专题1.1 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

1、专题1.1 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】有理数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 【知识点2】数轴数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线要点说明：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大【知识点3】相反数相反数定义：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0 要点说明：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数

2、若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负【知识点4】绝对值（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 数a的绝对值记作 （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离【知识点5】有理数的大小比较比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：先求出两个数负数的绝对值； 比较两个绝对值的大小； 根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。【考点一】有理数的分类【例1】（2023秋全国七年级专题练习）把下列各数填入相应的集合里（1）正数集合：；（2）负数集合：；（3）非负整数集合：；（4）分数集

3、合：【答案】（1）；（2）；（3）0，2006；（4）【分析】按照有理数的分类即可求出答案，其中非负整数包括正整数和0解：（1）正数包括：，故答案为：；（2）负数包括：，故答案为：；（3）非负整数包括：0，2006，故答案为：0，2006；（4）分数包括：，故答案为：【点拨】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数分类，其中大于0的数叫正数，在正数前面加“”的数叫负数，非负整数包括正整数和0，分数包括正分数和负分数【举一反三】【变式1】（2023秋全国七年级专题练习）如图，一名跳水运动员参加跳台的跳水比赛（跳台是指跳台离水面的高度为），这名运动员举高手臂时身长为，跳水池池深为（规定向上

4、为正）（1）若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及池底的深度分别如何表示？（2）若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？【答案】（1）这名运动员指尖的高度为，池底的深度为；（2）池底的深度为，水面的高度为【分析】（1）利用正数和负数的意义来表示；（2）利用正数和负数的意义来表示（1）解：（米）以水面为基准，这名运动员指尖的高度为，池底的深度为；（2）解：（米）以跳台为基准，池底的深度为，水面的高度为【点拨】本题考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示【变式2】（20

5、23秋全国七年级专题练习）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况：班级1班2班3班4班实际购书量（本）a32c22实际购书量与计划购书量的差值（本）b（1）直接写出_， _；（2）根据记录的数据可知4个班实际购书共_本；（3）书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为，进而可把表格补充完整；（2）把每班实际数量相加即可；（3）根据

6、已知求出总费用即可解：（1）由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本，一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本，故答案依次为：，（2）4个班一共购入数量为：本，故答案为：（3），如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买，最低总花费为：元【点拨】本题考查了正负数的应用在生活实际中利用正负数的计算能力，并通过相关运算来比较大小，进而得出最佳方案；正确理解正负数的意义是解题的关键【考点二】数轴【例2】（2022秋山东泰安六年级校考期中）如图所示，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别为 ，试回答下列问题（1）A、C两点间的距离是_；（2

7、）若E点到B点的距离是8，则E点表示的数是_；（3）若将数轴折叠，使A点与C点重合，则点B与数_对应的点重合【答案】（1）5；（2）6或；（3）1【分析】（1）由两点间距离公式可求；（2）分两种情况，左右两侧分别计算；（3）由折叠可求得折叠点对应的数为，进一步求得与点B对应的点（1）解：A、C两点间的距离是；（2）解：点E在B左侧，则E点表示的数是；点E在B右侧，则E点表示的数是；则E点表示的数是6或（3）解：使A点与C点重合，则折叠点表示的数为，故与点B重合的点表示的数为：.【点拨】本题考查数轴上的点表示数，数轴上两点间距离，数轴的折叠问题；理解数轴上两点间距离计算方法是解题的关键【举一反三

8、】【变式1】（2023春黑龙江哈尔滨六年级校考阶段练习）在数轴上表示下列各数：，再把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来【答案】【分析】先在数轴上表示这些数，再根据“数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数”依次用小于号连接即可解：在数轴上表示这些数如下：这些数按从小到大的顺序用“”连接起来为：【点拨】本题考查利用数轴比较有理数的大小，掌握描点和“数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数”是解题的关键【变式2】（2022秋河北邯郸七年级校考期中）数学魔术：如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示，0，4，请回答下列问题（1）在数轴上描出A，B，C，D四个点，用“”将4个数按照从小到大的顺序连

9、接；（2）B，C两点间的距离是多少？A，D两点间的距离是多少？（3）点A，B，C，D的位置不动，现在把数轴的原点取在点B处，其余都不变，那么点A，B，C，D分别表示什么数？【答案】（1）描点见详解图，；（2），；（3）：，：，：，：【分析】（1）在数轴上表示出点，再根据数轴进行大小比较，即可求解；（2）数轴上两点间的距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，据此即可求解；（3）可得把数轴的原点取在点B处，就是在原数轴上将各点向右平移个单位，再由数轴上点的平移规律：“左减右加”即可求解（1）解：如图所以由数轴得：（2）解：B，C两点间的距离：，A，D两点间的距离：（3）解：因为把数轴的原点取在点B

