专题1.3 正方形的性质与判定（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）.docx

1、专题1.3 正方形的性质与判定（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1. 理解正方形的概念； 2. 探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算； 3. 通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力； 4. 通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力【知识点梳理】考点 1 正方形的概念与性质 ：正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）考点3 正方形的判定：正方形常用

2、的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【典例分析】【考点 1 正方形的性质】【典例1】（2022春溆浦县期中）一个正方形的面积为8m，则它的对角线长为（）A2cmB2cmC4cmD3cm【变式1-1】（2021秋简阳市 期中）正方形ABCD的一条对角线长为2，则正方形ABCD的周长为（）A4B8C2D4【变式1-2】（2020秋武功县期末）如图，在正方形ABCD中，AB2，P是AD边上的动点，PEAC于点E，PFBD于点F，则PE+PF的值为（）A

3、4B2CD2【变式1-3】（2022榆林模拟）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（）A4B3C2D1【典例2】（2020秋莲湖区期中）如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BEBD，连接DE，则EDA的度数为（）A10B15C30D22.5【变式2-1】（2010秋金口河区期末）如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，BEC70，且BCEDCF连接EF，则EFD的度数是（）A10B15C20D25【变式2-2】（2021春永嘉县校级期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且

4、AEAB，连接BE，DE，则CDE的度数为（）A20B22.5C25D30【变式2-3】（2021秋文山市期末）如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则AEB的度数为（）A30B20C15D10【变式2-4】（2022兴宁区校级模拟）如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（）A（3，1）B（3，2）C（2，1）D（1，3）【典例3】（2020秋杏花岭区校级月考）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（）ABCD【变式3-1】（2021春泗水县期末）如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（3，1），则C点的坐

5、标是（）A（1，3）B（2，3）C（3，2）D（3，1）【变式3-2】（2019海口二模）如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）A（）B（2，1）C（1，）D（1，）【典例4】（2020秋城关区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：BEDF；DAF15；AC垂直平分EF；BE+DFEF；SCEF2SABE其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【变式4-1】（2020秋台州期中）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在

6、BC和CD上，下列结论：CECF；AEB75；BE+DFEF；正方形对角线AC1+，其中正确的序号是（）ABCD【变式4-2】（2020春老城区校级月考）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出下列四个结论：APEF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFEBAP其中正确结论个数是（）A1B2C3D4【变式4-3】（2019秋巴州区校级期中）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于E，PFCD于F，连接EF，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（）APEFPFEBAPAPD一定是等腰三角形PDECABCD【考点 2 正方形的判

7、定】【典例5】（2021秋南海区月考）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交ABM的平分线和ABN的平分线于点C、D（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论（2）当CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明【变式5-1】（2021春昆明期末）如图，在ABC中，ACB90，BA，点D为边AB的中点，DEBC交AC于点E，CFAB交DE的延长线于点F（1）求证：DEEF；（2）当RtABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论【变式5-2】（2021平凉模拟）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的

8、中点（1）求证：BMCM（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由【考点3 正方形的性质与判定】【典例6】（2022春覃塘区期中）如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AEBFCGDH，连接EF，FG，GH，HE（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AB7，AE3，求四边形EFGH的周长【变式6-1】（2022龙岗区模拟）如图，在ABC中，BAC90，BAC的平分线交BC于点D，DEAB，DFAC（1）求证：四边形AFDE为正方形；（2）若AD2，求四边形AFDE的面积【变式6-2】（2022惠城区一模）如图，正方形ABCD中，AB6，点E是

9、对角线AC上的一点，连接DE过点E作EFED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM（1）求证：矩形DEFM是正方形；（2）求CE+CM的值专题1.3 正方形的性质与判定（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1. 理解正方形的概念； 2. 探索并证明正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算； 3. 通过经历正方形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力； 4. 通过正方形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力【知识点梳理】考点 1 正方形的概念与性质 ：正方形的定义：

