专题1.4 直角三角形的边角关系（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（北师大版）.docx

1、专题1.4 直角三角形的边角关系（全章分层练习）（培优练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2021上河北石家庄九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值为（）A3 B C1 D22（2023上安徽六安九年级统考期中）如图，是的对角线，点E是的中点，点F、P分别是线段、上的动点，若，且是等腰三角形，则的长为（）A或 B或 C或 D或3（2023上吉林长春九年级统考期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点点、均在格点上，与相交于点，则的余弦值

2、为（）A B C D4（2023上安徽合肥九年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，在矩形中，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，则当是直角三角形时，a的值为（）A或 B2或 C或 D或35（2023上陕西西安九年级校考期中）如图，菱形中，垂足分别为B，D，若，则的长是（）cmA B6 C D6（2023下河南南阳九年级校联考期中）如图，在中，且，点在轴的负半轴上，现将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为（）A B C D7（2023下重庆沙坪坝九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在矩形中，点是对角线上的中点，过点作交于点，交于点若，则的长度为（）A B C D8（

3、2022湖北咸宁校考模拟预测）如图，菱形边在x轴的正半轴上，且点B的纵坐标为4，点P从点O开始向点A运动，至点A停止，过P点与x轴垂直的直线与菱形另一边交点为M，记，的面积为S，且S与x的函数关系图象如右图，则的值为（）A B C D9（2022河北衡水校考模拟预测）如图，已知在纸上有一点按下列尺规作图的步骤进行：以点为圆心，以任意长为半径，画半圆，直径为；分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交半圆于点；连接，以点为圆心，以长为半径作弧，交半圆于点，连接，下列结论不正确的是（）A四边形是菱形 B四边形的面积为C D是的中点10（2023四川南充统考一模）综合与实践课上，李老

4、师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动如图，将矩形纸片对折，折痕为，再把点A折叠在折痕上，其对应点为，折痕为，连接，若，则的值为（）A B C D二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2023广东深圳深圳外国语学校校考模拟预测）用高为的测角仪器测得电线杆的顶点的仰角为，测角仪到电线杆的距离为，则电线杆的高度为 12（2023上黑龙江绥化九年级绥化市第八中学校校考阶段练习）在中，则 13（2023广东深圳校联考模拟预测）如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子已知在O点测得起始位置A的俯角是，B点的俯角是，B点测

5、得钉子P的仰角是，且长为4，则摆绳长为 14（2023上山东潍坊九年级校考阶段练习）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点则的值是 15（2023上黑龙江哈尔滨九年级校联考期中）如图，正方形，求的长 16（2023上湖北武汉九年级校联考期中）如图，中，是边上的一点，则 17（2023广东东莞统考一模）如图，正方形的对角线相交于点O，点E在边上，点F在的延长线上，交于点G，则 18（2023上黑龙江哈尔滨九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，三角形中，于，以为边作菱形，使点落在边上，点在上，交于点，若，则的长为 三、解答题（本大题

6、共6小题，共58分）19（8分）（2022四川达州四川省渠县中学校考一模）（1）（2）若关于x的分式方程有增根，试求代数式的值20（8分）（辽宁省部分学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）：21（10分）（2023上山东烟台九年级统考期中）如图，在中，点F在边上且，E为上一点，且，求22（10分）（2023上山东烟台九年级统考期中）如图，直线与轴交于点，与反比例函数，过作轴于点，且（1）求反比例函数表达式；（2）点是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线向下平移个

7、单位后与反比例函数的图象交于一点，求的值23（10分）（2023上江西景德镇九年级统考期中）如图，在中，分别平分，且E、F分别在边上，（1）求证：四边形是菱形；（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离24（12分）（2023上广东深圳九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过原点作直线，使它经过第一、三象限，直线与轴的正半轴所成角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为（1）若点与点重合，则（度），的值为；（2）若，点落在点处，若点在四边形的边上，求点的坐标；（3）作直线交轴于点，交直线于点，使得与是一对相似的等腰三角形，直接写出的值参考答案：1D【分析】

8、首先连接，由题意易得，然后由相似三角形的对应边成比例，易得，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案解：如图，连接，四边形是正方形，根据题意得：，在中，故选：D【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用2C【分析】分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别画出图形求出结果即可解：四边形为平行四边形，点E是的中点，是的对角线，是直角三角形， 当时，如图，过点P作于点G，则，又，；当时，如图，则，；当时，点P与点B重合，不存在综上所述，的长为或故选：A【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，直角三

