专题1.14 角平分线（分层练习）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）.docx

1、专题1.14 角平分线（分层练习）一、 单选题1（2021上北京海淀八年级北京二十中校考期中）如图，ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB交AC于点E，若DE7，CE5，则AC（）A11 B12 C13 D142（2024上辽宁本溪八年级期末）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D已知，P为上一动点，则的最小值为（）A2 B3 C5 D83（2023上安徽马鞍山八年级校考期中）如图，在和中，连接交于点，连接下列结论错误的是（）A B C平分 D4（2023上山东菏泽八年级统考期中）如图，在中，平分交于点，

2、若，则的面积为（）A B C D5（2021上黑龙江齐齐哈尔八年级统考期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（）A65 B60 C55 D506（天津市西青区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论：；点到直线，直线，直线的距离相等；其中正确的结论个数是（）A1 B2 C3 D47（2024上黑龙江绥化八年级统考期末）如图，点 是 的中点，平分 ，下列结论：；，四个结论中成立的是（）A B C D8（2023上河南商丘八年级商丘市实验中学校考阶段练习）如图，

3、在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线，分别交，于点P，D，连接若点P到，的距离相等，则的度数为（）A B C D9（2023上湖北武汉八年级统考期中）如图，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，连接则的度数为（）A B C D10（2023上湖南株洲八年级校考期末）如图，在等边中；在、上分别截取、，使再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D已知，若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（）A B C D6二、 填空题11（2024上上海八年级校考期末）如图，已知，点为的平分线的交点，且，则两平行线间的距离等

4、于 12（2022上上海黄浦八年级上海市黄浦大同初级中学校考期末）如图，在中，为的垂直平分线，且，那么 13（2023上湖南长沙八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是 14（2024上北京朝阳八年级校考期中）如图，在中，按以下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，的面积为2，则的面积为 15（2023上河南商丘八年级校考期中）如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E若，则的长为 16（2023上八年级课时练习）如图

5、，在中，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 17（2023上湖北武汉八年级校考阶段练习）如图，在中，是外角平分线上一点，连接，已知，则 18（2023上河北衡水八年级校联考阶段练习）在中，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为（1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ；（2）如图2，在中，在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 19（2022上福建福州八年级校考期中）如图，平分，平分，若，则 20（2023北京校联考模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分

6、别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线交于点D若，的面积为4，则的面积为 三、 解答题21（2022上河北石家庄八年级校联考期末）如图，在中，点D为斜边上一点，且，过点D作的垂线交于点E（1）求证：平分（2）若，求证：点E在的垂直平分线上；若，求的长22（2023上辽宁大连八年级统考期末）阅读材料，完成下面问题：如图，点是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图（1）在直线上任取一点，画线段（2）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交直线于点（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线（4）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线（1）利用，可得到平分请

7、根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据 ；（2）求证23（2023上河北沧州八年级校联考阶段练习）如图，在中，是角平分线，延长到点，使，过点作，垂足为 （1）求证：；（2）判断是否垂直平分线段？并说明理由；（3）若为线段（不与重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数24（2023上湖北恩施八年级统考期中）问题情境：如图1，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明；变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F试解决下列问题：与还相等吗？为什么？试

8、判断、三条线段之间的数量关系，并说明理由25（2023上浙江杭州八年级校考期中）如图，在中，P是线段上一个动点（1）如图1，若平分，交于点F，求证：；（2）在（1）的条件下，若，求的长；（3）如图2，若，过直角顶点C作，并延长交于点E为的角平分线，连接，当时，求的长26（2023上广东惠州八年级统考期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，平分，求证：；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；方法二：如图，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.（1）根据以上材料，任选一种方法

9、证明：；（2）如图，四边形中，E是上一点，探究，之间的数量关系，并证明.参考答案：1B【分析】首先根据角平分线的定义和平行线的性质得出，进而有，从而利用求解即可解：AD是BAC的平分线， ， ， ， DE7，CE5， 故选：B【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的性质，掌握这些性质是关键2B【分析】本题考查了作角平分线及角平分线的性质定理；过点D作于E，则，由垂线段最短即可得的最小值解：由作图知，平分，过点D作于E，如图，；，的最小值为3，故选：B3D【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定，首先证明，再在此基础上逐个去判断即

