专题1-2 基本不等式的三种高频考点题型归类（讲义）解析版.docx

1、专题1-2 基本不等式的三种高频考点题型归类01专题网络思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）02考情分析解密高考03高频考点以考定法（五大命题方向+6道高考预测试题，高考必考（4-8）分）考点一 基本不等式 命题点 基本不等式及其应用 高考猜题考点二 不等式的性质 命题点 不等关系与不等式 高考猜题考点三 绝对值不等式 命题点 绝对值不等式的解法 高考猜题04创新好题分层训练（ 精选22道最新名校模拟试题+21道易错提升）真题多维细目表考点考向考题基本不等式基本不等式及其应用2024年春考第6题2023年春考第6题不等式的性质不等关系与不等式2024年春考第13题绝对值不等式绝对值不等式

2、的解法2023年秋考第1题2023年春考第3题考点一 基本不等式 命题点 基本不等式及其应用典例01 （2024上海）已知，的最小值为 12【分析】由已知结合基本不等式即可求解【解答】解：由，当且仅当，即或时取最小值12，所以的最小值为12故答案为：12【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题典例02 （2023上海）已知正实数、满足，则的最大值为 【分析】直接利用基本不等式求出结果【解答】解：正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立故答案为：【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题考点二 不等式的性质命题点 不等关系与不

3、等式 典例01 （2024上海），下列不等式恒成立的是ABCD【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解【解答】解：对于，若，则，选项不成立，故错误；对于，由不等式的可加性可知，故正确对于、，若，则选项不成立，故、错误故选：【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题考点三 绝对值不等式命题点 绝对值不等式的解法典例01 （2023上海）不等式的解集为 【分析】原不等式可化为，从而求出的范围【解答】解：由可得，解得，即不等式的解集为故答案为：【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题典例02（2023上海）不等式的解集为：，（结果用集合或区间表示）【分析】运用，不

4、等式即为，解出即可【解答】解：不等式即为，即为，则解集为，故答案为：，【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于基础题 （精选22道最新名校模拟考试题+21道易错提升）A新题速递一、填空题1（2023上海虹口上海市复兴高级中学校考模拟预测）不等式的解集为 .【答案】【分析】利用零点分段法，分三种情况进行求解，得到答案.【详解】，当时，解得，故解集为，当时，解集为，当时，解得，故解集为，综上：不等式的解集为.故答案为：2（2023上海金山统考二模）已知正实数满足,则的最小值为 .【答案】【分析】因为，展开利用基本不等式求解即可.【详解】因为正实数满足,所以,当且仅当即时等号成立,所以

5、的最小值为.故答案为:.3（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）设关于的不等式的解集为，则 .【答案】【分析】根据一元二次不等式与方程的关系求解.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以一元二次方程的两个根为，所以根据韦达定理可得，解得，所以，故答案为: .4（2023上海浦东新华师大二附中校考三模）已知集合，集合，则 .【答案】【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】，或，所以.故答案为：5（2023上海普陀曹杨二中校考模拟预测）不等式的解集是 【答案】【分析】把分式不等式转化为，从而可解不等式.【详解】因为，所以，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：6（2023上海徐汇

6、上海市南洋模范中学校考三模）设集合，则 .【答案】【分析】确定，再计算交集得到答案.【详解】，故.故答案为：.7（2023上海金山上海市金山中学校考模拟预测）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为 【答案】8【分析】由题意可得化简得，所以，利用基本不等式即可求解【详解】因为不等式的解集为，则，因为，所以，当且仅当，即时，取到等号故答案为：88（2023上海徐汇统考二模）命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是 .【答案】【分析】由解得或，则能推出或成立，即可得出实数的取值范围.【详解】由可得：，解得：或，“若，则”是真命题，则能推出或成立，则.故实数的取值范围是.故答案为：9（2023上海崇明

