平分ACO，O2B平分ABO1，O2C平分ACO1，OnB平分ABOn-1，OnC平分ACOn-1，以此类推，则BO1C =_ ，BO2021C=_ 【答案】 100 【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案【详解】解：如图，平分，平分，同理可得：，归纳类推得：，其中为正整数，则，故答案为：100，【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归

12、纳类推出一般规律是解题关键10如图，在中，若，则，叫做的三分线，其中，是邻的三分线，是邻的三分线（1）如图，在中，的三分线交于点，求的度数；（2）如图，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，且，垂足为，求的度数【答案】（1）87或101；（2）45【解析】【分析】（1）分为两种情况：当BD是“邻AB三分线”时，当BD是“邻BC三分线”时，根据三角形的外角性质求出即可；（2）求出PBC+PCB=90，根据BP、CP分别是ABC邻AB三分线和ACB邻AC三分线求出PBC=ABC，PCB=ACB，求出ABC+ACB=135，再求出A即可【详解】解：（1）如图，当BD是“邻AB三分线”时，A=73，B=4

13、2，BDC=A+ABD=73+42=87；当BD是“邻BC三分线”时，BDC=A+ABD=73+42=101；（2）BPCP，BPC=90，PBC+PCB=90，BP、CP分别是ABC邻AB三分线和ACB邻AC三分线，PBC=ABC，PCB=ACB，ABC+ACB=90，ABC+ACB=135，A=180-（ABC+ACB）=180-135=45【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用了分类讨论思想11（1）如图在ABC中，点O是ABC和ACB平分线的交点，若A=，则BOC= （用表示）；如图CBO=ABC，BCO=ACB，A

14、=，则BOC= （用表示）扩展探究：（2）如图，CBO=DBC，BCO=ECB，A=，求BOC的度数（用表示），并说明理由【答案】（1），；（2），见解析【解析】【分析】（1）如图，根据角平分线的定义可得，然后表示出，再根据三角形的内角和等于列式整理即可得；如图，根据三角形的内角和等于列式整理即可得；（2）如图，根据三角形的内角和等于列式整理即可得；【详解】解：（1）如图，与的平分线相交于点，在中，；如图，在中，；（2）如图，在中，【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是运用整体思想的来解题类型三 综合解答12【概念认识】如图，在ABC中，若ABDDBEEBC，则BD

15、，BE叫做ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”【问题解决】（1）如图，在ABC中，A80，B45，若B的三分线BD交AC于点D，求BDC的度数；（2）如图，在ABC中，BP、CP分别是ABC邻BC三分线和ACB邻BC三分线，且BPC140，求A的度数；【延伸推广】（3）在ABC中，ACD是ABC的外角，B的三分线所在的直线与ACD的三分线所在的直线交于点P若Am（），B54，直接写出BPC的度数（用含m的代数式表示）【答案】（1）95或110；（2）60；（3）m或m或m或m18【解析】【分析】（1）根据题意可得的三分线有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可

16、得的度数；（2）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且可得，进而可求的度数；（3）根据的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点分四种情况画图：情况一：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况二：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况三：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况四：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据，根据三角形外角性质，即可求出的度数【详解】解：（1）如图，当BD是“邻AB三分线”时，；当BD是“邻BC三分线”时，；（2）在BPC中，又BP、CP分别是邻BC三分线和邻BC三分线，在ABC中，（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如

17、图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，； 情况二：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，；情况三：如图，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，；情况四：如图，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，；综上所述：的度数为：或或或【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握并灵活运用三角形的外角性质，注意要分情况讨论13（1）如图，在锐角ABC中，BD和BE三等分ABC，CD和CE三等分ACB，请分别写出A和D，A和E的数量关系，并选择其中一个说明理由；（2）如图，在锐角ABC中，BD和BE三等分ABC，C

18、D和CE三等分外角ACM，请分别写出A和D，A和E的数量关系，并选择其中一个说明理由；（3）如图，在锐角ABC中，BD和BE三等分外角PBC，CD和CE三等分外角QCB，请分别直接写出A和D，A和E的数量关系【答案】（1）A和D，A和E的数量关系为：D60+A，E120+A，见解析；（2）A和D，A和E的数量关系为：DA，EA，见解析；（3）A和D，A和E的数量关系为：D60A，E120A，见解析.【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出ABC+ACB，再利用三等分角求出EBC+ECB，然后列式计算即可求解；（2）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可；（3）根据三角

19、形内角和、外角和定理，及平角定义，列式计算即可【详解】（1）D60+A，E120+A理由如下：ABC+ACB180A，BE三等分ABC，CE三等分ACB，EBCABC，ECBACB，DBC=ABC，DCB=ACB，EBC+ECB（ABC+ACB）（180A）60A，DBC+DCB=（ABC+ACB）=（180-A）=120-A，E180（EBC+ECB）180（60A）120+AD=180-（DBC+DCB）=180-（120-A）=60+A，答：A和D，A和E的数量关系为：D60+A，E120+A（2）A和D，A和E的数量关系为：DA，EA理由如下：BE三等分ABC，CE三等分外角ACM，E

20、BCABC，ECMACM，DBC=ABC，DCM=ACM，EECMEBC（ACMABC）AD=DCM-DBC=（ACMABC）=A.答：A和D，A和E的数量关系为：DA，EA（3）D60A，E120A理由如下：BE三等分外角PBC，CE三等分外角QCB，CBECBP，BCEBCQ，CBD=CBP，BCD=BCQ，E180（CBP+BCQ）180（180ABC+180ACB）180120+（180A）120A同理：D180（CBP+BCQ）=180（180ABC+180ACB）=180-120+（180-A）=60A.答：A和D，A和E的数量关系为：D60A，E120A【点睛】本题考查三角形内角

21、和定理及外角性质，三角形的内角和等于180；三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.14（1）如图1，已知，平分外角，平分外角直接写出和的数量关系，不必证明；（2）如图2，已知，和三等分外角，和三等分外角试确定和的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据）（3）如图3，已知，、和四等分外角，、和四等分外角试确定和的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据）（4）如图4，已知，将外角进行分，是临近边的等分线，将外角进行等分，是临近边的等分线，请直接写出和的数量关系，不必证明【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】（1）由平分外角，平分外角，结合

22、三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论；（2）由和三等分外角，和三等分外角，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论；（3）由、和四等分外角，、和四等分外角，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论；（4）由外角进行分，是临近边的等分线，将外角进行等分，是临近边的等分线，合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论；【详解】（1），理由如下：平分外角，平分外角，；（2），理由如下：由已知得：，；（3），理由如下：由已知得：，（4），理由如下：由已知得：，【点睛】本题主要考查三角形外角的性质与三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质与三角形内角和定理是解题的关键