专题1.12 平行线中的旋转问题（分层练习）（培优练）-2023-2024学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）.docx

1、专题1.12 平行线中的旋转问题（分层练习）（培优练）一、填空题1（2023下浙江杭州七年级校考阶段练习）已知直线，点、分别在、上，如图所示，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向每秒旋转至停止此时射线也停止旋转，若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为 秒时，2（2023下山东德州七年级校考期中）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中是直线上的两个激光灯，现激光绕点 P以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点Q以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（），当时，t的值为 3（2022下浙江温州八年级统考期中）如图，一副三角板如图放

2、置，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图，在旋转过程中，当，连接、，这时的面积是 4（2020下江苏七年级校考阶段练习）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQMN 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动 秒，两灯的光束互相平行二、解答题5（2024上福建泉州七年级统考期末）大龙湖音乐喷泉灯光秀成为茶乡一道美丽的风景“灯光秀”为了强化灯光效果，在湖的两岸安置了可旋转探照灯

3、假定湖两岸是平行的，如图1所示，灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至后立即回转，灯B射线从开始绕点B顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射若灯A、灯B转动的速度分别是a度/秒、b度秒且满足（1）填空：_，_；（2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线到达之前，B灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯B射线到达之前，两灯射出的光束交于点C点D在射线上，且，则在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值？若存在，请求出的度数和k的值；若不存在，请说明理由6（2023下贵州遵义七年级校考阶段练习）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见，在

4、某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若转动的速度是/秒，转动的速度是/秒，且、满足，假定主道路是平行的，即，且（1）求和的值，并求的度数（2）若灯先转动30秒，灯A才开始转动，在灯到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束第一次互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由7（2023下陕西西安七年级校考期中）如图，点A、点B分别在直线和直线上，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒2的

5、速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动设旋转时间为秒（1）_；（2）在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H做交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由8（2024上重庆渝中七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，直线，直线分别交、于点、点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由；（

6、3）如图3，在（2）问的条件下，连接并延长若，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）9（2023下浙江金华七年级校考阶段练习）如图，已知，P是直线，间的一点，于点F，PE交AB于点E，（1）求的度数；（2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒当时，求的度数；当时，求t的值10（2023下江苏徐州七年级

7、统考期中）如图1，大运河某河段的两岸、安置了两座可旋转探照灯M、N假设河道两岸平行（即），灯M光从开始顺时针旋转至便立即回转，灯N光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停照射巡逻灯M转动的速度是每秒1度，灯N转动的速度是每秒2度，灯M转动的时间为t秒（1）若灯M光束先转动30秒后，灯N光束才开始转动直接写出灯M光束和灯N光束，灯 先回转；（填M或N）在灯M光束到达之前，当两灯的光束平行时，求t的值；（2）如图2，连接，且直接写出= ；若两灯同时转动，在灯N到达之前，若两灯光束交于点E，在转动过程中，请探究与的之间数量关系?并说明理由11（2023下福建三明七年级统考期中）为了安全起见，在某条

8、河流的两岸各安置了一应旋转探照灯如图1所示，灯A的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯的光线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒2度假定这段河流的两岸是平行的，即，且（1）求的度数；（2）如果灯的光线先转动5秒，灯A的光线才开始转动，那么在灯的光线到达之前，灯A转动几秒时，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A的光线到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作，交于点，则在转动过程中，探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请用等式表示出它们之间的数量关系；若改变，请说明理由12（2023下北京西城七年级北京市第一六一中学校考

9、期中）如图，点分别在直线上，射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止射线停止运动的同时，射线也停止运动设旋转时间为（1）当射线经过点时，直接写出此时的值；（2）当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示）（3）当时，求的值13（2023黑龙江绥化校考模拟预测）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边完全重合（1）直接写出的度数为_；（2）含角的三角板位置保持不变，将含角的三角板绕点顺时针方向旋转，当旋转至图所示位置时，恰好，求此时的大小；若将含角的三角板绕点顺时针方向旋转一周至图位置

