专题1 第5课时　圆周运动　万有引力与航天.docx

1、第5课时圆周运动万有引力与航天命题规律1.命题角度：(1)圆周运动的动力学分析；(2)万有引力定律、天体运动.2.常考题型：选择题，在计算题中，圆周运动通常与能量观点综合考查高考题型1圆周运动1常见的圆周运动水平面内的圆周运动水平转盘上的物体Ffm2r圆锥摆模型mgtan mr2竖直面内的圆周运动轻绳模型最高点的临界条件：mgm最高点和最低点间的过程要用能量观点(动能定理)轻杆模型最高点的临界条件vmin0倾斜面内的圆周运动倾斜转盘上的物体电场、重力场叠加中的圆周运动带电小球在叠加场中的圆周运动等效法关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置磁场中的圆

2、周运动带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动qvBm2圆周运动的三种临界情况(1)接触面滑动临界：摩擦力达到最大值(2)接触面分离临界：FN0.(3)绳恰好绷紧：FT0；绳恰好断裂：FT达到绳子最大承受拉力例1图1甲所示为球形铁笼中进行的摩托车表演，已知同一辆摩托车在最高点A时的速度大小为8 m/s，在最低点B时的速度大小为16 m/s，铁笼的直径为8 m，取重力加速度g10 m/s2，摩托车运动时可看作质点则摩托车在A、B点对铁笼的压力之比为()图1A121 B14 C1327 D337答案D解析摩托车在铁笼中做圆周运动，则在A点有FNAmgm，解得FNA6m，在最低点B有FNBmgm，解得FN

3、B74m，则FNAFNB337.由牛顿第三定律可知，摩托车在A、B点对铁笼的压力之比为337，D正确例2(多选)(2021华中师范大学附属中学高三期末)如图2甲所示，两个质量分别为m、2m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为2l，b与转轴的距离为l.如图乙所示(俯视图)，两个质量均为m的小木块c和d(可视为质点)放在水平圆盘上，c与转轴、d与转轴的距离均为l，c与d之间用长度也为l的水平轻质细线相连木块与圆盘之间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴做角速度缓慢增大的转动，下列说法正确的是()图2A图甲中，a、b同时开始滑动B

4、图甲中，a、b所受的静摩擦力始终相等C图乙中，c、d与圆盘相对静止时，细线的最大拉力为kmgD图乙中，c、d与圆盘相对静止时，圆盘的最大角速度为答案BD解析在题图甲中kmgm2r，r越大，开始滑动时的角速度越小，则a先滑动，选项A错误；对木块a有Ffam2(2l)，对b有Ffb2m2l，即a、b所受的静摩擦力始终相等，选项B正确；在题图乙中，当时，细线的拉力和最大静摩擦力提供木块做匀速圆周运动的向心力，当最大静摩擦力的方向与细线垂直时，如图所示，木块受到的合力F最大，圆盘转动的角速度最大，mm2l，解得m，此时FTmkmgtan 30kmg，选项C错误，选项D正确例3(2018全国卷25)如图

5、3，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为，sin .一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零重力加速度大小为g.求：图3(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；(2)小球到达A点时动量的大小；(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间答案(1)mg(2)(3)解析(1)设水平恒力的大小为F0，小球到达C点时所受合力的大小为F.由力的

6、合成法则有tan F2(mg)2F02设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得Fm由式和题给数据得F0mgv(2)设小球到达A点的速度大小为v1，作CDPA，交PA于D点，由几何关系得DARsin CDR(1cos )小球从A点到达C点过程，由动能定理有mgCDF0DAmv2mv12由式和题给数据得，小球在A点的动量大小为pmv1(3)小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g.设小球在竖直方向的初速度为v竖直，从C点落至水平轨道上所用时间为t.由运动学公式有v竖直tgt2CDv竖直vsin 由式和题给数据得t高考题型2万有引力定律天体运动1卫星的发射及运行在

7、地面附近静止忽略自转：Gmg，故GMgR2(黄金代换式)考虑自转两极：Gmg赤道：Gmg0m2R卫星的发射第一宇宙速度：v7.9 km/s(天体)卫星在圆轨道上运行GFn越高越慢，只有T与r变化一致变轨(1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之(2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度(3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长.2.天体质量和密度的计算3双星问题模型概述两星在相互间引力作用下都绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动特点角速度(周期)相等向心力各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供m