10、一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）考点3 正方形的判定：正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【典例分析】【考点 1 正方形的性质】【典例1】（2022春溆浦县期中）一个正方形的面积为8m，则它的对角线长为（）A2cmB2cmC4cmD3cm【答案】C【解答】解：正方形的面积为8cm2，正方形的边长为2（cm），正方形的对角线长为24（cm），故选：

11、C【变式1-1】（2021秋简阳市 期中）正方形ABCD的一条对角线长为2，则正方形ABCD的周长为（）A4B8C2D4【答案】D【解答】解：因为正方形ABCD的一条对角线长为2，设正方形的边长为a，根据勾股定理，得a2+a222，解得a，所以正方形的边长为，则正方形ABCD的周长为4故选：D【变式1-2】（2020秋武功县期末）如图，在正方形ABCD中，AB2，P是AD边上的动点，PEAC于点E，PFBD于点F，则PE+PF的值为（）A4B2CD2【答案】C【解答】解：在正方形ABCD中，OAOB，OAD45，PEAC，PFBD，四边形OEPF为矩形，AEP是等腰直角三角形，PFOE，PEA

12、E，PE+PFAE+OEOA，正方形ABCD的边长为2，OAAC故选：C【变式1-3】（2022榆林模拟）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（）A4B3C2D1【答案】D【解答】解：正方形ABCD的周长为8，BC2，又O是正方形对角线的交点，O是BD的中点，H是CD边的中点，OH是DBC的中位线，OHBC1故选：D【典例2】（2020秋莲湖区期中）如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BEBD，连接DE，则EDA的度数为（）A10B15C30D22.5【答案】D【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABD45ADB

13、，BEBD，BDE67.5，EDABDEADB22.5，故选：D【变式2-1】（2010秋金口河区期末）如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，BEC70，且BCEDCF连接EF，则EFD的度数是（）A10B15C20D25【答案】D【解答】解：四边形ABCD是正方形，BCEDCF90；由旋转的性质知：CECF，BECDFC70；则ECF是等腰直角三角形，得EFC45，EFDDFCEFC25故选：D【变式2-2】（2021春永嘉县校级期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AEAB，连接BE，DE，则CDE的度数为（）A20B22.5C25D30【答案

14、】B【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABAD，ADC90，DAC45，AEAB，ADAE，ADEAED67.5，CDE9067.522.5，故选：B【变式2-3】（2021秋文山市期末）如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则AEB的度数为（）A30B20C15D10【答案】C【解答】解：根据等边三角形和正方形的性质可知ABADAE，BAD90，DAE60，BAE90+60150，AEB（180150）215故选：C【变式2-4】（2022兴宁区校级模拟）如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（）A（3，1）B（3，2）C（2，1）D（1，3）【

15、答案】A【解答】解：过点C作CHx轴于点H，如图所示：则CHDDOA90，OAD+ADO90，在正方形ABCD中，ADCD，ADC90，ADO+CDH90，DAOCDH，OADHDC（AAS），CHOD，DHAO，A（0，2），D（1，0），OA2，OD1，DH2，CH1，C（3，1），故选：A【典例3】（2020秋杏花岭区校级月考）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（）ABCD【答案】A【解答】解：如图所示，作ADx轴于D，CEx轴于E，则OECADO90，COE+ECO90，A的坐标为（2，），AD，OD2，四边形OABC是正方形，OAOC，

16、AOC90，AOD+COE90，AODECO，在OCE和AOD中，OCEAOD（AAS），OEAD，CEOD2，C（，2）故选：A【变式3-1】（2021春泗水县期末）如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（3，1），则C点的坐标是（）A（1，3）B（2，3）C（3，2）D（3，1）【答案】A【解答】解：如图所示：作CDx轴于D，作AEx轴于E，则AEOODC90，OAE+AOE90，四边形OABC是正方形，OACOBA，AOC90，AOE+COD90，OAECOD，在AOE和OCD中，AOEOCD（AAS），AEOD，OECD，点A的坐标是（3，1），OE3，AE1，OD1，CD3，C（1，