9、角形的性质，三角形相似的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是数形结合，画出图形，并进行分类讨论3C【分析】作于E，由可证，则可得，由此可求出的长，再在中根据面积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值解：作于E，中，解得，故选：C【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、用面积法求直角三角形斜边上的高、勾股定理及余弦的定义熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键4A【分析】分两种情况：如图1，如图2，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应的值解：分两种情况：如图1，延长交于，过点作，交的延长线于，四边形是矩形，即，设，由平移

10、得：，即，；如图2，延长交于，则，由平移得：，同理设，则，即，；综上，的值是或故选：A【点拨】本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论5C【分析】连接，与交于点G，根据，得到，根据三角函数，求得；利用三角函数，菱形性质，特殊角的三角函数计算即可解：连接，与交于点G，菱形，是等边三角形，；，；故选C【点拨】本题考查菱形的基本性质，三角形的内角和以及解直角三角形，能够做出辅助线是解题关键6A【分析】过点作轴于点证明，利用相似三角形的性质求出点的坐标可得结论解：过点作轴于点，将绕点顺时

11、针旋转，每次旋转，则第一次旋转后点B的横坐标为：，纵坐标为，即，第2023次旋转结束时，因为6次应该循环，与的坐标相同，坐标为故选：A【点拨】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，灵活运用所学知识解决问题7B【分析】延长交于点，过点作于点，根据矩形的性质证明，可得，得到是的垂直平分线，可得，根据平行线分线段成比例定理可得，根据锐角三角函数和勾股定理定理可得，代入计算可得答案解：延长交于点，过点作于点，四边形是矩形，点是对角线上的中点， ，是的垂直平分线，即，即的长度为故选：B【点拨】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质

12、，垂直平分线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键8A【分析】根据题意得，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可解：作于点D，作于点E，根据题意得，在中，解得，即，故选：A【点拨】本题考查了二次函数的性质，菱形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件9B【分析】连接，设交于点，根据已知条件可证和为等边三角形，结合菱形的判定定理可判断A选项；在中，可求出的长，进而可得四边形的面积；根据菱形的性质可得，即可判断C选项；由可得，即可判断D选项解：连接，设交于点，由题意可知，为线段的垂直平分线，为等边三角形

13、，由尺规作图可知，即为等边三角形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意；在中，四边形的面积为，故B 选项错误，符合题意；由菱形的性质可知，故C选项正确，不符合题意；，是的中点，故D 选项正确；不符合题意故选：B【点拨】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键10A【分析】先证明，可得，再利用正切的定义求解即可.解：矩形纸片对折，折痕为，由折叠可得：，.故选A【点拨】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.11【分析】过点作于点，则，再由锐

14、角三角函数定义求出，即可得出答案解：如下图：过点作于点，则，在中，即电线杆的高度为，故答案为：【点拨】本题主要考查了直角三角形的应用，解题关键是由锐角三角函数定义正确求出12 或 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理等知识，分类讨论：当点A在处时，过点作于点M，利用面积求出，进而可得，则有，此时问题得解；当点A在处时，过点作于点M，同理作答即可解：如图， 当点A在处时，过点作于点M，；当点A在处时，过点作于点M，同理可得，故答案为： 或 13【分析】如图，过作于，过作与，由题意知，解得，根据，即，求解的值，根据求解的值，进而可得的值解：如图，过作于，过作与，由题意知，解得，故答案为：【

15、点拨】本题考查了解直角三角形的应用解题的关键在于明确线段之间的数量关系142【分析】取格点，连接交于点，连接，可得，证明，根据正切的定义，即可求解解：如图所示，取格点，连接交于点，连接，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，故答案为：【点拨】本题考查了网格与勾股定理，求正切，熟练掌握三角函数的定义将角度转化到直角三角形中是解题的关键1512【分析】先根据解直角三角形的知识，求出，过F点作于点P，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得 ，再根据，可得，结合，可得，即，进而有，再利用，问题得解解：如图，在中，平分，且，即有：，设，根据角平分线的性质定理有：，结合，有，根据三角形的面积有：，

16、在中，解得：，（，舍去），当时，如图，过F点作于点P，四边形是正方形，即，故答案为：【点拨】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等知识，求出，是解答本题的关键16【分析】过点C作交于点G，过点B作交的延长线于点E，取得中点F，连接，证明，列比例式计算即可本题考查了特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键解：过点C作交于点G，；过点B作交的延长线于点E，取得中点F，连接，是等边三角形，整理，得,解得，（舍去），故答案为：17【分析】过点E作于点H，则是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三边关系及，可求得；又，可得出各个边的长度；证明，得到，再证