8、12r1，m22r2轨迹半径关系(1)r1r2l(2)m1r1m2r2总质量m1m2考向一开普勒行星运动定律的应用例4(2021江苏镇江市高三期末)如图4所示为火星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是火星依次经过的三位置，F1、F2为椭圆的两个焦点火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，火星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2.已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功下列判断正确的是()图4A太阳位于焦点F1处BS1S2C在M和N处，火星的动能EkMEkND在N和P处，火星的加速度aNaP答案B解析已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，所以太阳位于焦点F2处，故A错误； 根

9、据开普勒行星运动定律得火星由M到P的过程中速度增大，火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以火星由M到N运动时间大于由N到P的运动时间，则S1S2，故B正确； 已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，根据动能定理得火星的动能EkMEkN，故C错误； 根据万有引力公式得火星在N处受到太阳的引力小于在P处受到太阳的引力，根据牛顿第二定律得aNaP，故D错误考向二天体的质量和密度的估算例5(2021全国乙卷18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图5所示科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为

10、1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为()图5A4104M B4106MC4108M D41010M答案B解析可以近似把S2的运动看成匀速圆周运动，由题图可知，S2绕黑洞的周期T16年，地球的公转周期T01年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是r1 000R地球绕太阳做圆周运动所需的向心力由太阳对地球的万有引力提供，由向心力公式可知GmR02mR2解得太阳的质量为M同理S2绕黑洞做圆周运动所需的向心力由黑洞对它的万有引力提供

11、，由向心力公式可知mr2mr2解得黑洞的质量为Mx综上可得Mx4106M故选B.考向三天体运动参量分析例6(2019全国卷15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火已知它们的轨道半径R金R地a地a火 Ba火a地a金Cv地v火v金 Dv火v地v金答案A解析金星、地球和火星绕太阳公转时，根据万有引力提供向心力，则有Gma，解得aG，结合题中R金R地a地a火，选项A正确，B错误；同理，有Gm，解得v，再结合题中R金R地v地v火，选项C、D错误例7(2021河北卷4)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问

12、一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为()A. B.C. D.答案D解析根据万有引力提供向心力，可得mR则T，R.由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径R飞R同，则，故选D.考向四变轨问题例8(2021广东省1月适应性测试2)2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史如图6所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道变轨到椭圆

13、轨道，以便返回地球下列说法正确的是()图6A嫦娥五号在轨道和运行时均超重B嫦娥五号在轨道和运行时机械能相等C嫦娥五号在轨道和运行至P处时速率相等D嫦娥五号在轨道和运行至P处时加速度大小相等答案D解析嫦娥五号在轨道和运行时均处于失重状态，故A错误；嫦娥五号在轨道上经过P点时经加速后进入轨道运行，故嫦娥五号在轨道上P处的速率小于在轨道运行至P处时速率；加速后势能不变，动能增大，则机械能增大，故B、C错误；根据Gma得a，可知嫦娥五号在轨道和运行至P处时加速度大小相等，故D正确考向五双星问题例9(多选)(2021湖北高三检测)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波在中子星合并前，只

14、受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，在浩瀚的银河系中，这样的双星系统很多设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图7所示，若AOOB，则()图7A星球A的线速度一定大于B的线速度B星球A的质量一定大于B的质量C双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越小D双星之间的距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小答案AD解析双星系统角速度相等，根据vr，且AOOB，可知，A的线速度大于B的线速度，故A正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以有mA2rAmB2rB，因为rBmA，即B的质量一定大于A的质量，故B错误；根据万有引力提供向心力，得mA()2rAmB()2rB，解得

15、周期为T2，可知双星的总质量一定，双星之间的距离越大，转动周期越大；双星间的距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越小，故C错误，D正确.1.(多选)(2021天津市河西区高三期末)如图8所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，重力加速度为g，当圆环以角速度(0)绕竖直直径转动时，()图8A细绳对小球的拉力可能为零B细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等C细绳对小球的拉力与小球的重力大小不可能相等D当时，金属圆环对小球的作用力为零答案CD解析如果细绳对小球的拉力为零，则小球受到的重力与支持力的合力不可能提供向心力，故A错误

