专题1.4 菱形中求线段和最小值问题-（北师大版）.docx

1、（挑战压轴）专题1.4 菱形中求线段和最小值问题【方法技巧】 【典例分析】【考点1 两定点，一动点】【典例1】（2021春海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC8，BD6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）A3B4C5D6【变式1-1】（2020春庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB4，BD4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）A4B2C2D8【变式1-2】（2021埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线B

2、D上一动点，则EP+AP的最小值为（）A2B2C4D4【变式1-3】（2020陕西模拟）如图，在菱形ABCD中，AB6，ABC60，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN2，点M在BC上且BMBC，P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为 【考点2 一定点，两动点】【典例2】（2021春裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，D135，AD3，CE2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（）A2B3C2D【变式】（2020春碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB5，对角线BD8点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（）ABC5D【考点3

3、 三动点】【典例3】（2021春东昌府区期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC6，BD8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（）ABCD【变式3-1】（2020陕西模拟）如图，菱形ABCD的边长为3，BAD60，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF1，则DE+BF最小值为 【变式3-2】（2019春仪征市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF1，则DE+BF的最小值是 【跟踪训练】1.（2021春西乡塘区校级月考）如图，菱形ABCD的边长为8，BAD60，点E是边AB上一动点，

4、点F是对角线AC上一动点，则EF+BF的最小值为（）A8B4C4D42（2020翁牛特旗模拟）如图，菱形ABCD的周长为32，A120，E是BC的中点P是BD上任意一点，则PE+PC的最小值是（）A8BC6D3如图，在菱形ABCD中，AB4a，E在BC上，BE2a，BAD120，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（）A6aB5aC4aD2a4（2021碑林区校级三模）如图，菱形ABCD的面积是32，对角线交于点O，ABC120，若点E是AB的中点，点M在线段AC上，则BME周长的最小值为（）A4B4+4C8D165（2020春柯桥区期中）如图，菱形ABCD的边长为2，且ABC120，E是BC

5、的中点，P为BD上一点，且PCE的周长最小，则PCE的周长的最小值为（）A+1B+1C2+1D2+16（2021春新县期末）如图，菱形ABCD中，AB4，E、F分别是AB、BC的中点，P是AC上一动点，则PF+PE的最小值是（）A3BC4D7（2022雁塔区校级三模）如图，在ABCD中，AB6，BC8，ABC60，P是ABCD内一动点，且SPBCSPAD，则PA+PD的最小值为 8（2022春十堰月考）如图，在ABCD中，ABC60，BD平分ABC，BC3，点M为BC上一定点且BM1，在BC上有一动点Q，在BD上有一动点P，则PM+PQ的最小值为 9（2022陕西一模）如图，在菱形ABCD中，

6、AB8，ABC60，AC与BD交于点O，AECD于点E，F是OA的中点，P是AB边上的一个动点，则PEPF的最大值是 10（2022中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC3，ADC120，点E为对角线AC上的一动点，则EA+EB+ED的最小值为 （挑战压轴）专题1.4 菱形中求线段和最小值问题【方法技巧】【典例分析】【考点1 两定点，一动点】【典例1】（2021春海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC8，BD6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）A3B4C5D6【答案】C【解答】解：设AC交BD于O，作E关于A

7、C的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，PNPE，四边形ABCD是菱形，DABBCD，ADABBCCD，OAOC，OBOD，ADBC，E为AB的中点，N在AD上，且N为AD的中点，ADCB，ANPCFP，NAPFCP，ADBC，N为AD中点，F为BC中点，ANCF，在ANP和CFP中，ANPCFP（ASA），APCP，即P为AC中点，O为AC中点，P、O重合，即NF过O点，ANBF，ANBF，四边形ANFB是平行四边形，NFAB，菱形ABCD，ACBD，OAAC4，BOBD3，由勾股定理得：AB5，故选：C【变式1-1】（2020春庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC

8、与BD相交于点O，AB4，BD4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）A4B2C2D8【答案】C【解答】解：如图，设AC，BD相交于O，四边形ABCD是菱形，ACBD，AOAC，BOBD2，AB4，AO2，连接DE交AC于点P，连接BP，作EMBD于点M，四边形ABCD是菱形，ACBD，且DOBO，即AO是BD的垂直平分线，PDPB，PE+PBPE+PDDE且值最小，E是AB的中点，EMBD，EMAO1，BMBO，DMDO+OMBO3，DE2，故选：C【变式1-2】（2021埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线