17、3），故选：A【变式3-2】（2019海口二模）如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）A（）B（2，1）C（1，）D（1，）【答案】A【解答】解：作ADy轴于D，作CEy轴于E，如图所示：则ADOOEC90，1+290，点A的坐标为（1，），AD1，OD，四边形OABC是正方形，AOC90，OCAO，1+390，32，在OCE和AOD中，OCEAOD（AAS），OEAD1，CEOD，点C的坐标为（，1）故选：A【典例4】（2020秋城关区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，AEF是等边三角形，连接AC

18、交EF于点G，下列结论：BEDF；DAF15；AC垂直平分EF；BE+DFEF；SCEF2SABE其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，BBCDDBAD90AEF等边三角形，AEEFAF，EAF60BAE+DAF30在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BEDF（故正确）BAEDAF，DAF+DAF30，即DAF15（故正确），BCCD，BCBECDDF，即CECF，AEAF，AC垂直平分EF（故正确）设ECx，由勾股定理，得EFx，CGx，AGAEsin60EFsin602CGsin60x，ACx+x，

19、AB，BEx，BE+DFxxx，（故错误），SCEF，SABE，2SABESCEF，（故正确）综上所述，正确的有4个，故选：D【变式4-1】（2020秋台州期中）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：CECF；AEB75；BE+DFEF；正方形对角线AC1+，其中正确的序号是（）ABCD【答案】A【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABAD，AEF是等边三角形，AEAF，在RtABE和RtADF中，RtABERtADF（HL），BEDF，BCDC，BCBECDDF，CECF，故正确；CECF，ECF是等腰直角三角形，CEF45，AEF60

20、，AEB75，故正确；如图，连接AC，交EF于G点，ACEF，且AC平分EF，CAFDAF，DFFG，BE+DFEF，故错误；AEF是边长为2的等边三角形，ACBACD，ACEF，EGFG，AGAEsin602，CGEF1，ACAG+CG+1；故正确所以其中正确的序号是：故选：A【变式4-2】（2020春老城区校级月考）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出下列四个结论：APEF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFEBAP其中正确结论个数是（）A1B2C3D4【答案】C【解答】解：如图，连接PC，延长AP交EF于H，延长FP交AB于G，在

21、正方形ABCD中，ABPCBP45，ABCB，在ABP和CBP中，ABPCBP（SAS），APPC，BAPBCP，又PEBC，PFCD，四边形PECF是矩形，PCEF，BCPPFE，APEF，PFEBAP，故正确；只有点P为BD的中点或PDAD时，APD是等腰三角形，故错误；PFBC，AGFABC90，BAPPFE，APGFPH，AGPAHF90，APEF，故正确，故选：C【变式4-3】（2019秋巴州区校级期中）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于E，PFCD于F，连接EF，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（）APEFPFEBAPAPD一定是等腰三角形PDECABC

22、D【答案】A【解答】解：连接PC，如图所示：在正方形ABCD中，ABPCBP45，ABCB，在ABP和CBP中，ABPCBP（SAS），APPC，BAPBCP，PEBC，PFCD，四边形PECF是矩形，PCEF，BCPPFE，APEF，PFEBAP，故正确；PFCD，BDC45，PDF是等腰直角三角形，PDPF，矩形的对边PFEC，PDEC，故正确；只有点P为BD的中点或PDAD时，APD是等腰三角形，故错误；综上所述，正确的结论有，故选：A【考点 2 正方形的判定】【典例5】（2021秋南海区月考）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交ABM的平分线和ABN的平分线于点C、

23、D（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论（2）当CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明【答案】（1）四边形ACBD是矩形 （2）CBD满足CBBD时，四边形ACBD是正方形【解答】解：（1）四边形ACBD是矩形，证明：CD平行MN，OCBCBM，BC平分ABM，OBCCBM，OCBOBC，OCOB，同理可证：OBOD，OAOBOCOD，CDOC+OD，ABOA+OB，ABCD，四边形ACBD是矩形；（2）CBD满足CBBD时，四边形ACBD是正方形，证明：由（1）得四边形ACBD是矩形，CBBD，四边形ACBD是正方形【变式5-1】（2021春昆明期末）如图，在AB