16、；细绳和金属圆环对小球的作用力大小如果相等，二者在水平方向的合力为零，则向心力为零，故B错误；此时细绳与竖直方向的夹角为60，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，则有FTcos 60FNcos 60mg，FTsin 60FNsin 60m2rsin 60，解得FTmgm2r，FNmgm2r，因为0，所以细绳对小球的拉力与小球的重力大小不可能相等，当时，金属圆环对小球的作用力FN0，故C、D正确2.(多选)(2021湖北省部分重点中学高三期末联考)2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空至此，北斗三号全球卫星导航系统星座部署已全面完成如图9是北斗卫星导航系统

17、中的三个轨道示意图轨道A为地球赤道同步卫星轨道，轨道B为倾斜同步卫星轨道轨道C为一颗中地球轨道卫星，D为赤道上某个建筑物(图中未画出)下列说法正确的是()图9A若轨道A上的卫星某时刻与轨道B上的卫星正好同时到达D的正上方，则以后每隔相同时间这两个卫星都会相遇在该建筑物D正上方B轨道B、C上的卫星及建筑物D的速度大小关系为：vBvCvD，故B错误；轨道高度越大，需要的发射速度就越大，所以发射C更容易，故C错误；赤道表面的物体随地球自转的向心加速度一定小于地球表面的重力加速度，故D正确3.(2021华大新高考联盟1月联考)2020年7月23日，我国成功发射了“天问一号”火星探测器如图10所示，已知

18、火星与天问一号、地球均绕太阳在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动，火星绕太阳的公转轨道半径是地球的1.5倍为了节省燃料，通常选择地球与火星最近时(地球位于太阳与火星之间，且三者共线)为最佳发射期则下一个火星探测器的最佳发射期至少要经过约()图10A1.2年 B1.8年C2.2年 D2.8年答案C解析地球绕太阳运行周期为T11年，设火星绕太阳运行周期为T2.由开普勒第三定律有23，得T2年设地球与火星再一次最近至少经过时间t，则有(12)t2，即1，解得t2.2年，故选C.4(2021黑龙江鹤岗一中三校高三期末联考)如图11所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，轮上A、B两点各粘有一小物

19、体，当B点转至最低位置时，此时O、A、B、P四点在同一竖直线上，已知：OAAB，P是地面上的一点此时A、B两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点不计空气阻力，则OP的距离是()图11A.R B.RC5R D7R答案A解析设OP之间的距离为h，则A下落的高度为h，A随圆轮运动的线速度为，设A下落的时间为t1，水平位移为x，则在竖直方向上有：hgt12，在水平方向上有：xt1；B下落的高度为hR，B随圆轮运动的线速度为R，设B下落的时间为t2，水平位移也为x，则在竖直方向上有：hRgt22，在水平方向上有：xRt2，联立解得：hR，故A正确，B、C、D错误专题强化练保分基础练1.(202

20、1全国甲卷15)“旋转纽扣”是一种传统游戏如图1，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为()图1A10 m/s2 B100 m/s2C1 000 m/s2 D10 000 m/s2答案C解析根据匀速圆周运动的规律，此时2n100 rad/s，向心加速度a2r1 000 m/s2，故选C.2.(2021山西吕梁市高三一模)中学生常用的学习用具修正带的结构如图2所示，包括上下盖座、大小齿轮、压嘴座等部件大小齿轮分别嵌合于大小轴孔中，大小齿轮相互吻

21、合，大齿轮半径是小齿轮半径的2倍，a、b点分别位于大小齿轮的边缘c点在大齿轮的半径中点，当修正带被匀速拉动进行字迹修改时()图2A大小齿轮的转向相同Ba点的线速度比b点大Cb、c两点的角速度相同Db点的向心加速度最大答案D解析大小齿轮相互吻合，传动时边缘点的线速度大小相等，方向相反，A、B错误；根据vr，解得abrbra12，同轴传动时，角速度相等，故ac，所以b点与c点的角速度不相同，C错误；根据a2r，b、c点的向心加速度大小之比为abacb2c2b2a241，b点的向心加速度最大，D正确3.(多选)(2021河北卷9)如图3，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑

22、，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度和匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若，则与以匀速转动时相比，以匀速转动时()图3A小球的高度一定降低B弹簧弹力的大小一定不变C小球对杆压力的大小一定变大D小球所受合外力的大小一定变大答案BD解析对小球受力分析，设弹簧弹力为FT，弹簧与水平方向的夹角为，则对小球竖直方向有FTsin mg而FTk可知为定值，FT不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；水平方向当转速较小，杆对小球的弹力FN背离转轴时，则FTcos FNm2r，即FNFTcos m2r当转速较大，FN指