7、上海市崇明中学校考模拟预测）若集合，则 .【答案】【分析】分别求出集合，由交集的定义即可得出答案.【详解】或，.故答案为：.10（2023上海徐汇位育中学校考模拟预测）已知集合，集合，则 【答案】/【分析】首先解分式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，等价于，解得或，所以，又，所以.故答案为：11（2023上海徐汇上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数，其中，若曲线在处的切线斜率为1，则的最小值为 【答案】/【分析】根据导数的几何意义可得，再结合基本不等式运算求解.【详解】因为的定义域为，且，由题意可得：，又因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.12（

8、2023上海黄浦格致中学校考三模）若全集为，集合，则 【答案】【分析】先求出集合，再求出，再利用集合的运算即可得出结果.【详解】因为，由，得到，即，又，易知，所以，所以，故答案为：13（2023上海奉贤上海市奉贤中学校考三模）如图：已知ABC中，边长为1的正方形DEFG为ABC的内接正方形，则的最小值为 【答案】【分析】过点作，利用三角形相似得，再利用基本不等式即可得到最值.【详解】过点作，设，显然，因为，所以，所以，同理，所以，得，即，则，因为，则，所以，当且仅当，即，故答案为：.14（2023上海上海市七宝中学校考模拟预测）在中，角、所对的边分别为、，的平分线交于，若，则的最小值为 .【答

9、案】/【分析】利用可得出，然后将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，的平分线交于，且，由，即，整理可得，所以，因此，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.15（2023上海宝山上海交大附中校考三模）不等式的解集为 .【答案】【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于，解得或,故答案为：.16（2023上海虹口华东师范大学第一附属中学校考三模）若关于x的不等式的解集，则实数的取值范围是 【答案】【分析】不等式转换为对任意的，都有不等式恒成立，则按照绝对值不等式即可求得实数的取值范围.【详解】关于x的不等式的解集，则对任

10、意的，都有不等式恒成立此时，故原不等式化为，故，则对任意的成立，故实数的取值范围是.故答案为：.17（2023上海虹口华东师范大学第一附属中学校考三模）已知平面向量满足，则的取值范围是 【答案】【分析】不妨设，则，得到，结合绝对值三角不等式，即可求解.【详解】不妨设，则，由，可得，则，所以的取值范围是.故答案为：.18（2023上海统考模拟预测）不等式的解集是 .【答案】或【分析】分别在，时去分母，化简不等式求其解.【详解】因为，所以当时，解得，所以，当时，解得，所以，当时，解得，满足条件的不存在，所以不等式的解集是或，故答案为：或.19（2023上海浦东新华师大二附中校考模拟预测）不等式的解

11、集是 【答案】【分析】移项通分得，即，再利用穿根法即可得到答案.【详解】，即，即，则，根据穿根法解得，故答案为：.20（2023上海黄浦格致中学校考三模）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 【答案】【分析】构造，利用函数的性质，将问题转化成在上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果.【详解】因为关于x的不等式的解集是，所以在上恒成立，令，易知为偶函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，当时，由，得到，当时，由，得到，又因为，当且仅当时取等号，所以，综上，实数的取值范围为.故答案为：.21（2023上海崇明统考一模）已知正实数满足，则当取得最小值时， 【答案】【分析】将转

12、化为与两点间距离的平方，进而转化为与圆心的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【详解】可将转化为与两点间距离的平方，由，得，而表示以为圆心，1为半径的圆，为圆上一点，则与圆心的距离为：，当且仅当，即时等号成立，此时与圆心的距离最小，即与两点间距离的平方最小，即取得最小值.当时，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆上的点到上的点的距离的最小值的求解问题，进而求解.22（2023上海黄浦统考二模）已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为 【答案】【分析】首先利用不等式求得，通过减少变量得，再利用导数求出其值域即可.【详解】由题意得，由得,得,所以

