专题1.10 探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题1.10 探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.【知识点2】判定直角三角形全等的特殊方法斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.特别指出：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大

2、小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【考点一】全等三角形斜边、直角边定理的理解【例1】下列不能够判定两个直角三角形全等的条件是（）A有两条直角边对应相等B有一条斜边和一个锐角对应相等C有一条直角边和一条斜边对应相等D有两个锐角对应相等【答案】D【分析】直角三角形全等的判定方法：，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证解：A、符

3、合判定，故本选项不符合题意；B、符合判定或，故本选项不符合题意；C、符合判定，故本选项不符合题意D、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；故选：D【点拨】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：，【举一反三】【变式1】给出下列四组条件： ABDE，BCEF，ACDF； ABDE，ACEF，BE； BE，ABDF，CF； ABDE，ACDF，其中，能确定 ABC和 DEF全等的条件共有（）A1组B2组C3组D4组【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法：结合选项进行判定解： ABDE，BCEF，ACDF，可根据SSS判定 ABDE，ACEF，BE，不能

4、判断BE，ABDF，CF，不能判断 ABDE，ACDF，可根据判断所以能确定的条件有2组故选：B【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角【变式2】如图，在中，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 _ 【答案】6或12/12或6【分析】分情况讨论：，此时，可据此求出P的位置；，此时，点P与点C重合解：当时，在与中，；当P运动到与C点重合时，在与中，当点P与点C重合时，才能和全等，综上所述，或12，故答案为：6或12【点拨】此题考查

5、了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解【考点二】全等三角形用斜边、直角边定理证明三角形全等【例2】如图，垂足分别为C、B，求证： 【分析】利用证明即可解：，【点拨】本题考查了直角三角形的全等判定和性质，熟练掌握证明三角形全等是解题的关键【举一反三】【变式1】如图，中，点为延长线上一点，点在上，且(1) 求证：；(2) 若，求的度数 【答案】(1)见分析； (2)【分析】（1）直接依据直角三角形全等判定定理“斜边直角边”判定即可；（2）关键第（1）问结论可知为等腰直角三角形，故可求即可（1）解：

6、在和中（2），【点拨】本题考查了直角三角形的全等判定，及全等三角形的性质，关键是掌握全等判定的条件运用，灵活运用全等三角形的性质定理进行计算【变式2】如图，相交于点(1) 求证：； (2) 若，求的大小 【答案】(1)证明见分析； (2)【分析】（1）根据证明；（2）先求出的度数，即可利用全等三角形的性质求出的度数，由此即可得到答案解：（1）证明：，和都是直角三角形，在和中，（）；（2）解：在中， ，【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键【考点三】全等三角形斜边、直角边定理与三角形性质综合【例3】如图，四边形中，连接对

7、角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若(1) 求证：； (2) 求证： 【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解；（2）连接，由（1）证明可得，证明，得出，进而即可得证解：（1）证明：，在和中，（2）连接，由证明可得，在和中， ， 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键【举一反三】【变式1】如图，点，在同一条直线上，于点，于点，求证： 【分析】由题意易得，由证明，得，由平行线的判定定理即可证明结论解：证明：，在和中，【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，平行线的判定等知识，证明两个直角三角形全等是解题的关键【变式2】如图，在

8、四边形中，于，交的延长线于点，试探究线段，之间的数量关系，并证明 【答案】，证明见分析【分析】如图所示，连接，先证明得到，进而证明得到，再根据线段之间的关系即可证明解：，证明如下：如图所示，连接， 在和中，在和中，【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知用证明三角形全等是解题的关键【考点四】全等三角形灵活选用三角形全等判定方法证明【例4】如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，BE=CF (1) 图中有几对全等的三角形？请一一列出(2) 选择一对你认为全等的三角形进行证明 【答案】(1)3对分别是：ABDACD；ADEADF；BDECDF；(2)BDE

9、CDF，证明见分析【分析】（1）根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面（2）根据HL可判断BDECDF解：（1）3对分别是：ABDACD；ADEADF；BDECDF（2）BDECDF证明：DEAB，DFAC，BEDCFD90又D是BC的中点，BDCD在RtBDE和RtCDF中，BDECDF（HL）【点拨】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证【举一反三】【变式1】如图，在ABE中，C，D是边BE上的两点，有下面四个关系式：（

10、1）AB=AE，（2）BC=DE，（3）AC=AD，（4）BAC=EAD请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明已知：求证：证明： 【分析】已知：AB=AE，BC=DE，求证：AC=AD，BAC=EAD；由“SAS”可证ABCAED，可得AC=AD，BAC=EAD解：已知：AB=AE，BC=DE，求证：AC=AD，BAC=EAD，证明：AB=AE，B=E，AB=AE，B=E，BC=DE，ABCAED（SAS），AC=AD，BAC=EAD；也可以（1）（3）（2）（4）或（2）（3）（1）（4）或（1）（4）（2）（3）或（3）（4）（1）（2）证明方法类似【点拨】本题考查证明的概念，根据题意写出已知、求证、证明过程，在证明时需要用到全等三角形的性质与判定，答案不唯一【变式2】已知：如图，AB=AD，BC=CD，ABC=ADC求证：OB=OD【分析】根据已知条件先证ABCADC，得DCO=BCO，再证BCODCO，即可得出OB=OD解：证明：在ABC和ADC中，ABCADC(SAS)DCO=BCO(在BCO和DCO中，BCODCO(SAS)OB=OD(全等三角形对应边相等)