10、处，所以就是在原数轴上将各点向右平移个单位，所以平移后各点表示的数：，：，：，：，所以：，：，：，：【点拨】本题主要考查了数轴上点的表示，有理数大小比较，数轴上两点间的距离，数轴上点的平移，掌握两点间的距离求法及平移规律是解题的关键【变式3】（2022秋江西萍乡七年级统考期中）某牛奶厂在一条东西走向的大街上设有四家特约经销店店位于店的西面3千米处；店位于店的东面1千米处，店在店的东面2千米处（1）请以为原点，向东的方向为正方向，1个单位长度表示1千米，画一条数轴，你能在数轴上分别表示出的位置吗？（2）牛奶厂的送货车从店出发，要把一车牛奶分别送到三家经销店，那么送货车走的最短路程是多少千米？【答

11、案】（1）见分析；（2）7千米【分析】（1）以点所在的位置为原点，向右为正方向，1个单位长度代表1千米，即可作出数轴；（2）根据数轴得到线路为：，进行计算即可确定最短路程解：（1）能，如图所示：（2）解：依题意得：线路为：，最短路程为：（千米），答：送货车走的最短路程是7千米【点拨】本题主要考查了数轴，数形结合是解题的关键【考点三】相反数【例3】（2022秋全国七年级专题练习）有理数：，（1）将上面各数在数轴上表示出来，并把这些数用“连接（2）在上面的数中是否有相反数？若有，请写出来【答案】（1）作图见分析，；（2）有相反数，、互为相反数【分析】（1）根据数轴的性质作图，即可得到答案；（2）根

12、据数轴和相反数的性质分析，即可得到答案解：（1）数轴表示如下：；（2）根据（1）的结论，得、到原点的距离相等，符号相反、互为相反数【点拨】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、有理数大小比较、相反数的性质，从而完成求解【举一反三】【变式1】（2018秋七年级课时练习）（1）如果一个数是-10,它的相反数是a,那么a-10的相反数是多少?（2）已知-（+x）=8,求x的相反数.【答案】（1）0；（2）-8.【分析】（1）先根据相反数的意义求出a=10，再计算a-10的值，最后求出其相反数即可；（2）根据已知条件求出x的值，即可解决问题.解：（1）a=-（-10）=10,a-10=10

13、-10=0,因为0的相反数是0,所以a-10的相反数是0.（2）因为-（+x）=x,且-（+x）=8,所以x=8,又8的相反数是-8,所以x的相反数是-8.【点拨】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键【变式2】（2020秋河南鹤壁七年级校考阶段练习）如图，图中数轴的单位长度为2，请回答下列问题：（1）如果点、表示的数是互为相反数，那么点表示的数是多少？（2）如果点、表示的数是互为相反数，那么点、表示的数是多少？【答案】（1）点表示的数是；（2）点表示的数是1，表示的数是-9【分析】（1）根据互为相反数的意义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；（2）根据互为相反数的

14、意义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可（1）解：点、表示的数是互为相反数，且AB=12，点B在原点O右侧6个单位处，如图所示此时点C在原点O的左侧2个单位长度处，点表示的数是；（2）解：点、表示的数是互为相反数，且BD=18，点B在原点O右侧9个单位处，如图所示此时点C在原点O的右侧1个单位长度处， 点D在原点O的左侧9个单位长度处，点表示的数是1，表示的数是【点拨】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的意义，并确定出原点的位置是解题的关键【考点四】绝对值【例4】（2022秋贵州铜仁七年级校考阶段练习）已知、在数轴上的位置如图所示，用不等号填空：（1） ；（2） ；（3）；

15、（4）；（5） ；（6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】（1）根据数轴上点的位置以及绝对值的意义，即可求解；（2）根据数轴上点的位置以及绝对值的意义，即可求解；（3）根据数轴上点的位置以及相反数的意义，即可求解；（4）根据数轴上点的位置以及绝对值的意义，即可求解；（5）根据数轴上点的位置以及相反数的意义，即可求解；（6）根据数轴上点的位置以及绝对值的意义，即可求解解：（1）离原点较远，离原点较近，；故答案为：（2）离原点较远，离原点较近，故答案为：（3），故答案为：（4），故答案为：（5），故答案为：（6），则，且，故答案为：【点拨】本题考查了数轴点的位置判断有

16、理数的大小，绝对值的意义，相反数的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键【举一反三】【变式1】（2022秋贵州铜仁七年级校考阶段练习）已知、为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示（1）试判断、的正负性；（2）在数轴上标出、的相反数的位置；（3）根据数轴化简： ， ， （4）若，求、的值【答案】（1），；（2）见分析；（3）；，；（4）【分析】（1）根据原点左边的数为负数，原点右边的数为正数，即可求解；（2）根据绝对值的意义，相反数的定义即可求解；（3）根据数轴上点的位置，结合绝对值的意义，即可求解；（4）根据数轴上点的位置，结合绝对值的意义，即可求得的值（1）解：根据数轴可得，（2）解：如图所