13、,令，当时，此时在和上单调递增，当时，此时在单调递减，所以的极大值为，的极小值为，又因为，则的取值范围为.故答案为：.B易错提升一选择题（共4小题）1（2023秋浦东新区校级月考）已知，且，下列不等式中成立的是ABCD【分析】根据和，有，从而得到，再不等式的基本性质，可得到结论【解答】解：，由得：故选：【点评】本题主要考查不等式的放缩及不等式的基本性质的灵活运用，属基础题2（2023秋青浦区校级月考）如果，那么下列不等式成立的是ABCD【分析】利用不等式的基本性质即可得出【解答】解：对于：由，得：，故错误；对于：若，则，故正确；对于：由，两边同除以得：，即，故错误；对于，故错误；故选：【点评】

14、本题考查了不等式的基本性质，属于基础题3（2023秋浦东新区校级期中）已知、是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】根据充分条件与必要条件的定义、一元二次不等式的解法以及集合并集的运算进行分析求解即可【解答】解：当时，若，则，此时，所以；当，时，此时，所以，所以“”是“”的充分条件；当时，若，此时，当时，不满足题意，当时，符合题意，此时；若，此时，当时，不符合题意；当时，满足题意，此时；所以“”是“”的必要条件综上所述，“”是“”的充要条件故选：【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，一元二次不等式的

15、解法，集合之间关系的运用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是基础题4（2023秋徐汇区校级期中）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则ABCD【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为 ，考查解集端点的范围，解出的取值范围【解答】解：关于 的不等式即， 的解集中的整数恰有3个，不等式的解集为 ，所以解集里的整数是，0 三个，综上，故选：【点评】本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根二填空题（共11小题）5（2022浦东新区校级二模）不等式的解集为，【分析】首先移项通分，等价变形为整式不等式解之【解答】解：原

16、不等式等价于，即，所以不等式的解集为，；故答案为：，【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是正确转化为整式不等式解之6（2022浦东新区校级模拟）不等式的解集是 ，【分析】通过作差化简，从而转化为整式不等式，从而解得【解答】解：，即，即，故答案为：，【点评】本题考查了分式不等式的解法，考查了转化思想的应用，注意分式不等式应通过作差转化为整式不等式求解是基础题7（2023秋杨浦区校级月考）用函数的观点：不等式的解集为 【分析】根据函数是定义域的单调增函数，且，由此求出不等式的解集【解答】解：因为函数，是定义域的单调增函数，且，所以不等式的解集为故答案为：【点评】本题考查了利用函数的单调性求不等

17、式解集的问题，是基础题8（2022秋虹口区期末）对于正实数，代数式的最小值为 4【分析】利用基本不等式直接计算即可，注意取等号的条件【解答】解：因为，故，当且仅当时取等号故答案为：4【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题9（2023杨浦区二模）由函数的观点，不等式的解集是 【分析】不等式化为，在同一坐标系内画出和的图象，利用函数的图象求出不等式的解集【解答】解：不等式可化为，在同一坐标系内画出和的图象，如图所示：由，得，所以由函数的观点知，不等式的解集是，故答案为：，【点评】本题考查了函数的图象与性质应用问题，也考查了不等式解法与应用问题，是基础题10（2023秋普陀区校级期中）设，若是

18、与的等比中项，则的最小值是4【分析】先根据等比中项的性质求得的值，进而利用基本不等式取得的最大值，把化简整理，根据的范围，求得答案【解答】解：是与的等比中项（当时等号成立）故答案为：4【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用使用基本不等式时要注意等号成立的条件11（2023秋浦东新区校级月考）不等式的解集是【分析】由对数函数的单调性，不等式，即有，解得即可【解答】解：不等式即为，即有，解得，则解集为故答案为：【点评】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题12（2023秋浦东新区校级月考）要使关于的不等式恰好只有一个解，则【分析】配方后得