23、向转轴时，则FTcos FNm2r即FNm2rFTcos 因，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，C错误；根据F合m2r可知，因角速度变大，则小球受合外力变大，则D正确4(2021河北唐山市一模)假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月球表面，上升的最大高度为h.已知月球半径为R、引力常量为G，不计一切阻力则月球的密度为()A. B. C. D.答案C解析由自由落体公式得hg月()2，设月球质量为M，月球表面质量为m的物体所受重力mg月G，设月球体积为V，则VR3，则月球的密度为，联立以上各式得 ，故选C.5.(2021北京市顺义区高三期末)中国北斗卫星导航系统(

24、简称BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，可为全球用户提供定位、导航和授时服务，该导航系统由多颗不同轨道的卫星组成如图4所示，a、b、c为该系统中三颗轨道为圆的卫星，a是地球同步卫星，b是轨道半径与a相同的卫星，c的轨道半径介于近地卫星和同步卫星之间下列说法正确的是()图4A卫星b也可以长期“悬停”于北京正上空B卫星c的运行速度一定大于第一宇宙速度C卫星b的运行周期与地球的自转周期相同D卫星a的向心加速度大于卫星c的向心加速度答案C解析卫星b不是同步卫星，不能“悬停”在北京正上空，故A错误；第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，根据万有引力提供向心力，有m，解得v，卫星c的轨道半径大于近地卫星

25、轨道半径，则卫星c的运行速度小于第一宇宙速度，故B错误；根据万有引力提供向心力，有mr，解得T2，卫星a、b的轨道半径相等，则周期相等，卫星a是同步卫星，运行周期与地球自转周期相同，则卫星b的运行周期与地球自转周期相同，故C正确；根据万有引力提供向心力，有ma，解得a，卫星a的轨道半径大于卫星c的轨道半径，故卫星a的向心加速度小于卫星c的向心加速度，故D错误6(2021河南郑州市高三上第一次质量检测)如图5为嫦娥五号登月轨迹示意图图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是()图5A嫦娥五号在M点进入地月转移轨道时应

26、点火加速B设嫦娥五号在圆轨道a上经过N点时的速度为v1，在椭圆轨道b上经过N点时的速度为v2，则v1v2C设嫦娥五号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1a2D嫦娥五号在圆轨道a上的机械能等于在椭圆轨道b上的机械能答案A解析嫦娥五号在M点点火加速，使万有引力小于所需向心力做离心运动，才能进入地月转移轨道，故A正确；嫦娥五号在圆轨道a上加速做离心运动才能进入椭圆轨道b，即a上的机械能小于b上的机械能，嫦娥五号经过a、b轨道上的N点时，引力势能相同，则在椭圆轨道b上经过N点时的动能大于圆轨道a上经过N点时动能，则有v2v1，故B、D错误；根据牛顿第二定

27、律得Gma，解得a，由此可知a1a2，故C错误7(多选)(2021湖南省1月适应性考试7)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小如图6所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道下列说法正确的是()图6A在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙B甲可以通过增大速度来抬高轨道C在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大D返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大答案BD解析对在圆轨道上运转的卫星

28、，由m得：v，故v甲v乙，A错误；甲需增大速度才能做离心运动，与高轨道上的乙对接，B正确；在甲抬高轨道的过程中，由FG知，r增大，F减小，C错误；地球表面的重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，故相同的物体在地球上重量大，D正确争分提能练8.(2021河北张家口市一模)如图7所示，一长度为R的轻绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在倾角30的光滑斜面上O点，小球在斜面上绕O点做半径为R的圆周运动，A、B分别是圆周运动轨迹的最低点和最高点，若小球通过B点时轻绳拉力大小等于mg，重力加速度为g，则小球通过A点时，轻绳拉力大小为()图7A2mg B4mgC6mg D7mg答案B解析在B点，根据牛顿

29、第二定律得mgmgsin 30m，从B点到A点，根据动能定理得mg2Rsin 30mv2mv2，在A点，根据牛顿第二定律得FTmgsin 30m，解得FT4mg，故选B.9.(多选)(2021湖南岳阳市高三检测)如图8所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆C和D上，质量为ma的a球置于地面上，质量为mb的b球从与C、D等高的位置(轻绳伸直)静止释放当b球摆过的角度为90时，a球对地面的压力刚好为零，下列结论正确的是()图8Amamb21Bmamb31C若只将b的质量变大，则当b球摆过的角度为小于90的某值时，a球对地面的压力刚好为零D若只将细杆D水

