专题1 长方体和正方体-2023-2024学年五年级下册数学计算大通关（人教版）.docx

1、专题1 简易方程（知识精讲+典型例题+专题专练+拓展培优）1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。2、长方体的表面积=(长宽+长高+宽高)2。用字母表示:S=(ab+ah+bh)2。3、正方体的表面积=棱长棱长6。用字母表示:S=6a2。4、体积计算公式（1）长方体的体积=长宽高。用字母表示:V=abh。（2）正方体的体积=棱长棱长棱长。用字母表示:V=a3。考点一：长方体和正方体的表面积方法总结：1、长方体的表面积=长x宽x2+长x高x2+宽x高x2=(长x宽+长x高+宽x高)x2,用字母表示为S=axbx2 +axhx2+bxh x2=(ab +ah +bh) x2(其中a,b,

2、h分别表示长、宽、高)。2、正方体的表面积是abh三者相同。3、在求表面积的时候找准长宽高即可。【例一】求下面图形的表面积。（单位：cm）【分析】利用平移可知，这个图形的表面积等于长是6cm，宽是10cm，高是4厘米长方体的表面积减去长是（62）cm，宽是（42）cm长方形面积2个，根据长方体表面积公式：表面积（长宽长高宽高）2，长方形面积公式：面积长宽，代入数据，即可解答。【详解】（61064104）2（62）（42）2（602440）2422（8440）28212421624816232（cm2）【例二】计算下面图形的表面积。 （1）（2）【分析】（1）根据正方体的表面积公式：S6a2，把

3、数据代入公式解答。（2）因挖去正方体的边长等于长方体的边长，因此用长方体的表面积减去2个正方体的面，再加上增加出来的四个面，根据长方体面积公式（长宽宽高长高）2、正方体的表面积公式（S6a2），把数据代入公式解答。【详解】（1）121261446864（平方分米）它的表面积是864平方分米。（2）（1541512124） 2（6018048）22882576（平方厘米）正方体每个面的面积为4416：576416216576643264032608（平方厘米）它的表面积是608平方厘米。【专题专练一】如图是一个长方体的展开图，求这个长方体的表面积。【专题专练二】求如图图形的表面积。（单位：cm）

4、考点二：长方体和正方体的体积方法总结：1、注意区分体积单位和面积单位,二者的意义不同。2、已知长方体的长、宽、高或者正方体的棱长,可直接运用长方体或正方体的体积计算公式求它们的体积。3、对于同一个长方体,摆放方式不同,底面可能不同，但体积不变。【例一】计算如图的表面积和体积。（单位：cm）【分析】（1）根据图示，可得图形的表面积等于棱长是3cm的正方体的侧面积和长、宽、高分别是8cm、4cm、5cm的长方体的表面积的和，据此求出图形的表面积即可。（2）根据图示，可得图形的体积等于棱长是3cm的正方体的体积和长、宽、高分别是8cm、4cm、5cm的长方体的体积的和，据此求出图形的体积即可。【详解

5、】表面积：体积：【例二】计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）（1）（2）【分析】（1）先求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的表面积公式：，体积公式：，求出长方体的体积和表面积；（2）分析图形可知，图形的表面积等于棱长是6厘米正方体的表面积，图形的体积等于棱长是6厘米的正方体的体积与去掉小长方体的体积之差，根据正方体的表面积公式：，正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，把图中数据分别代入公式计算。【详解】（1）表面积：4312（cm）（12412444）2（484816）21122224（cm2）体积：1244484192（cm3）所以，这个长方体的表面积是224cm2，体积是192c

6、m3。（2）表面积：666 366216（cm2）体积：6663223666221612204（cm3）所以，它的表面积是216cm2，体积是204cm3。【专题专练一】计算图形的表面积和体积。（单位：cm）【专题专练二】求下列图形的体积。（1）（2）一、计算题1仔细观察后计算出下面立体图形（小正方体的棱长是1厘米）的表面积和体积。2计算各图形的表面积和体积。（单位：厘米）3计算下列图形的表面积和体积。4计算下面几何体的表面积和体积。5求如图形的表面积和体积。（单位：cm）6求下面几何体的表面积和体积。7计算下面立体图形的体积。（单位：厘米）8计算下图的表面积和体积。（单位cm）9分别计算下面

7、两个图形的表面积和体积。（单位：cm）10计算下面立体图形的表面积和体积。11铁块的体积是多少cm3？12计算下面图形的体积。13计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）14计算下面长方体的表面积。15计算下面立体图形的表面积和体积。16计算下面图形的体积和表面积。17计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）18计算下面物体的表面积和体积。（单位：厘米）19计算下面图形的表面积和体积。（单位：dm）20求正方体体积和表面积。（单位：cm） 21计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：厘米）22计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）23计算下面图形的体积。（单位：厘米）（1） （2） 2