9、BD上一动点，则EP+AP的最小值为（）A2B2C4D4【答案】B【解答】解：如图，作CEAB于E，交BD于P，连接AC、AP已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，ABBC4，ABCE8，CE2，在RtBCE中，BE2，BEEA2，E与E重合，四边形ABCD是菱形，BD垂直平分AC，A、C关于BD对称，当P与P重合时，PA+PE的值最小，最小值为CE2，故选：B【变式1-3】（2020陕西模拟）如图，在菱形ABCD中，AB6，ABC60，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN2，点M在BC上且BMBC，P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为 【答案】2【解答】解：如图所示，作以BD为对称

10、轴作N的对称点N，连接PN，MN，根据轴对称性质可知，PNPN，PMPNPMPNMN，当P，M，N三点共线时，取“”，在菱形ABCD中，AB6，ABC60，AC6，O为AC中点，AOOC3，AN2，ON1，ON1，CN2，AN4，BMBC64，CMABBM642，PMABCD，CMN60，NCM60，NCM为等边三角形，CMMN2，即PMPN的最大值为2，故答案为：2【考点2 一定点，两动点】【典例2】（2021春裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，D135，AD3，CE2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（）A2B3C2D【答案】D【解答】解：作点E关

11、于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PEPG，CECG2，连接BG，过点B作BHCD于H，则BCHCBH45，RtBHC中，BHCHBC3，HG321，RtBHG中，BG，当点F与点B重合时，PE+PFPG+PBBG（最短），PE+PF的最小值是故选：D【变式】（2020春碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，AB5，对角线BD8点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（）ABC5D【答案】B【解答】解：连接AC交BD于O，过C作CPAB于P，则此时，AQ+PQ的值最小，且最小值为CP的长度，在菱形ABCD中，AB5，对角线BD8，ACBD，BOBD4，AO3，AC6，S菱

12、形ABCDACBDABCP，CP，AQ+PQ的最小值为，故选：B【考点3 三动点】【典例3】（2021春东昌府区期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC6，BD8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（）ABCD【答案】D【解答】解：菱形ABCD中，ACBD，AB5，过N作NQAB于Q交BD于P，过P作PMBC于M，则PM+PNPN+PQNQ的值最小，S菱形ABCD685NQ，NQ，即PM+PN的最小值是，故选：D【变式3-1】（2020陕西模拟）如图，菱形ABCD的边长为3，BAD60，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF1，则DE+B

13、F最小值为 【答案】【解答】解：如图，作DMAC，使得DMEF1，连接BM交AC于F，DMEF，DMEF，四边形DEFM是平行四边形，DEFM，DE+BFFM+FBBM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，四边形ABCD是菱形，AB3，BAD60ADAB，ABD是等边三角形，BDAB3，在RtBDM中，BMDE+BF的最小值为故答案为【变式3-2】（2019春仪征市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF1，则DE+BF的最小值是 【答案】【解答】解：如图，作DMAC，使得DMEF1，连接BM交AC于F，DMEF，DMEF，四边

14、形DEFM是平行四边形，DEFM，DE+BFFM+FBBM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，四边形ABCD是正方形，AB3，BAD90ADAB，ABD是等腰直角三角形，BDAB3，在RtBDM中，BMDE+BF的最小值为故答案为【跟踪训练】1.（2021春西乡塘区校级月考）如图，菱形ABCD的边长为8，BAD60，点E是边AB上一动点，点F是对角线AC上一动点，则EF+BF的最小值为（）A8B4C4D4【答案】C【解答】解：连接DE、DF，四边形ABCD是菱形，AC，BD互相垂直平分，点B关于AC的对称点为D，FDFB，FE+FBFE+FDDE，当DEAB时，DE最短，AED中，

15、AD8，DAB60，ADE30，DEAB，DHAD84，故选：C2（2020翁牛特旗模拟）如图，菱形ABCD的周长为32，A120，E是BC的中点P是BD上任意一点，则PE+PC的最小值是（）A8BC6D【答案】B【解答】解：菱形ABCD的周长为32cm，ABBC8cm，BE4cm，A120，ABC60，菱形A与C关于BD对称，连接AE，则AEBC，AE即为PE+PC的最小值；在RtABE中，AEBE4；PE+PC的最小值为4故选：B3如图，在菱形ABCD中，AB4a，E在BC上，BE2a，BAD120，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（）A6aB5aC4aD2a【答案】2a【解答】解：A