30、平向左移动少许，则当b球摆过的角度为小于90的某值时，a球对地面的压力刚好为零答案BC解析由于b球摆动90过程中机械能守恒，则有mbglmbv2，此时a球对地面压力刚好为零，说明此时绳子张力为mag，根据牛顿第二定律和向心力公式得magmbgmb，解得mamb31，故A错误，B正确；当b球摆过的角度为(小于90)时，则mbglsin mbv2，若此时a球对地面的压力刚好为零，则magmbgsin mb，解得mag3mbgsin ，对比mag3mbg可知，若只将b的质量变大，当b球摆过的角度为小于90的某值时，a球对地面的压力刚好为零，则C正确；D水平左移少许后，D与b球的距离设为l，当b球摆过

31、的角度为90时，有mbglmv2，FTmbgmb，得FT3mbg，此时a球对地面的压力刚好为零，故D错误10.(2021黑龙江鹤岗一中三校高三期末联考)如图9所示，天文观测中观测到有三颗星体位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是()图9A三颗星体的质量可能不相等B某颗星体的质量为C它们的线速度大小均为D它们两两之间的万有引力大小为答案D解析轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，rl.根据题意可知其中任意两颗星体对第三颗星体的合力指向圆心，所以这两颗星体对第三颗星体的万有引力等

32、大，由于这两颗星体到第三颗星体的距离相同，故这两颗星体的质量相同，所以三颗星体的质量一定相同，设为m，则2Gcos 30ml，解得m，它们两两之间的万有引力FGG，A、B错误，D正确；线速度大小为vl，C错误11.(2021重庆市高三第一次联合诊断检测)某人参加户外活动，水平轻绳一端固定，人手握轻绳另一端从静止开始无初速度运动，到最低点时松开轻绳，最后落到水平地面上如图10所示，将这一过程简化为：长度为L的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端拴接一质量为m的小球(可视为质点)，O点距离水平地面高度为H(LH)，将轻绳水平拉直，使小球从静止开始无初速度释放，小球到达最低点时与轻绳脱离，最后落到水

33、平地面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力图10(1)求小球落地前瞬时速度大小；(2)如果L大小可以改变(L仍小于H)，其他条件不变，求小球落地点与O点的最大水平距离答案(1)(2)H解析(1)设小球落地前瞬时速度大小为v，由机械能守恒定律得mv2mgH，解得 v(2)设小球摆至最低点时，速度大小为v0mv02mgL，解得v0小球在最低点脱离轻绳后做平抛运动，历时t落地，设小球落地点与O点的水平距离为x，有xv0t，HLgt2解得x2当LHL，即L时，小球落地点与O点的水平距离最大，为xmaxH.12(2021华大新高考联盟1月联考)如图11甲所示，光滑半圆环轨道固定在竖直平面上，最低点与光滑

34、水平面平滑连接，一长度与半圆轨道直径相等的轻弹簧左端固定在高h0.4 m的固定竖直挡板P上，弹簧的右端在半圆轨道的最低点处将一小球(可视为质点)置于弹簧的右端(与弹簧接触但不连接)并向左压缩弹簧，然后静止释放，小球被弹簧弹开后进入半圆轨道运动多次重复，每次弹簧的压缩量不同通过固定在半圆轨道最高点处的压力传感器与速度传感器(甲图中未画出)测出小球对轨道的压力大小F与此处小球速度的平方v2的关系如图乙所示已知当某次弹簧的压缩量x0.1 m静止释放小球后小球恰能经过挡板P的上端重力加速度g10 m/s2.不计空气阻力求：图11(1)小球的质量m与半圆轨道的半径r；(2)弹簧的劲度系数k.答案(1)0.1 kg0.3 m(2)210 N/m解析(1)小球在半圆轨道的最高点处，由牛顿第二定律有FNmgm，即FNmgm由题图乙知mg1 N，可得m0.1 kg当FN0时v23 m2s2，可得r0.3 m(2)当弹簧压缩量为x0.1 m静止释放小球后，弹簧对小球做功Wxkx2以半圆轨道最低点所在的水平面为零势能面，由功能关系知，小球在半圆轨道最高点处的机械能为mg2rmv12W小球离开半圆轨道最高点做平抛运动，设历时t经过挡板P的最高点，由平抛运动规律有2rhgt22rv1t代入数据联立解得k210 N/m.