8、4计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：dm）25计算下面立体图形的表面积和体积。参考答案118平方厘米；5立方厘米【分析】观察这个几何体，从前面、后面看，都能看到4个小正方形；从上面看，能看到4个小正方形；从左面、右面看，都能看到3个小正方形；所以露在外面的面共有（44433）个面，一个面的面积是（11）平方厘米，再乘露在外面的面的个数即可求出这个图形的表面积；这个几何体是由5个小正方体组成，利用正方体的体积公式求出小正方体的体积，再乘5即可求出这个图形的体积。【详解】111（平方厘米）（44433）118118（平方厘米）11155（立方厘米）即立体图形的表面积是18平方厘米，体积是5立

9、方厘米。2228平方厘米；216立方厘米；294平方厘米；343立方厘米【分析】长方体的表面积（长宽宽高长高）2，长方体的体积长宽高，正方体的表面积棱长棱长6，正方体的体积棱长棱长棱长，把图中数据代入公式计算，据此解答。【详解】长方体的表面积：（949646）2（365424）21142228（平方厘米）长方体的体积：946366216（立方厘米）所以，长方体的表面积是228平方厘米，体积是216立方厘米。正方体的表面积：776496294（平方厘米）正方体的体积：777497343（立方厘米）所以，正方体的表面积是294平方厘米，体积是343立方厘米。396平方分米；64立方分米；136；9

10、6；186；152【分析】根据长方体的表面积公式：（长宽长高宽高）2；长方体的体积公式：长宽高；正方体的表面积公式：棱长棱长6；正方体的体积公式：棱长棱长棱长，代入数据计算即可。【详解】（1）正方体的表面积：44616696（平方分米）正方体的体积：44416464（立方分米）（2）长方体的表面积：（838434）2（243212）2682136（）长方体的体积：83424496（）（3）组合图形的表面积：556256150（）3349436（）15036186（）组合图形的体积：555255125（）3339327（）12527152（）4左图：600平方厘米；900立方厘米右图：1220平

11、方厘米；2445立方厘米【分析】长方体表面积（长宽长高宽高）2，长方体体积长宽高；组合体的表面积完整的大长方体表面积小长方体前后左右4个面的面积，组合体的体积大长方体体积小长方体体积，据此列式计算。【详解】（平方厘米）（立方厘米）（平方厘米）（立方厘米）5592cm2；870cm3【分析】根据体积、表面积的意义，从长方体的顶点上挖掉一个小长方体，因为这个小长方体原来外露3个面，挖掉这个小长方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变，根据长方体的表面积公式：S（abahbh）2，据此进行计算即可；该图形的体积等于大长方体的体积减去挖去的小长方体的体积，根据长方体的体积公式：Vabh

12、，据此进行计算即可。【详解】表面积：（1210128108）2（1209680）22962592（cm2）体积：1210865396090870（cm3）6左图：表面积：1350cm2，体积是3375cm3；右图：表面积是528cm2，体积是700cm3【分析】（1）根据正方体表面积公式：S6a2，正方体体积公式：Va3计算即可。（2）观察图形可知，大长方体中少了一个小长方体，表面积比原来减少了4个长方形的面积，但又增加了两个长方形的面积，即表面积减少两个（128）5的长方形面积；该图形的体积等于大长方体的体积减去小长方体的体积；根据长方体的表面积公式：S（abahbh）2，长方体的体积公式：

13、Vabh，把数据代入公式解答。【详解】（1）表面积：1515622561350（cm2）体积：151515225153375（cm3）（2）表面积：（1210127107）2（1208470）22742548（cm2）（128）54520（cm2）54820528（cm2）体积：1284（cm）127107458410285840140700（cm3）7354立方厘米【分析】观察图形可知，该立体图形的体积等于左侧长方体的体积加上右侧长方体的体积，根据长方体的体积公式：Vabh，据此进行计算即可。【详解】567863307483210144354（立方厘米）8392cm2；504cm3【分析】观

14、察图形可知，该立体图形的表面积等于大正方体的表面积加上小正方体两个面的面积，根据正方体的表面积公式：S6a2，据此进行计算即可；该立体图形的体积等于大正方体的体积减去小正方体的体积，根据正方体的体积公式：Va3，据此计算即可。【详解】886222646423848392（cm2）888222648425128504（cm3）9表面积为526，体积为669；表面积为230，体积为165【分析】看图1可知，一个长方体和正方体叠加之后，减少了两个正方形的表面积，组合图形的表面积等于长方体的表面积加上正方体四个面的表面积，利用表面积公式分别代入计算即可；叠加后体积不变，组合图形的体积等于长方体的体积加

