专题1.14 有理数章末八大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（原卷版）.docx

1、专题1.14 有理数章末八大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 数轴中的新定义问题】1【题型2 数轴中的动点问题】2【题型3 绝对值中的最值问题】4【题型4 分类讨论多绝对值问题】5【题型5 有理数中的规律探究】6【题型6 有理数中的对折问题】9【题型7 幻方的应用】10【题型8 有理数的实际应用】12【题型1 数轴中的新定义问题】【例1】（2023春浙江金华七年级校考期中）定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是A,B的美好点例如：点M、N、P表示的数分别为-6、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是

2、M,N的美好点，而点P就不是N,M的美好点(1)若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则 是 ， 的美好点（空格内分别填入M、N、P）(2)若点M、P表示的数分别为-4、-2，且P是M,N的美好点，则点N为 (3)如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为-10、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动当t为何值时，点C恰好为P,Q的美好点？【变式1-1】（2023春江西景德镇七年级统考期中）

3、材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，ab=a+b-20232，如：12=1+2-20232，123=1+2-20232+3-20232=-2017材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，-2=-2，-1.3=-2(1)26 =_，-=_；(2)求123420222023的值：(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出mm+n的结果【变式1-2】（2023春广西南宁七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，

4、3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”(1)若点A表示数-3，点B表示数3，下列各数，-1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A，B的“联盟点”的是_；(2)点A表示数-10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数【变式1-3】（2023春安徽滁州七年级校考期中）已知A、B、C为数轴上三点，当点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍时，则称点C是A，B的三倍点，不是B，A的三倍点若数轴上点A在原点的左边，且到原点的距离为1，

5、点B在原点的右边，且到点A的距离为4(1)直接写出A、B两点表示的数；(2)若点C是A，B的三倍点，求点C表示的数；(3)若点C在点A的左边，是否存在使得A、B、C中恰有一个点为其余两点的三倍点的情况？若存在，请求出点C表示的数；若不存在，请说明理由【题型2 数轴中的动点问题】【例2】（2023春湖南株洲七年级统考期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是-18，-8，8A到C的距离可以用AC表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数-18，8大于-18，用8-18用式子表示为：AC=8-18=26根据阅读完成下列问题：(1)填空：AB=_，BC=_(2)若点A以每秒1个

6、单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由(3)现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动设点P移动的时间为t秒0t19，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）【变式2-1】（2023春吉林七年级校联考期末）如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足a+20+b-402=0.（1）求点A与点B在数轴上对应的数a和b；（2）现动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒4个单

7、位长度的速度运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒. 若点P和点Q相遇于点C, 求点C在数轴上表示的数； 当点P和点Q相距15个单位长度时，直接写出t的值.【变式2-2】（2023春陕西榆林七年级统考期末）已知A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且点B距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A，P是数轴上的一个动点(1)在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离；(2)已知线段OB上有点C且BC=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数；(3)动点P从原点开

8、始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，点P能移动到与A或B重合的位置吗?若不能，请说明理由若能，第几次移动与哪一点重合?【变式2-3】（2023春江苏连云港七年级统考期中）伴随着连淮扬镇铁路淮镇段的首发运行，世界首座高速铁路悬索桥五峰山长江大桥正式开通运营.如图，点O为原点，向右为正方向.甲动车位于AB处，向右行驶.乙动车位于CD处，向左行驶.五峰山长江大桥主桥为BC；甲、乙两动车长度相等，速度均为80米/秒.A、B、C、D表示的数分别是a、b、c、d，且满足a+1002+c-15002+d-1700=0.(1)b=_

9、，BC间的距离是_米，AC间的距离是_米；(2)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点C的距离等于100米？(3)从此刻开始算起，甲动车A处有个在座位上的乘客记为点M，求甲动车行驶多少秒时，点M到点B的距离与点M到点C的距离之和等于1700米？(4)两车同时运行，若甲动车A处的乘客记为点M，向右走，速度为2米/秒、乙动车处于中点位置的座位上的乘客记为点N，乘客M从车尾走到车头的过程中是否存在一段时间t，恰好M、N同时在五峰山长江大桥上？如存在，请直接写出t的值.【题型3 绝对值中的最值问题】【例3】（2023春山东临沂七年级统考期中）数轴上表示数-

10、5的点与原点的距离可记作|-5-0|=|-5|=5；表示数-5的点与表示数-2的点的距离可记作|-5-(-2)|=|-3|=3也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b则A，B两点间的距离就可记作|a-b|回答下列问题：(1)数轴上表示-3和2的两点之间的距离是_，数轴上表示-2和3的两点之间的距离是_；(2)数轴上表示x与-2的两点A和B之间的距离为5，那么x为_；(3)找出所有使得|x+1|+|x-2|=3的整数x；求|x+3|+|x-1|的最小值【变式3-1】（2023浙江杭州七年级期中）如图，已知数轴的单位长度为1（1）如果点A，B表示的数的绝对值相等，求点C表示的