10、可解：，即在和中，故选项A正确；，故选项B正确；如图，过点作于点于点，平分，故选项C正确；平分，即，故选项D错误故选：D4B【分析】本题考查了角平分线的性质，作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键解：作于，如图，平分，故选：5D【分析】过点E作EF BA交BA延长线于点F，EMAC于点M，ENBC交BC延长线于点N，设ECD=x，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得BAC = 80，从而得到CAF = 100，再由RtEFARtEMA，即可求解解：如图，过点E作EF BA交BA延长线于

11、点F，EMAC于点M，ENBC交BC延长线于点N，设ECD=x，CE平分ACD，ACE = ECD = x，EM = EN，BE平分ABC， ABE =EBC，EF = EN，EF = EM，BEC= 40， ABE =EBC =ECDBEC=（x-40）， BAC =ACDABC = 2x- （x - 40） - （x - 40） = 80，CAF = 100，在RtEFA和RtEMA中，EA=EA，EM = EF， RtEFARtEMA （HL），FAE = EAC = 50故选：D【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是

12、解题的关键6D【分析】由角平分线的定义得到，再由平角的定义可得，即，由此即可判断；根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，则，由此即可判断；根据角平分线的性质即可判断；由平行线和角平分线的定义证明，得到，同理可得，由此即可判断解：分别平分，即，故正确；的两条角平分线，相交于点，故正确；分别平分，点G到直线的距离等于点G到直线，点G到直线的距离等于点G到直线的距离，点到直线，直线，直线的距离相等，故正确；平分，同理可得，故正确；故选D【点拨】本题主要考查了角平分线的定义和性质，等角对等边，三角形内角和定理，平行线的性质等等，熟知角平分线的性质和定义是解题的关键7A【分析】本题考查了全等三角形的

13、判定与性质，角平分线的性质；过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，；根据点E是的中点即可判断是否正确；运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断是否正确；根据即可判断是否正确解：如图，过E作于F，平分， ， 在和中， ， ， ， 点E是的中点， ，而，故错误； 在和中， ， ，故正确； ，故正确； ，故正确 综上，四个结论中成立的是， 故选：A8C【分析】由作图知垂直平分，证出；由P到，的距离相等得出平分，再根据内角和求出，进而求出结论解：由作图知：垂直平分，到，的距离相等，平分，在中，故选：C【点拨】本题主要考查作图-基本作图、等腰三角形性质、

14、直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及角平分线的判定，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键9C【分析】本题考查的是角平分线的性质，作交的延长线于，于，交的延长线于，根据角平分线的性质和判定得到平分求出 的度数，根据角平分线的定义求出 的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键解：作交的延长线于，于，交的延长线于，如图：平分，平分，又，平分，又平分，故选：10C【分析】本题考查了轴对称求最短路径问题，等边三角形的性质，尺规作角平分线；过点B作于点H，交于点，根据等边三角形的性质可得作点H关于的对称点交于点N，连接，可得，证明点在点位置时，的值

15、最小，最小值为，即可得到答案解：如图，过点B作于点H，交于点，由作图可知，平分，在等边中，,，作点H关于的对称点交于点N，连接，点在点位置时，的值最小，最小值为故选：C11/【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质过点O作于点M，交于点N，根据，得出，求出，根据角平分线的性质得出，即可得出结论解：过点O作于点M，交于点N，如图所示：则，、分别平分，两平行线、之间的距离为故答案为：126【分析】如图，连接，则，由，可知是的平分线，则，由三角形内角和定理可求，根据，计算求解即可解：如图，连接，为的垂直平分线，是的平分线，故答案为：6【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，