15、上正方体的体积，利用体积公式计算即可。看图2可知，一个长方体和正方体叠相邻放齐之后，减少了两个长方体侧面的表面积，组合图形的表面积等于正方体的表面积加上长方体上、下、前、后四个面的表面积，表面积公式分别代入计算即可；组合图形的体积等于长方体的体积加上正方体的体积，利用体积公式计算即可。【详解】图1：长方体表面积：1154111125541212220242462（）正方体四个面的表面积：44416464（）图1的表面积：46264526（）长方体体积：111151215605（）正方体体积：44416464（）图1的体积：60564669（）图2：正方体的表面积：556256150（）长方体四

16、个面的表面积：102420480（）图2的表面积：15080230（）正方体的体积：555255125（）长方体的体积：102220240（）图2的体积：12540165（）10表面积：23m2；体积：6m3【分析】观察图形可知，该立体图形的表面积等于下方长方体的表面积加上上方长方体的侧面积，根据长方体的表面积公式：S（abahbh）2，长方体的侧面积公式：SCh，据此进行计算即可；该立体图形的体积等于下方长方体的体积加上上方长方体的体积，再根据长方体的体积公式：Vabh，据此进行计算即可。【详解】表面积：（31.5311.51）2（1.51）21（4.531.5）22.52192511852

17、3（m2）体积：31.51111.54.5111.54.51.56（m3）11120cm3【分析】水面上升的体积就是铁块的体积，长方体容器的长宽上升的水的高度铁块体积，据此列式计算。【详解】108（9.58）801.5120（cm3）1225m3；512cm3【分析】根据长方体的体积公式：Vabh，正方体的体积公式：Va3，据此代入数值进行计算即可。【详解】55125125（m3）888648512（cm3）13（1）面积：310平方厘米，体积：300立方厘米（2）面积：150平方厘米，体积：109立方厘米【分析】（1）图形是长方体，表面积（长宽长高宽高）2，体积长宽高，将数据代入公式计算即可

18、；（2）把图形缺口处露出来的3个面向外平移，正好补全缺口，这样图形的表面积就是正方体的表面积；根据正方体的表面积棱长棱长6，代入数据计算即可求出图形的表面积；把图形的缺口处补上，补成一个完整的正方体，那么图形的体积正方体的体积小长方体的体积；根据正方体的体积棱长棱长棱长，小长方体的体积长宽高，代入数据计算即可。【详解】（1）表面积：（15415545）2（607520）21552310（平方厘米）体积：1545605300（立方厘米）（2）表面积：556256150（平方厘米）体积：5554222558212516109（立方厘米）14484平方厘米【分析】根据长方体的表面积（长宽长高宽高）2

19、，代入数据进行解答即可。【详解】（平方厘米）这个长方体的表面积为484平方厘米。1590dm2，50dm3；104cm2，60cm3【分析】长方体表面积（长宽长高宽高）2，长方体体积长宽高；组合体表面积完整的大长方体表面积两个边长2cm的正方形面积，组合体体积大长方体体积小长方体体积，长方体体积长宽高。【详解】（252555）2（101025）245290（dm2）25550（dm3）（444545）2222（162020）2856281128104（cm2）445225802060（cm3）16体积2445，表面积1220【分析】长方体体积长宽高，长方体表面积（长宽长高宽高）2。据此，先分别

20、列式求出上下两个长方体的体积，再相加即可求出组合体的体积；先分别求出上下两个长方体的表面积，再相加，将和减去两个相接面的面积，即可求出组合体的表面积。【详解】体积：335208154524002445表面积：（333535）2（2082015815）2332（91515）2（160300120）21839258021878116018122017150平方厘米；99立方厘米【分析】正方体和长方体叠加在一起后，组合图形的表面积会减少两个正方形的面积，利用正方体、长方体的表面积公式，求出两个图形的表面积之和，再减去两个（33）的面积，即可求出组合图形的表面积；根据正方体、长方体的体积公式，分别求出