17、示，（3）解：，；，故答案为：；，（4）解：，【点拨】本题考查了数轴上表示有理数，绝对值的意义，数形结合是解题的关键【变式2】（2023全国七年级专题练习）已知三数在数轴上对应的点如图所示，化简：【答案】【分析】根据数轴的特点确定的符号，大小，再根据绝对值的性质即可求解解：根据数轴特点可得，【点拨】本题主要考查有理数与数轴的关系，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键【例5】（2022秋吉林长春七年级长春外国语学校校考期中）如图，已知数轴上有、两点（点在点的左侧），且两点距离为个单位长度，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（）秒（1）图中如果点、表示的数是互为

18、相反数，那么点表示的数是_；（2）当秒时，点与点之间的距离是_个长度单位；（3）当点为原点时，点表示的数是_；（用含t的代数式表示）（4）求当为何值时，点到点的距离是点到点的距离的倍【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或【分析】（1）设点表示的数为，点表示的数为，根据两点距离为个单位长度，则，即可；（2）根据点运动的速度和时间计算，即可；（3）根据题意，当点为原点，点表示的数为；（4）根据点运动的距离分类讨论：当点在线段上；当点在线段的延长线，即可解：（1）设点表示的数为，点表示的数为，解得：，故答案为：（2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点与点之间的距离为：，当时

19、，点与点之间的距离为个长度单位，故答案为：（3）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点为原点时，点表示的数为：，故答案为：（4）点到点的距离是点到点的距离的倍， 当点在线段上，解得：；当点在线段的延长线，解得：，当秒或秒时，点到点的距离是点到点的距离的倍【点拨】本题考查数轴，绝对值的知识，解题的关键是掌握数轴的性质，绝对值的运用，动点问题与几何的结合【举一反三】【变式1】（2023秋陕西咸阳七年级统考期末）已知数轴上表示的点到原点的距离为10，表示的点在原点的左侧，求的值【答案】2【分析】根据绝对值的意义以及数轴上点的特性即可求出答案解：数轴上表示的点到原点的距离为10，或

20、，或当时，在原点左侧；当时，在原点右侧表示的点在原点的左侧，故答案为：2【点拨】本题考查了绝对值的意义和数轴上的点，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义【变式2】（2023秋江西上饶七年级校考期末）已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且（1）若，则a的值为_（2）若，求a的值【答案】（1）8；（2）【分析】（1）把代入中求出a的值，再结合点A和点B在原点的两侧即可得到答案；（2）分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况利用熟知上两点距离公式列出方程求解即可（1）解：，或，又点A和点B分别位于原点O两侧，；（2）解：当点A在点B左侧时，点A对应的数为a，

21、点B对应的数为b，又，即，；当点A在点B右侧时，点A对应的数为a，点B对应的数为b，又，即，；综上所述，【点拨】本题主要考查了数轴上两点距离，解绝对值方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键【变式3】（2023全国九年级专题练习）求的最大值，并求此时的x的值其中表示不超过的最大整数【答案】的最大值为，此时【分析】设，可得，即知当时，解：设，则，当时，此时，（m为整数），的最大值为，此时【点拨】本题主要考查了取整计算，正确利用已知条件结合绝对值的性质是解本题的关键【考点五】有理数的大小比较【例6】（2022秋山东菏泽七年级统考期中）比较与的大小【答案】【分析】利用两个负数比较大小，绝对值大的反而

22、小即可求解解：，【点拨】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键是：两个负数比较大小，绝对值大的反而小【举一反三】【变式1】（2022秋浙江杭州七年级校考阶段练习）比较下列各数的大小，写出比较过程（1）和；（2）和；（3）和【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据两个正数比较大小，那个数大它就大即可得出答案；（2）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案；（3）先去掉绝对值，再根据两个负数比较大小的法则即可得出答案（1）解：，根据同分母分数大小比较法则可知，；（2）解：，根据同分母分数大小比较法则可知，；（3）解：，【点拨】本题考查有理数的大小比较，掌握正数0负数，负数大小比

23、较就是看负号后面的数字，数字越大的反而越小，跟正数恰好相反是解题的关键【变式2】（2020秋新疆乌鲁木齐七年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）已知，且，数轴上a，b，c对应的点是A，B，C（1）若时，请在数轴上标出A，B，C的大致位置，并判断a，b，c的大小；（2）在（1）的条件下，化简【答案】（1）数轴见分析，cab；（2）c-a【分析】由题意知a，b异号，a，c同号，且a，b，c点离原点距离已知，（1）根据|a|=-a可知a为负值，所以可判断b为正，c为负，从而可标示出点A、B、C在数轴上的大概位置；（2）根据数轴上标出的点的位置得到a-b和b-c的符号，再去绝对值化简即可解：根据ab0，0，可知a，b异号，a，c同号（1）|a|=-a，a0，b0，c0，|c|b|a|，所以A、B、C在数轴上的大致位置如下图：a，b，c的大小关系为：cab；（2）由（1）可得：a-b0，b-c0，原式=-a+b-（b-c）=-a+b-b+c=c-a【点拨】本题考查正负数在数轴上的对应关系，关键是根据点所表示数的绝对值判断点在数轴上离原点的距离，也就是绝对值的几何意义