11、数（2）如果点B，D表示的数是互为相反数，求点A表示的数（3）若点A为原点，在数轴上有一点F，当BF=3时，求点F表示的数（4）如果点A，B，C，D，E五个点表示的数分别为a，b，c，d，e，记s=|a|+|b|+|c|+|d|+|e|，求s的最小值【变式3-2】（2023春浙江宁波七年级余姚市梨洲中学校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=a-b，若ab，则可化简为AB=a-b请你利用数轴解决以下问题：(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点

12、P与表示有理数2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 _；(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示5的点与表示2的点之间，则m-2+m+5=_；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若a-d=12，b-d=7，a-c=9，则b-c等于 _(4)若b=a，c=12a，d=13a，e=14a，f=15a，则式子b-1+2c+2+3d-3+4e+4+5f-5的最小值为 _【变式3-3】（2023春浙江七年级期末）阅读绝对值拓展材料：a表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而5=5

13、-0，即5-0表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：5+3=5-3表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为a-b回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么x= （3）x+2可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离（4）x-2+x-3可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和x+2+x-1可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和（5）x-2+

14、x-3最小值是 ，x+2+x-1的最小值是 【题型4 分类讨论多绝对值问题】【例4】（2023春浙江金华七年级校联考期中）已知a,b表示两个非零的实数，则aa+bb的值不可能是（）A2B2C1D0【变式4-1】（2023春广东惠州七年级校考期中）若aba），则这两点间的距离为：b-a（即：较大的数减去较小的数）.尝试应用：（1）若数轴上点E，点F代表的数分别是3，1，则EF=_.（2）把一条数轴在数m处对折，表示9和3两数的点恰好互相重合，此时m=_.（3）数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，另一个点表示的数为n，则n=_.问题解决：（4）如图2，点A表示数x，点B表示2，点

15、C表示2x+8且BC=4AB，问点A和点C分别表示什么数？为什么？（5）上述（4）的条件下，图2所示的数轴上，是否存在满足条件的点D，使用DA+DC=3DB？若存在，请直接写出D所表示的数，若不存在，请说明理由？（点D不与点A，点B，点C重合）【题型7 幻方的应用】【例7】（2023春山西临汾七年级统考期中）阅读下面材料，并完成相应任务幻方相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8

16、，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5(1)请在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方；(2)请将-7，-5，-3，-1，3，5，7，9这八个数分别填入图3的空格中，使其构成一个三阶幻方【变式7-1】（2023春河南濮阳七年级统考阶段练习）在一个33的方格中填写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的33的方格称为一个三阶幻方(1)在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；(2)图2的方格中填写了一些数和字母，要使它能构成一个三阶幻方，求x，y的值，并将空格补充完整【变式7-2】（2023春山东青岛七年级统考期末）下列各组中的九个数不满足三阶

17、幻方要求的（）A2，1，0，1，2，3，4，5，6B2，3，4，5，6，7，8，9 ，10C3，6，9，12，15，18，21，24，27D4，6，7，10，12，14，16，18，20【变式7-3】（2023春广西南宁七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力一个小组尝试将数字-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等部分数字已填入圆圈中，则a的值为（）A-4B-3C3D4【题型8 有理数的实际应用】【例8】（2023上海六年级假期作业）小钱和小塘是同班同学

18、且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？【变式8-1】（2023春江苏泰州七年级周测）传销是一种危害极大的非法商业诈骗活动，国家是明令禁止的，参与传销活动的人，最终是要上当受骗的据报道，某公司利用传销活动诈骗，谎称“每位投资者每投资一股450元，买到一件价值10元的商品后，另外可得到530元的回报，每一期投资到期后，若投资人继续投资，下一期追加的投资股数必须是上一期的2倍”退休的张

19、大爷先投资了1股，以后每期到期时，不断追加投资，当张大爷某一期追加的投资数为16股时，被告知该公司破产了 (1)假设张大爷在该公司破产的前一期停止投资，他的投资回报率是多少?回报率=回报金额-投资额投资额10000(2)张大爷在参与这次传销活动中共损失了多少钱?【变式8-2】（2023浙江七年级假期作业）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A18种B24种C36种D48种【变式8-3】（2023春全国七年级专题练习）现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如下表所示（单位：元/吨）：B1B2B3A1（7t）126A2（12t）042A3（11t）315现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运 吨到B2；（2）考虑各种方案，运费最低为 元