专题1-1 基本不等式归类（原卷版）.docx

1、专题1-1 基本不等式归类 目录题型01 公式基础1题型02 基础模型：倒数型2题型03 常数代换型3题型04 积与和型4题型05 积与和互化解不等式型4题型06 构造分母和定型5题型07 凑配系数构造分母和定型5题型08 换元构造分母和定型6题型09 分子与分母互消型7题型10 “1”代换综合型7题型11 分子消去型8题型12 消元型8题型13 齐次化构造型9题型14 三角换元构造型9题型15 因式分解双换元型10题型16 配方型11高考练场11 题型01 公式基础 【解题攻略】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的

2、最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【典例1-1】（2020广东普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（）A B C D 【典例1-2】（2021秋山东日照高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，bR，下列不等式一定成立的是（）ABCD2【变式1-1】（2021高三阶段测试）下列说法不正确的是（）Ax(x0)的最小值是2B的最小值是2C的最小值是D若x0，则23x的最大值是24【变

3、式1-2】（2023全国高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（）A若，则B若x0，y0，则C若x0，则D若x0，则【变式1-3】（2022秋广东高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是的是（）ABCD题型02 基础模型：倒数型 【解题攻略】 倒数型：，或者容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，【典例1-1】（2022浙江杭州杭州高级中学校考模拟预测）已知且，则的取值范围是（）ABCD【典例1-2】（2020下浙江衢州高三统考）已知的面积为，则的最小值为（）ABCD【变式1-1】（2021上全国高三校联考阶段练习）已知，则的取值范围是（）ABCD【变式1-2】（2020上河南

4、高三校联考阶段练习）函数的最小值为（）ABCD【变式1-3】（2022上上海徐汇高三上海市第二中学校考阶段练习）若(x,)最大值记为,则的最小值为A0BCD题型03 常数代换型 【解题攻略】利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换（1） 条件和结论有“分子分母”特征；（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件结构形式：（1）求（2）求【典例1-1】（2023江西校联考一模）已知，是正实数，且，则最小值为 .【典例1-2】（2019上山东潍坊寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（）A10B11C13D21【

5、变式1-1】（2023上上海徐汇高三上海市第二中学校考期中）已知，则的最小值为 【变式1-2】（2023下湖南株洲统考）设正实数满足，则的最小值为 .【变式1-3】（2023上上海松江高三校考）已知，且，则取得最小值时的值是 .题型04 积与和型 【解题攻略】 积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解【典例1-1】（2021全国高三测试）已知，且，则当取得最小值时，（）A16B6C18D12【典例1-2】（2021湖南岳阳高三联考）已知，且，则的最小值是（）ABCD【变式1-1】(2020重庆市暨华中学校高三阶段）已知，且，则的

6、最小值为（）ABCD【变式1-2】（2021山东威海高三校考）若，且，则的最小值为（）A18B15C20D13【变式1-3】（2022全国高三一专题练习）已知，则的最小值为（）A2B3CD题型05 积与和互化解不等式型 【解题攻略】 积与和型，如果满足有和有积有常数，则可以转化为解不等式型。形形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：【典例1-1】（2022秋云南校联考阶段练习）已知正数、满足，则的最大值为（）ABCD【典例1-2】（2023春贵州高三校联考阶段练习）已知，则的最大值为（）A1B2CD4【变式1-1】（2022秋广东深圳高三深圳外

7、国语学校校考期末）已知曲线，则的最大值为（）ABCD【变式1-2】（2021重庆市实验中学高一阶段练习）设，则ab的最小值是（）A4B9C16D25【变式1-3】（2021安徽霍邱县第一中学高一阶段练习）若，且，则的取值范围（）A BCDB题型06 构造分母和定型 【解题攻略】 对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。【典例1-1】（2022上福建福州高三福建省福州第一中学校考）若三个正数满足，则的最小值为 .【典例1-2】（2023全国高三专题练习）已知，且，那么的最小值为（）AB2CD4【变式1-1】（2022秋安

8、徽芜湖高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（）A0B1C2D4【变式1-2】（2023浙江统考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（）ABCD【变式1-3】（2022上山东高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值为 .题型07 凑配系数构造分母和定型 【解题攻略】 对于分数型求最值，如果复合pa+qb=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代换来求解。其中结合所给与所求a、b的系数，可以任意调换，来进行变换凑配。【典例1-1】（2023全国高三题练习）已知，且，则的最小值为 .【典例1-2】（2023秋全国高三专题练习）已知且，若恒成立，

9、则实数的范围是 【变式1-1】（2023全国高三专题练习）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 【变式1-2】（2023全国高三专题练习）若三个正数满足，则的最小值为 .【变式1-3】（2021三课时练习）已知，则的最小值为 .题型08 换元构造分母和定型 【解题攻略】 换元型构造分母和定型： 形如型，则可以 通过换元分母，再利用“1”的代换来求解。【典例1-1】（2023吉林长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的小值为 【典例1-2】（2023全国高三专题练习）已知且，则的最小值为 .【变式1-1】（2023全国高三专题练习）已知，若，则的最小值是 .【变式1-2】（2023全国

10、高三专题练习）已知正数满足，则的最小值为 .题型09 分子与分母互消型【解题攻略】满足 一般情况下可以通过“万能K法”转化求解设K法的三个步骤：、问谁设谁：求谁，谁就是K；、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），0确定最值【典例1-1】（2021秋高三单元测试）已知正数，满足，则的最小值是 .【典例1-2】（2022全国高三专题练习）已知正数，满足，则的最大值是 .【变式1-1】（2023全国高三专题练习）已知为正数，且，则的最大值为 【变式1-2】（2023全国高三专题练习）已知，若，则的最小值是（）A8B7C6D5【变式1-3】（2