16、BCD为菱形，A、C关于BD对称，连AE交BD于P，则PE+PCPE+APAE，根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值BAD120，ABEBAC60，ABC为等边三角形，又BECE，AEBC，AE2a4（2021碑林区校级三模）如图，菱形ABCD的面积是32，对角线交于点O，ABC120，若点E是AB的中点，点M在线段AC上，则BME周长的最小值为（）A4B4+4C8D16【答案】B【解答】解：连接DE交AC于M，连接DB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则MDMB，ME+MBME+MDDE，即DE就是ME+MB的最小值，ABC120，BAD60，ADAB，A

17、BD是等边三角形，AEBE，DEAB（等腰三角形三线合一的性质）设菱形的边长为m，DEADm，菱形ABCD的面积是32，SABD16，ABDE16，即mm16，解得m8，DEm4，BEm4，BME周长的最小值为：DE+BE4+4故选：B5（2020春柯桥区期中）如图，菱形ABCD的边长为2，且ABC120，E是BC的中点，P为BD上一点，且PCE的周长最小，则PCE的周长的最小值为（）A+1B+1C2+1D2+1【答案】B【解答】解：菱形ABCD中，ABC120，BCCDAD2，C180ABC60，ADCABC120，ADBBDCADC60，BCD是等边三角形，点E是BC的中点，BDEBDC3

18、0，ADEADB+BDE90，如图，连接AE，交BD于点P，此时，PCE的周长最小，DECDsin60，CEBC1，在RtADE中，AE，四边形ABCD是菱形，BD垂直平分AC，PAPC，PCE周长为：PC+PE+CEPA+PE+CEAE+CE+1，故选：B6（2021春新县期末）如图，菱形ABCD中，AB4，E、F分别是AB、BC的中点，P是AC上一动点，则PF+PE的最小值是（）A3BC4D【答案】C【解答】解：四边形ABCD是菱形，直线AC是菱形的对称轴，作E关于AC的对称点E，连接EF，则EF即为PE+PF的最小值，AC是DAB的平分线，E是AB的中点，E在AD上，且E是AD的中点，A

19、DAB，AEAE，F是BC的中点，EFAB4PE+PF的最小值为4，故选：C7（2022雁塔区校级三模）如图，在ABCD中，AB6，BC8，ABC60，P是ABCD内一动点，且SPBCSPAD，则PA+PD的最小值为 【答案】4【解答】解：如图所示，过P作直线lAD，作点A关于l的对称点A，连接AA，交l于E，交BC于F，连接AP，则APAP，AEAE，AABC，AP+PDAP+PD，当A，P，D在同一直线上时，AP+PD的最小值等于AD的长，AB6，ABC60，BFABcos603，AF3，又SPBCSPAD，AEAF2，AA2AE4，BC8，AD8，RtAAD中，AD4，PA+PD的最小值

20、为4，故答案为：48（2022春十堰月考）如图，在ABCD中，ABC60，BD平分ABC，BC3，点M为BC上一定点且BM1，在BC上有一动点Q，在BD上有一动点P，则PM+PQ的最小值为 【答案】【解答】解：如图，在BA上取一点Q，使得BQBQ，连接PQ，过点M作MNAB于点N在RtBMN中，MNB90，BM1，MBN60，MNBMsin60BD平分ABC，ABDCBD，BPBP，BQBQ，PBQPBQ（SAS），PQPQ，PM+PQPM+PQMN，PM+PQ的最小值为，故答案为：9（2022陕西一模）如图，在菱形ABCD中，AB8，ABC60，AC与BD交于点O，AECD于点E，F是OA的

21、中点，P是AB边上的一个动点，则PEPF的最大值是 【答案】2【解答】解：连接EF，作EHAC于H当P、E、F在同一直线上时，PEPF取最大值，最大值为EF.四边形ABCD是菱形，AB8，ADABCDBC8，ABC60，ACADCD8，OA4，F是OA的中点AF2，CF6，AECD，EDEC4，CH2，HE2，HFCFCH624，EF2，即PEPF的最大值是2，故答案为：210（2022中山市二模）如图，菱形ABCD的对角线AC3，ADC120，点E为对角线AC上的一动点，则EA+EB+ED的最小值为 【答案】3【解答】解：以点A为旋转中心，将AED旋转60到AED，连接EE，作BHDA于H则DEDE，DADA，AEAE，AEE为等边三角形，AEEE，EA+EB+EDEE+EB+EDBD，即EA+EB+ED的最小值为BDADC120，四边形ABCD为菱形，DAB60，DAC30，DAE30，D30，DAC90，HAB60，AC3，ADACABBC，AHAB，HBAH，BD2HB23，即EA+EB+ED的最小值为3