10、，在这一过程中，是否存在的其中一边与平行？若存在，请你画出相应的图形并直接写出相应的的大小14（2020下江苏无锡七年级校考期中）如图1，点E，F分别在直线上，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M（1）直接写出之间的关系： （2）若，求（3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点E以每秒5的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时t的值15（2023上福建泉州七年级统考期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转（1

11、）如图2，当边落在内，与之间存在怎样的数量关系？试说明理由；过点A作射线，若，求的度数；（2）设的旋转速度为3/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值16（2022上重庆沙坪坝七年级重庆八中校考期末）如图1，一块直尺和一块含30的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点（1）当时，求（2）在线段上任意移动时，求，之间的关系（3）在（1）的条件下，将绕着点以每秒5的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一

12、边与的某一边平行时，直接写出此时的值17（2022下山西长治七年级统考期末）综合与实践问题情境：在数学实践课上，给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，在直线上，且三角板和三角板均可以点P为顶点运动操作探究：（1）如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分平分，求；（2）如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；拓广探究：（3）如图4，作三角板关于直线的对称图形三角板保持不动，三角板

13、绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数18（2018下湖北武汉七年级阶段练习）如图1，已知，点A，B分别在，上，且，射线绕点A顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是a/秒），射线绕点B顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是b/秒）、且a、b满足，（1）_，_；（2）如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（），两条旋转射线交于点C，过C作交于点D，求与的数量关系；（3）若射线先旋转20秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为t秒（），若旋转中，求t的值19（2022下浙江金华七年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）如图，直线MN/PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，ACBED

14、F90，ABCBAC45，DFE30，DEF60，此时点A与点E重合（1）对于图1，固定ABC的位置不变，将DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时FAC的度数（2）对于图1，固定ABC的位置不变，将DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示若边EF与边BC交于点G，试判断BGFEFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由；对于图3，固定ABC的位置不变，将DEF绕点F顺时针方向以每秒10的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动当经过t秒时，线段DE与ABC的一条边平行，

15、求满足条件的t的值20（2021下浙江杭州七年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设PFM，EMF，且（402）2|20|0（1），；直线AB与CD的位置关系是 ；（2）如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且MGHPNF，试找出FMN与GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；

16、若变化，请说明理由21（2022下湖北咸宁七年级校考期末）已知，如图 ，射线分别与直线，相交于，两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点 ，设，且（1） ， ；直线与的位置关系是 （2）如图 ，若点，分别在射线和线段上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论（3）若将图中的射线绕着端点 逆时针方向旋转（如图 ），分别与，相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中 的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由22（2023下山东潍坊七年级统考期中）现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请你解决下列问题：（1）如图1，请直接写出、的数量关系；（2）如图

17、2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由；（3）如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数23（2023下浙江宁波七年级校联考期中）如图，直线，一副三角尺（）按如图放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分（1）求的度数（2）如图，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转（的对应点分别为，），设旋转时间为（s）（）；在旋转过程中，若边，求的值；若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转（的对应点为，）请求出当边时的值24（2023下湖南长沙七年级校考阶段练习）如图，A、B分别为直线、上两点，若射线

18、绕点A顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是5/秒，射线BQ转动的速度是3/秒，设，且、满足（1）_，_；直线与的位置关系是_；（2）若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线相交于点C，使得；（3）若射线绕点A顺时针先转动20秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？参考答案：1或或【分析】分三种情况：当时，当时，当时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间解：当时，如图，则，即，解得，（）；当时，如图，则，即，解得，（）；当时，如图，则，

19、即，解得，（）；综上，当射线旋转的时间为秒或秒或秒时，故答案为：或或【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是作平行线，分情况讨论，运用方程思想解决几何问题212或48或84【分析】根据当时，建立等式即可求解解：设旋转时间为t秒后，如图1，解得：如图2，由图得：解得：如图3，解得：如图4，解得：（舍去） 综上所述：12或48或84故答案为：12或48或84【点拨】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，根据时，分类讨论角度之间的关系列方程是解此题的关键3【分析】过点作，由得，再由得四边形为平行四边形，再证明得，再由可知垂直平分，延长交于，求出、，然后可用平行四边形的面积减三角形面积可得答案解：如