21、两个图形的体积，再相加即是组合图形的体积。【详解】3368328323323325448481818150（平方厘米）333833277299（立方厘米）即图形的表面积是150平方厘米，体积是99立方厘米。18表面积是156平方厘米；体积是104立方厘米【分析】观察题意可知，物体从前面看由一个边长为4厘米的正方形和一个长5厘米、宽2厘米的长方形，从左面看是一个边长为4厘米的正方形，从上面看是一个长为（45）厘米、宽为4厘米的长方形，根据正方形和长方形的面积公式，用（4452）2即可求出物体前后面的面积和，用442即可求出左右面的面积和，用（45）42即可求出上下面的面积和，然后将6个面相加即可

22、求出物体的表面积；再根据正方体的体积棱长棱长棱长，长方体的体积长宽高，用444542即可求出物体的体积。【详解】前后面的面积和：（4452）2（1610）226252（平方厘米）左右面的面积和：44232（平方厘米）上下面的面积和：（45）4294272（平方厘米）523272156（平方厘米）4445426440104（立方厘米）物体的表面积是156平方厘米，体积是104立方厘米。19（1）88dm2；44dm3；（2）右边图形：150dm2；125dm3【分析】（1）观察第一个立体图形，这个图形的表面积等于下方长方体的表面积加上上方正方体的4个面的面积，根据长方体的表面积公式：S（abah

23、bh）2，据此进行计算即可；该图形的体积等于下方长方体的体积加上上方正方体的体积，根据长方体的体积公式：Vabh，正方体的体积公式：Va3，据此计算即可；（2）观察第二个立体图形，根据正方体的表面积公式：S6a2，正方体的体积公式：Va3，据此进行计算即可。【详解】（1）表面积：（636232）2224（18126）21636216721688（dm2）体积：6322221824236844（dm3）（2）表面积：556256150（dm2）体积：555255125（dm3）20体积是125立方厘米；表面积是150平方厘米【分析】根据正方体的体积棱长棱长棱长，正方体的表面积棱长棱长6，代入数据

24、计算求解。【详解】体积：555125（立方厘米）表面积：556150（平方厘米）正方体体积是125立方厘米；表面积是150平方厘米。21表面积是1140平方厘米；体积是1325立方厘米【分析】在长方体上面放一个小正方体，表面积比原来的长方体多了4个小正方形面的面积，每个正方形的边长是5厘米，根据长方体的表面积公式，用（2020203203）2即可求出原来长方体的表面积，再加上4个正方形面的面积，也就是554，即可求出这个立体图形的表面积；根据长方体的体积公式和正方体的体积公式，用20203555即可求出这个立体图形的体积。【详解】（2020203203）2554（4006060）2554520

25、255410401001140（平方厘米）立体图形的表面积是1140平方厘米。2020355512001251325（立方厘米）立体图形的体积是1325立方厘米。22表面积是200平方厘米；体积是147立方厘米【分析】看图可知，此图由一个长方体以及一个正方体组合而成，根据：长方体的表面积公式：2，求出一个长方体的表面积以及一个正方体四个面的面积，即可算出整个图形的表面积；根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，即可求出图形的体积。【详解】长方体表面积：2（10310434）2（304012）282164（平方厘米）正方体四个面的面积：3349436（平方厘米）图形表面积：16436200（

26、平方厘米）长方体体积：1034304120（立方厘米）正方体体积：3339327（立方厘米）图形体积：12027147（立方厘米）23（1）260立方厘米；（2）187立方厘米【分析】（1）长方体体积长宽高；（2）组合体的体积长方体体积正方体体积，正方体体积棱长棱长棱长，据此列式计算。【详解】（1）1354260（立方厘米）（2）84533316027187（立方厘米）24150；109【分析】由图可知：在正方体的顶点处去掉一个小长方体，虽然体积减少了，但是表面积不变。根据正方体的表面积公式：S6a2，体积公式：Va3，长方体的体积公式：Vabh，把数据分别代入公式解答即可。【详解】25615

27、0（）255125（）8216（）V：12516109（）故立体图形的表面积是150，体积是109。【点睛】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。25160dm2，128dm3；406cm2；489cm3【分析】（1）根据长方体的表面积（长宽长高宽高）2，长方体的体积长宽高，代入数据计算即可；（2）从图中可知，正方体与长方体有重合部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面，这样长方体的表面积是完整的，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；组合图形的表面积长方体的表面积正方体4个面的面积；组合图形的体积长方体的体积正方体的体积；根据长方体的表面积（长宽长高宽高）2，正方体4个面的面积棱长棱长4，长方体的体积长宽高，正方体的体积棱长棱长棱长，代入数据计算即可。【详解】（1）（848444）2（323216）2802160（dm2）844324128（dm3）（2）334（11611767）294（667742）236185236370406（cm2）33311679366727462489（cm3）