17、明，则，所以是等腰直角三角形，即可得出结果解： 如图，过点E作于点H，则是等腰直角三角形，设，则，在中，是等腰直角三角形，故答案为：【点拨】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角函数的定义等内容，证得的正切值及是等腰直角三角形是解题的关键186【分析】菱形的性质得到，推出，外角的性质，得到，进而得到，过点作于点，推出，利用锐角三角函数和勾股定理求出的长即可解：四边形为菱形，过点作于点，设交于点，则，且，在中，设，则：，；故答案为：【点拨】本题考查解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，添加辅助线，构造直角三角形本题的综合性较强，属于填空题中的压轴题19（1

18、）；（2）0【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、分母有理化和特殊角的三角函数值计算即可；（1）由分式方程有增根，得到x-2=0或x+2=0，即x=2或x=-2，分别代入整式方程计算即可求出m的值；再对分式先化简，再把合适的m值代入化简后的式子进行计算即可解答解：（1）=-+1+=-+-1+1+=； （2）分式方程去分母得：x+2+mx=x-2，由分式方程有增根，得到x-2=0或x+2=0，即x=2或x=-2，把x=2代入整式方程得：m=-2；把x=-2代入整式方程得：m=2；，m0，m1，m-2，当m=2时，原式=【点拨】本题考查了二次根式的运算，特殊角的三角函数值，分式方程的增根，分式

19、的化简求值注意：增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值20【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解解：【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键21【分析】过点C作交的延长线于H，根据，设，则,利用，平行线分线段成比例定理，正切函数的定义计算即可解：C作交的延长线于H，如图，设，则,，解得，【点拨】本题考查了三角函数，平行线分线段成比例定理，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，是解题的关键22（1）；（2）存在，点坐标为（，）；（3）【分析】（

20、1）根据直线求点的坐标，得的长度，然后由三角函数的定义求的长度，得出点的坐标，最后将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求解；（2）根据反比例函数的解析式可求点的坐标，过点作关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置；（3）直线向下平移个单位后解析式为：，与反比例函数联立方程组得到、的值代入计算即可（1）解：由，可知，轴，点的横坐标为，点在直线上，点的纵坐标为，即，点在上，反比例函数表达式为；（2）存在过点作关于轴的对称点，连接交轴于点（如图所示）此时最小，点在反比例函数上，即点的坐标为，与关于轴的对称，点坐标为，的坐标为，设直线的解析式为，将点、点代入上式得：，解得，直线的解析式为，令

21、，得，点坐标为（,）；（3）直线向下平移个单位后解析式为：，联立方程组得：，解得，（另一解不符合题意舍去），【点拨】本题考查了反比例函数，一次函数，三角函数，路径最短问题，二元一次方程等知识解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、锐角三角函数的定义和熟练运用两点之间线段最短解决几何中距离最小问题23（1）见分析；（2）平行线与间的距离是【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义和等量代换可得，再根据平行线的性质可得，即，则，进而得到四边形是平行四边形，最后结合即可证明结论；（2）如图：连接，先证是等边三角形，即，再结合的面积等于可得然后求得，即；

22、再根据四边形是菱形可得，即；然后根据三角形外角的性质可得，即，即；最后根据平行线间的距离和勾股定理即可解答解：（1）证明：，分别是的平分线，四边形是平行四边形，四边形是菱形；（2）解：连接，四边形是平行四边形，平分，是等边三角形，的面积等于，,即，即，四边形是菱形，是的一个外角，即，由勾股定理得，平行线与间的距离是【点拨】本题主要考查了菱形的判定、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键24（1）45，3；（2）点A的坐标（5，0）；（3）【分析】（1）根据对折的性质即可求得；（2）根据对折的性质得出，然后根据等腰直角三角形的性质求得，所以，即可求得的坐标；（3）根据与是一对相似的等腰三角形，求得或，然后应用直角三角函数求得的长，即可求得的值（1）解：根据对折的性质可知：，（2）解：如图1，将沿直线对折，点B落在点E处，且点E在边上，直线，沿直线折叠，点C落在点D处，点落在轴上，且，由折叠可知，点的坐标（3）如图2，是等腰三角形，在中，如图3所示，与是一对相似的等腰三角形，【点拨】本题是几何变换综合题型，考查了翻折（折叠）变换、全等三角形、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，解题的关键是正确理解题目给出的变换的定义，并能正确运用折叠的性质