20、图，过点作， ，四边形为平行四边形，在与中，（SAS），垂直平分，延长交于，垂直平分，=，SAED=S四边形ABCD-SABE-SCDE-SBEC=故答案为：【点拨】本题是三角形旋转变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质以及勾股定理，综合能力较强430或110/110或30【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即ACBD，当0t90时，如图1所示：PQMN，则PBDBDA，ACBD，则CAMBDA，PBDCAM有

21、题意可知：2t30t解得：t30，当90t150时，如图2所示：PQMN，则PBDBDA180，ACBD，则CANBDA，PBDCAN180，30t（2t180）180解得：t110综上所述，当t30秒或t110秒时，两灯的光束互相平行故答案为：30或110【点拨】本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论5（1）1，3；（2）当秒或秒时，两灯的光束互相平行；（3），【分析】（1）利用非负数的性质，进而得出a、b的值；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当和当时，根据平行线的性质列式计算求解即可；（3）设灯B射线转

22、动时间为秒，根据，即可得出，当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，据此求解即可（1）解：，故答案为：1，3；（2）解：设B灯转动秒，两灯的光束互相平行，当时，如图，解得 ；当时，如图，解得，综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；（3）解：理由：设灯B射线转动时间为秒， ，又，而，当时，在转动过程中，是否存在一点D，使得k为定值，此时，【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补6（1），；（2）秒时，两灯的光束互相平行；（3）和关系不会变化，理由见分析【分析】（1）根

23、据的非负性求a，b；根据，即可得到的度数；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，易证，即可列出，可得；（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，即可得出，据此可得和关系不会变化（1）解：，解得，；（2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，解得，答：当秒时，两灯的光束互相平行；（3）解：和关系不会变化理由：设灯A射线转动时间为t秒，又，而，和关系不会变化【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补7（1）135；（2）；（3）不变，【分析】（1）运用平行线的性质直接解题即可；（2）

24、设射线与射线所在直线的交点为点，则，过点P作，由平行线的性质可得，分两种情况或时分别解题即可；（3）由（2）可得，由垂直可得，又直接求比值解题（1）解：，故答案为135；（2）解：设射线与射线所在直线的交点为点，旋转时间为秒时，即，如图，当时，过点P作，即，解得，如上图，当时，则，由可知，即，解得，综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为，（3）的值不变，理由为：解：如图，由（2）可知，【点拨】本题考查平行线的性质，作辅助线沟构造平行是解题的关键8（1）；（2），理由加解析；（3）或30或秒【分析】（1）根据平分，且，得出，过点作，根据平行线的性质即可求解；（2）设，过点作，得出，根据平行线

25、的性质可得过点作，进而根据平行线的性质可得，即可求解；（3）根据旋转的性质可得，分四种情况讨论，当在的上方时，设，则，依题意，始终平分，平分，则根据得出，根据得出，即可求解，进而当在的下方时，则，同理可得；当时，且在的上方和下方时，列出一元一次方程，解方程，即可求解（1）解： 平分，且，过点作，又，；（2）解：数量关系为：或理由如下：分别平分和，设，过点作，过点作，即，；（3）解：，平分，则， 未旋转前，则，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，当在的上方时，如图所示，设，则，依题意，始终平分，平分，又，即，即，将代入得，解得：；当在的下方时，如图所示，则，解得：，将代入得，；如图所

26、示，当时，且在的下方时，设，则，依题意，始终平分，平分，又，即，即，将代入，解得：，当在的上方时，则，即，将代入，解得：（舍去）综上所述：或或【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，分类讨论，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键9（1）；（2）或；秒或秒或秒【分析】（1）延长与相交于点G，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算得到结果；（2）当时，分两种情况，当在和之间，当在和之间，由，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知（1）的可计算出的度数；根据题意可知，当时，分三种情况，射线由逆时针转动，根据题意可知，再平行线的性质可得，再根据三角