16、等边对等角，三角形内角和定理，含的直角三角形熟练掌握垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，等边对等角，三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键13【分析】利用基本作图得到点P到x轴和y轴的距离相等，则根据角平分线的性质得到，从而得到m、n的数量关系解：由作图痕迹得点在的平分线上，点到轴和轴的距离相等，且点在第二象限，即故答案为：【点拨】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键也考查了角平分线的性质14【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和性质定理，作可得，根据可得的面积，即可求解解：作，如图所示：由题意得：平分，的面积为2，的面积为，的面积为，故答案为：153【分析】本

17、题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，分别平分的外角，且，可得，根据等角对等边得出，根据即可求得解：分别平分的外角，故答案为：316【分析】过点作于点，于点，根据角平分线的性质可得，再由内角和即可求解解：如图，过点作于点，于点，交的延长线于点，点，是内角与外角的三等分线的交点，是的平分线，又， ，同理可得， ，又，是的平分线，点，是内角与外角的三等分线的交点，故答案为：【点拨】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质1767【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点作于，于，根据

18、角平分线的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论解：过点作于，于，平分，在上截取，连接，在和中，在四边形中，在四边形为正方形，平分，平分故答案为：6718 3 或或或【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论（1）连接，证明，得出，根据即可求出结果；（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可解：（1）连接，如图所示：点P到，的距离与相等，平分，故答案为：3（2）设点的运动速度为，当点在上，点在上，时，运动时间为。则，解得；当点在上，点在上，时，运动时间为，则，

19、解得：；当点P在上，点在上，时，点P的路程为，点Q的路程为，此时运动时间为，则，解得；当点P在上，点Q在上，时，点P的路程为，点Q的路程为，此时运动时间为，则，解得；运动的速度为或或或故答案为：或或或19【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，表示出，然后求解即可解：如图，过点作于，平分，在和中，同理：，设，故答案为：【点拨】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键206【分析】利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得点D到、的距离相等

20、，于是利用三角形面积公式得到的面积的面积，从而可计算出的面积解：由作法得平分，则点D到、的距离相等，的面积的面积，的面积为4，的面积是6故答案为：6【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质21（1）证明见分析；（2）证明见分析；【分析】（1）证明得到，即可证明平分；（2）先根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义推出，则，据此可得点E在的垂直平分线上；根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，再求出，则解：（1）证明：，在和中，又，平分；（2）解：，平

21、分，点E在的垂直平分线上；在中，在中，【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定，等角对等边，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，证明是解题的关键22（1）画图见分析，；（2）见分析【分析】（1）根据作图得出，进而根据即可求解；（2）根据作图可得平分，根据角平分线的定义以及等边对等角得出 即可得出解：（1）证明：根据作图可得，又故答案为：（2）平分【点拨】本题考查了基本作图，角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，掌握基本作图是解题的关键23（1）见分析；（2）垂直平分线段，理由见分析；（3）或【分析】本题主要考查角平分线的性

22、质和等腰三角形的判定和性质，（1）根据题意得，则，根据角平分线的性质得，即可证得；（2）根据等腰三角形性质和角平分线性质得，得到即可证明结论；（3）当，求得，即可求得；当，先求出，进而根据求解解：（1）证明：，是角平分线，（2）垂直平分线段；理由：，平分，垂直平分线段；（3）如图，当，则，；如图，当，则，综上所述，为或24问题情境：相等，理由见分析；变式拓展：，见分析；，见分析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质；问题情境：过点作于，于根据角平分线的性质定理可得，从而证得，即可求证；变式拓展：过点作于，于根据角平分线的性质定理可得，从而证得，即

23、可求解；先证得，可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解解：问题情境：证明：如图1，过点作于，于平分，；变式拓展：解：结论：理由如下：如图2，过点作于，于平分，；结论：理由如下：， ，在中，25（1）见分析；（2）5；（3）6【分析】（1）证出，由等腰三角形的判定可得出结论；（2）设，则，由勾股定理得出，则可得出答案；（3）延长交于点M，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案解：（1）证明：，平分，；（2）设，则，；（3）延长交于点M，平分，又，【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键26（1）详见分析；（2），详见分析【分析】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案；（2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案；解：（1）证明：方法一，平分，在和中，；方法二：， ，平分，在和中，；（2）解：，证明如下：如图，在上截取，使得，连接，在和中， 又，