19、到，由此求出答案【解答】解：因为，即恰有一个解，所以，解得故答案为：【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题13（2022秋青浦区期末）不等式的解集为 【分析】两边化同底，然后利用指数函数的单调性求解【解答】解：可化为：，因为是增函数，故，即，解得，故原不等式的解集为故答案为：【点评】本题考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题14（2023秋静安区校级期中）设、，若，则的最大值为 1【分析】由化简得，再由基本不等式可得，从而可得，从而确定最大值【解答】解：，故的最大值为3，当且仅当时，等号成立，故，故的最大值为1，故答案为：1【点评】本题考查了对数式与指数式的互化，对数

20、函数的单调性及基本不等式在求最值中的应用，同时考查了整体思想与转化思想的应用，属于中档题15（2023春宝山区校级期中）函数的最小值是【分析】将函数化为，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，的取值要一致，即可得到所求最小值【解答】解：函数当且仅当，即有，取得等号则函数的最小值为故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题三解答题（共6小题）16（2023秋普陀区校级期中）关于的不等式的解集为（1）若，求正整数的取值范围；（2）若为全体实数，求实数的取值范围【分析】（1）把代入原不等式，求出正整数的取值范围；（2）讨

21、论二次项系数为0时以及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范围【解答】解：（1）当时，不等式化为，即，解得，正整数的取值范围是，2，3，（2）当时，解得或，当时，原不等式化为，对任意实数恒成立；当时，原不等式化为，解集不是全体实数，舍去当时，若，则，解得，综上，实数的取值范围是【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题17（2023秋普陀区校级期中）解关于的不等式【分析】不等式化为，讨论的取值情况，即可求出不等式的解集【解答】解：不等式可化为，即，当，即时，不等式化为，解得；当，即时，解不等式得；当，即时，解不等式得；综上知，时，不等式的解集为；时，不等式的解

22、集为；时，不等式的解集为【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题18（2023秋闵行区校级期中）已知关于的不等式：（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求不等式的解集；（3）命题：若二次不等式的解集为空集，命题对任意实数都成立，若，中至少有一个真命题，求实数的取值范围【分析】（1）时，不等式为，求解即可；（2）不等式化为，讨论时和时，求不等式的解集即可；（3）求出命题、命题为真命题时的取值范围，再根据，中至少有一个真命题时，求出实数的取值范围【解答】解：（1）时，不等式为，即，解得或，所以不等式的解集为或；（2）不等式可化为，当时，不等式为，解得，当时，不等式

23、为，若，则，不等式为，无解；若，则，解不等式，得；若，则，解不等式，得；综上，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为；（3）命题：若二次不等式的解集为空集，则，解得；命题对任意实数都成立，则，解得，所以，中至少有一个真命题时，实数的取值范围是【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题19（2023秋浦东新区校级期中）解关于的不等式【分析】对分类：，分别解不等式，求解取交集即可【解答】解：原不等式变形为时，；时，不等式即为，当时，或；由于，于是当时，；当时，；当时，综上，当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，【点评】本题考查

24、不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题20（2023秋浦东新区校级月考）已知关于的不等式的解集为（1）若，求的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果（2）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范围（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可【解答】解：（1）当时，不等式为，即，解得，所以的取值范围是（2）当时，解得，或，当时，不等式化为，所以时，不等式的解集为；当时，不等式化为，对任意实数不等式

25、不成立；当时，解得，所以的取值范围是，；综上所述，实数的取值范围是，（3）根据题意，得出解集，当时，解得，或，时，不等式的解集为，满足条件，时，恒成立，不满足条件，当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件，综上，存在满足条件的值为5【点评】本题考查了解含有字母系数的不等式应用问题，也考查了转化思想，是中档题21（2023春浦东新区校级期末）设函数（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）当时，对任意的，都有成立，求实数的取值范围【分析】（1）根据二次函数的性质求出，的值，解不等式求出其解集即可；（2）问题转化为，设，则，从而求出的范围即可【解答】解：（1）不等式的解集是，是方程的解，由韦达定理得：，故不等式为，解不等式，得其解集为或（2）据题意，恒成立，则可转化为，设，则，关于递减，所以，【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道中档题