27、形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；射线垂直后，再顺时针向运动时，根据题意可知，可计算射线的转动度数，再根据转动可列等量关系，即可求出答案；射线垂直时，再顺时针向运动时，根据题意可知，根据（1）中结论，可计算出与代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论（1）解：延长与相交于点G，如图1，；（2）解：如图2，射线的运动时间，射线PN旋转的角度，又，；如图3所示，射线运动的时间，射线旋转的角度：又，；的度数为或；当从出发，运动如图4时，与相交于点H，根据题意可知，经过t秒，又，解得；射线垂直后，再顺时针向运动时，运动如图5时，根据题意可知，射线的转动度数为，则，又，解得；当

28、从出发，运动如图6时，此时垂直后立刻按原速返回的过程中，根据题意可知，经过t秒，又，解得，综上所述：满足条件的t的值为秒或秒或秒【点拨】本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键10（1） N；t的值为60s或140s；（2）60；，理由见分析【分析】（1）求出时间，再比较即可；分两种情况，当灯N回转前，根据平行线的性质得，进而得出关于t的关系式，计算得出答案；当灯N回转后，仿照解答即可；（2）根据两直线平行，同旁内角互补可得答案；先求出，再表示出，根据，可得结论解：（1） N灯M转到的时间（秒），灯N转到的时间为（秒），可知，所以灯N先回转；故答案为：N；

29、 当灯N回转前，如图，由题意：，,，解得当灯N回转后，如图，由题意：，解得答：t的值为60s或140s；（2），即，解得故答案为：；理由是：由知， 设两灯同时运动xs，则，【点拨】本题主要考查了平行线的性质的应用，解一元一次方程等，理解运动过程是解题的关键11（1）；（2）秒或秒；（3）和关系不会变化，【分析】（1）根据，即可得到的度数，再根据求得；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，根据和两种情况展开 讨论，当根据平行直线的性质得到；当得到，分别建立方程，解方程即可得到答案；（3）设灯A射线转动时间为t秒，得到，从而得到，根据推算出，最后推算出（1）解：，；（2）解：设A灯转动t秒，两

30、灯的光束互相平行， 当时，灯光A转值C处，灯光B转值D处，如图1，解得；当时，如图2，解得，综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；（3）解：和关系不会变化理由：设灯A射线转动时间为t秒，又，即，和关系不会变化【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及角的关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补12（1）此时的值为30；（2）；（3）当时，的值为72【分析】（1）由的速度为每秒，即可求出当射线经过点时，所用的时间；（2）过点作直线，从而可得，由平行线的性质可得，从而求得，再由，可求得；（3）与的速度不相等，当时，与不平行；当时

31、，与可能平行，当时，设与交于点，从而有，而，再由平行线的性质得，结合，从而可求得的值（1）解：的速度为每秒，当射线经过点时，所用的时间为：；（2）解：如图所示，过点作直线，；（3）解：与的速度不相等，当时，与不平行；当时，与可能平行，当时，设与交于点，如图所示：，由题意可得：，解得：，当时，的值为72【点拨】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是理解清楚题意，作出正确的辅助线，明确角与角之间的关系13（1）；（2）；存在；的大小分别为、，相应的图形见分析【分析】（1）根据题意可知，即可求出的度数；（2）由平行线的性质可知，根据是含角的三角板，再求出，由于且，即可求出的大小；将三角板继续绕点顺时

32、针方向旋转，分类讨论，根据平行线的性质画出图形，并求出每种情况下的大小即可（1）解：含角的三角板，又，故答案为：（2）解：当时，含角的三角板，；存在的其中一边与平行；由知，在图中，此时；如图，当时，；如图，当时，过点作，；如图，当时，；如图，当时，；如图，当时，过点作，综上：的大小分别为、【点拨】本题考查了平行线的性质和三角板的相关角度，根据题目要求画出图象，把每一种情况都考虑到是解答本题的关键14（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；（2）根据，分别表示出和，再由，可得的度数；（3）结合（2），分以下几种情况求解：当时，延长交边于，当时，当时，即与在