24、C中，ACB90，BA，点D为边AB的中点，DEBC交AC于点E，CFAB交DE的延长线于点F（1）求证：DEEF；（2）当RtABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论【答案】（1）略 （2）【解答】证明：（1）DEBC，CFAB，四边形DBCF为平行四边形，DFBC，D为边AB的中点，DEBC，DEBC，EFDFDEBCCBCB，DEEF；（2）解：当ABC满足BAC45，四边形ADCF是正方形，证明：四边形DBCF为平行四边形，BDCF，ACB90，D为边AB的中点，ADBDCD，ADCF，ADCF，四边形ADCF是平行四边形，BAC45，BACDCA45，ADC90，

25、四边形ADCF是正方形【变式5-2】（2021平凉模拟）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点（1）求证：BMCM（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由【答案】（1）略 （2）当AB：AD1：2时，四边形MENF是正方形【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABDC，AD90，M为AD中点，AMDM，在ABM和DCM中，ABMDCM（SAS），BMCM；（2）解：当AB：AD1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下：N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，NECM，NECM，MFCM，NEFM，NEFM，四边形

26、MENF是平行四边形，由（1）知ABMDCM，BMCM，E、F分别是BM、CM的中点，MEMF，平行四边形MENF是菱形；M为AD中点，AD2AM，AB：AD1：2，AD2AB，AMAB，A90，ABMAMB45，同理DMC45，EMF180454590，四边形MENF是菱形，菱形MENF是正方形【考点3 正方形的性质与判定】【典例6】（2022春覃塘区期中）如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AEBFCGDH，连接EF，FG，GH，HE（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AB7，AE3，求四边形EFGH的周长【答案】（1）略 （2）20【解答】（1）证明：四边

27、形ABCD是正方形，ABBCCDAD，ABCD90，AEBFCGDH，ABAEBCBFCDCGADDH，BECFDGAH，在AEH，BFE，CGF，DHG中，AEHBFECGFDHG（SAS），EHEFFGGH，AEHBFE，AHEBEF，四边形EFGH是菱形，AEH+BEFAHE+BFE，AEH+AHE90，AEH+BEF90，FEH1809090，四边形EFGH是正方形；（2）解：AB7，AE3，BEAHABAE734，EH5，四边形EFGH是正方形，四边形EFGH的周长5420【变式6-1】（2022龙岗区模拟）如图，在ABC中，BAC90，BAC的平分线交BC于点D，DEAB，DFAC

28、（1）求证：四边形AFDE为正方形；（2）若AD2，求四边形AFDE的面积【答案】（1）略 （2）4【解答】（1）证明：DEAB，DFAC，四边形AFDE是平行四边形AD平分BAC，FADEADDEAB，EDAFADEDAEADAEDE四边形AFDE是菱形BAC90，四边形AFDE是正方形（2）解：四边形AFDE是正方形，AD2，AFDFDEAE2四边形AFDE的面积为224【变式6-2】（2022惠城区一模）如图，正方形ABCD中，AB6，点E是对角线AC上的一点，连接DE过点E作EFED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM（1）求证：矩形DEFM是正方形；（2）求CE+CM的值【答案】（1） 略（2）6【解答】解：（1）如图，作EGCD于G，EHBC于H，四边形ABCD是正方形，ACBACDEGCD，EHBC，EGEH，EGCEHCBCD90，四边形EGCH是矩形，GEH90四边形DEFM是矩形，DEF90DEGFEHEGDEHF90，EGDEHF（ASA），EDEF矩形DEFM是正方形；（2）四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，DEDM，ADCD，ADCEDM90ADECDMADECDM（SAS），AECMCE+CMCE+AEAC6