11、023全国高三专题练习）已知正实数，满足，则的最大值为（）AB1C2D9题型10 “1”代换综合型 【典例1-1】（2022上辽宁大连大连二十四中校考）已知且，则的最小值等于 .【典例1-2】（2021上重庆沙坪坝高三重庆市第七中学校校考）若实数，满足等式，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 .【变式1-1】（2020上上海徐汇高三上海中学校考）已知实数满足且，若，则的最小值是 【变式1-2】（2020江苏苏州吴江盛泽中学模拟预测）已知，且，则的最小值为 题型11 分子消去型 【解题攻略】 对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数

12、代换或者分式型分母和定来求解【典例1-1】（2020江苏省震泽中学高三阶段练习）若，则的最小值为 （）ABCD【典例1-2】（2022秋辽宁沈阳高三校联考阶段练习）已知，则的最小值为（）A2B4CD【变式1-1】（2022春广东韶关高三校考阶段练习）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（）A1B6C7D【变式1-2】（2023春重庆高三校联考期中）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（）ABCD【变式1-3】（2022春湖北襄阳高三襄阳五中校考期中）已知正实数满足，则的最小值为（）A10B11C13D21题型12 消元型 【解题攻略】 消元型：对于双变量型不等式求最值，如

13、果不符合常见的转化方法，可以通过反解代入消元，转化为单变量型不等式求最值。【典例1-1】（2023全国高三专题练习）若正实数x，y满足x2yxy7，则xy的最小值为（）A6B5C4D3【典例1-2】（2023全国高三专题练习）已知，则的最小值是（）A14BC8D【变式1-1】（2023秋海南海口高三校考开学考试）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A2BCD6【变式1-2】（2023春河北承德高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）若，且，则的最小值为 【变式1-3】（2022全国高三专题练习）已知正实数、满足，则的最小值是 .题型13 齐次化构造型 【解题攻略】 齐次化构造型：一般情况下，分式

14、分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解【典例1-1】（2023春天津河西高二统考期末）已知，则的最小值是（）ABCD【典例1-2】（2022秋湖北黄石高一期中）已知x，y为正实数，则的最小值为（）A4B5C6D8【变式1-1】若a，b均为正实数，则的最大值为ABCD2【变式1-2】函数的最大值为（ ）A.B.C.D.【变式1-3】已知，则的最大值是 【变式1-4】若实数满足，且，则的最大值为_.题型14 三角换元构造型 【解题攻略】 一般情况下，复合或者能转化为型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算

15、求解最值【典例1-1】（2023春四川宜宾高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（）ABCD【典例1-2】（2022全国高三专题练习）已知，则的最大值是（）ABC0D【变式1-1】（2022全国高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为 【变式1-2】（2022全国高三专题练习）已知，则的最小值为 .【变式1-3】（2023四川成都成都七中校考模拟预测）已知实数a，b，c满足a2b2c2，c0，则的取值范围为 题型15 因式分解双换元型 【解题攻略】 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可

16、能就符合因式分解原理2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）【典例1-1】（2022秋浙江温州高三校考阶段练习）已知，且，则的最大值为（）A2BCD【典例1-2】（2023全国高三专题练习）已知，且，则的最小值为（）AB1CD【变式1-1】（2021江苏高三月考）若a,bR，且a2+2ab-3b2=1，则a2+b2的最小值为_【变式1-2】（2023春四川宜宾高二校考阶段练习）已知，则的最小值为（）ABCD【变式1-3】（2022全国高三专题练习）已知且满足，则的最小值是 .题型16 配方型 【典例1-1】（2023全国高三专题练习）已知a，且，则的最大值为（）A2B3CD

17、【典例1-2】（2023全国高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最大值为（）ABCD2【变式1-1】（2023全国高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（）ABCD【变式1-2】（2022全国高三专题练习）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（）A40BC42D【变式1-3】（2022秋河北保定高一校联考阶段练习）设，若，则的最大值为 高考练场1.（2020秋浙江绍兴高三校考阶段练习）给出下面四个推导过程：a，b为正实数，；x，y为正实数，；，；，其中正确的推导为（）ABCD2.（2021上湖北武汉高三统考）函数在区间上（）A有最大值为，最小值为0B有最大值

18、为，最小值为0C有最大值为，无最小值D有最大值为，无最小值3.（2023上新疆乌鲁木齐高三新疆实验校考）设x，y均为正数，且，则的最小值为 4.（2022山东薛城区教育局教学研究室）已知，且，则的最小值为（）A3B4C6D95.（2022上江西抚州高三临川一中校考阶段练习）已知，则的最小值为 .6.（2022上湖北恩施恩施市第一中学校考阶段练习）已知，且，则的最小值为 .7.（2023全国高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是 8.（2020全国高三专题练习）已知正实数、满足，且，则的最小值为 .9.（2023全国高三专题练习）已知、，且，则的取值范围是 .10.（2022重庆校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为 .11.（2022秋贵州毕节高三统考）已知，且，则的最小值为（）A4BCD512.（2023春天津和平高三统考）已知，则的最小值是 13.（2023高三单元测试）函数的最大值是（）A2BCD14.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .15.（2023秋全国高三专题练习）若实数满足，则的最大值为 .