33、同一直线上时，当时，当时解：（1），是的外角，故答案为：；（2），平分，；（3）当时，延长交边于，如图，当绕点旋转时，（秒）当时，如图，当绕点旋转时，（秒），当时，即与在同一直线上时，当绕点旋转时，（秒），当时，当旋转时，（秒）当时，当旋转时，（秒），综上所述，当的其中一边与的某一边平行时t的值为【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键15（1）（或），理由见分析；（2）5或15或35或45或50【分析】（1）由角的和差关系可得，再把两式相减即可得到结论；先求解，-，结合，从而可得答案；（2）分5种

34、情况讨论：如图，当时，如图，当时，如图，当时，如图，当时，如图，当时，再结合平行线的性质可得答案（1）解：（或）；理由如下：，两式相减得：， ， ；（2）如图，当时，；如图，当时，则，此时，；如图，当时，；如图，当时，即，共线，；如图，当时，【点拨】本题考查的是角的和差运算，角的倍分关系，角的旋转定义的理解，平行线的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键16（1）；（2）；（3）t为6或12或21或24或30【分析】（1）由三角形内角和定理求出，由，得到，由，则，由角平分线和平行线性质得到，即可得到答案；（2）由得到，由即可得到结论；（3）分五种情况画图求解即可（1）解：，平分，即；（2），；（3

35、）由（1）知，如图1，当时，此时是旋转了，此时，；如图2，当时，此时是旋转了，此时，；如图3，当时，此时是旋转了，此时，；如图4，当时，设与相交于点S，此时是旋转了，此时，；如图5，当时， ，此时是旋转了，此时，；当的其中一边与的某一边平行时，t为6或12或21或24或30【点拨】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、旋转等知识，分情况讨论是解题的关键17（1）30；（2）15秒或秒；（3）30或210【分析】（1）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解； （2）分三种情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可；（3）分两种情况，结合平行线的判定与性质讨论求解即可解：（1）平分设则（2

36、）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动，秒，分三种情况讨论：当PD平分BPC时，根据题意可列方程，解得，符合题意；当PC平分BPD时，根据题意可列方程,解得，符合题意；当PB平分CPD时，根据题意可列方程,解得，不符合题意舍去，所以，旋转时间为15秒或秒时，三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角；（3）如图，与关于PB对称， 若，则 旋转角度数为：；如图，若，则 旋转角度数为：；综上，当时，旋转角的度数为30或210【点拨】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转.掌握图形旋转的特征，找出等量关系列出方程式是解答本

37、题的关键18（1），；（2）；（3）或8【分析】（1）根据非负数的性质即可得到a，b的值；（2）由题意可得BAC3t135，再根据PQMN即可得到BCACBD+CAN，从而可得BCA1802t，再根据ACD90，可得BCD2t90，从而可得BAC：BCD3：2，即可得出结论；（3）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线AM、射线BP互相平行时的时间（1）解：（1）a、b满足|a3|+（b1）20a30，b10，a3，b，1，故答案为：3，1；（2）解：由题意得CAM3t，CBDt，CAN1803t，BAN45，BAC45（1803t）3t135，过点C作CEPQ，CBDBCEt，PQMN，CEM

38、N，CANACE1803t，ACE+BCEACB，ACBCBD+CANt+1803t1802t，CDAC，ACD90，BCD90ACB90（1802t）2t90，BAC：BCD3：2，即2BAC3BCD；（3）解：t160，（20+t）1180，3t480，即射线BP旋转的角度小于180，当3t180，即0t60时，3t（20+t）1，解得：t10；当1803t270且（20+t）190，即70t90时，3t180+（20+t）1180，解得：t85；当3603t480且（20+t）190，即120t160时，3t360（20+t）1，解得：t190（不合题意，舍去）；若旋转中AMBP，t的值

39、为10或85【点拨】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，旋转的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于019（1）30；（2）45；3，7.5，12【分析】（1）根据 DEBC 得出：CEDBCA，再根据FAD60即可算出FAC 的度数；（2） 过点G做直线HLMN， 由MNPQ得出HLPQ， 从而得HGFEFN，BGHABC，故 BGFHGFBGHEFNABC，即 BGFEFNABC故得出答案根据题意知，该题分三种情况：DEBC或DEAB或DEAC，逐一建立方程解答即可（1）解：DEBC CEDBCA90F

40、ACCEDFAD906030（2）解：过点G做直线HLMN，则HLPQ HGFEFN，BGHABC，BGFHGFBGHEFNABCBGF-EFNABC45共分三种情况：情况1：DEBC时，10t30，t3情况2：DEAB时，10t75，t7.5情况3：DEAC时，10t120，t12t3，7.5，12【点拨】本题考查了平行线性质的综合应用，熟练进行分类讨论是本题的解题关键.20（1）20，20，；（2）；（3）的值不变，【分析】（1）根据，即可计算和的值，再根据内错角相等可证；（2）先根据内错角相等证，再根据同旁内角互补和等量代换得出；（3）作的平分线交的延长线于，先根据同位角相等证，得，设，

41、得出，即可得解：（1），；故答案为：20、20，；（2）；理由：由（1）得，；（3）的值不变，；理由：如图3中，作的平分线交的延长线于，设，则有：，可得，【点拨】本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键21（1）40，40，平行；（2），证明见分析；（3）不变，值为2【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可求和的值，通过导角证明，可证；（2）根据可证，等量代换可得，进而证明，推出，结合可得结论；（3）作，可证，根据角平分线的定义可得（1）解：，平分，故答案为：40，40，平行；（2）解：，证明如下：，；（3）解：不变，值为2如图，作，

42、 ， 的平分线与直线相交于点，的角平分线与射线相交于点， ，即【点拨】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定进行推理和证明22（1），理由见分析；（2），理由见分析；（3），理由见分析【分析】（1）由平角的定义可得、和的和为，可求得与的关系，（2）由直角三角形的两锐角互余，再由（1）和结论可得出结论，（3）由平行线的性质可得，再利用（1）中的关系可求出的大小即可，解：（1），理由如下：点在直线上，故答案为：（2），理由如下：由（1）得，（3），理由如下：如图，平分，由（1）可知，故答案为：【点拨】本题考查了平角的定义及直角三

43、角形的两锐角互余，以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键23（1）；（2）；或【分析】利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题首先证明，由此构建方程即可解决问题分两种情形：如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题（1）解：如图中，平分，；（2）解：如图中，在旋转过程中，若边，的值为；如图中，当时，延长交于，；如图中，当时，延长交于， 综上所述，满足条件的的值为或 【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键24（1）45，45，；（2）至少旋转12秒；（3）或【分析】（1）利用非负性，求出的

44、值，根据平行线的判定方法，即可得出结论；（2）设至少旋转秒时，射线AM、射线BQ相交于点C，使得，如图，过点作，得到，推出，进而得到，进行求解即可；（3）分到达之前，和到达之后又返回时，两种情况进行讨论求解即可（1）解：，；故答案为：45，45，；（2）设至少旋转秒时，射线、射线相交于点C，使得，如图，由题意，得：，过点作，由（1）知，至少旋转12秒；（3）设射线再转动t秒时，射线、射线互相平行如图，射线绕点顺时针先转动20秒后，转动至的位置，当到达之前，由题意，得：，由（1）知，即：，；当到达之后又返回时，当到达时，所需时间为秒，此时，当到达之后又返回时，在的左侧与平行，如图：，又，即：，解得：；此时，满足题意；综上：或【点拨】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是读懂题意，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，本题的综合形较强，难度较大，属于压轴题