专题1.5 二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题1.5 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质（基础篇)（专项练习）一、单选题1抛物线的图象可能是（）ABCD2二次函数y=x2的图象经过的象限是（）A第一、二象限B第一、三象限C第二、四象限D第三、四象限3若二次函数yax2的图象经过点P（，2），则该图象必经过点（）A（，2）B（2，）C（2，）D（，2）4下列四个选项中，函数yax+a与yax2（a0）的图象表示正确的是（）ABCD5若二次函数的图象经过点，则的值为（）ABCD6已知二次函数y（a1）x2，当x0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（ ）Aa0Ba1Ca1Da17二次函数ya，当a0时，y的值恒小于0，则自变量x的取

2、值范围（）Ax可取一切实数Bx0Cx0Dx08若点P(1，a)、Q(1，b)都在函数y=x2的图象上，则线段PQ的长是（）Aa+bBabC4D29已知、，它们的图像开口由小到大的顺序是（）ABCD10已知抛物线与的形状相同，则的值是（）A4BCD111下列二次函数的图象中，开口最大的是（）ABCD12如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是y=a1x2；y=a2x2；y=a3x2，则a1，a2，a3的大小关系是（）Aa1a2a3Ba1a3a2Ca3a2a1Da2a1a313抛物线，y=x2，y=-x2的共同性质是：都开口向上；都以点(0，0)为顶点；都以y轴为对称轴其中正确的个数有（）A0个

3、B1个C2个D3个14在同一坐标系中，作出，的图象，它们的共同点是（）A关于y轴对称，抛物线的开口向上B关于y轴对称，抛物线的开口向下C关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点D关于原点对称，抛物线的顶点都是原点15若在同一直角坐标系中，对于抛物线，下列说法正确的是（）A开口方向相同B都有最低点C都经过原点D对称轴都是轴16若在同一直角坐标系中，作，的图像，则它们（）A都关于y轴对称B开口方向相同C都经过原点D互相可以通过平移得到17已知点（1，y1），（2，y2）都在函数yx2的图象上，则（）Ay1y2By1y2Cy1y2Dy1，y2大小不确定18下列关于二次函数y2x2的说法正确的是（）A它的图

4、象经过点（1，2）B它的图象的对称轴是直线x2C当x0时，y随x的增大而增大D当12时，y有最大值为8，最小值为019已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（）ABCD20下列函数中，当x0时，y值随x值的增大而增大的是（）ABCD21如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30，点A在抛物线的图象上，则a的值为（）ABCD22如图，菱形对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且以为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段，上，设，新作菱形的面积为，则反映与之间函数关系的图象大致是（）A BCD23圆的面积与其半径的函数关系用图象表示大致是（）ABCD24象

5、棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动如图是一方的棋盘，如果“马”的坐标是（-2，2），它是抛物线y=ax2（a0）上的一个点，那么下面哪个棋子也在该抛物线上（）A帥B卒C炮D仕二、填空题25画二次函数yx2的图象： _在y x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值：x-3-2-10123y=x29410149 _根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点 _用平滑曲线顺次连接各点，就得y x2的图象26函数的部分对应值如下表：012202根据表格回答：（1）_， _；（2）函数的解析式为 _，定义域是 _；（3）请

6、再举一些对应值，猜测该函数的图像关于_轴对称27已知两个二次函数的图像如图所示，那么 a1_a2（填“”、“”或“”）28二次函数、的图象如图所示，则m_n（填“”或“”）29已知二次函数的图象开口向下，则m的值为_30函数yax2（a0）中，当x0时，y随x的增大而_31若抛物线过点，则_32已知二次函数yax2开口向下，且|2a|3则a_33如图，正方形的边长为4，以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系，作出函数yx2与yx2的图象，则阴影部分的面积是_34二次函数的图像如图所示，则m_n（填“”或“”）35如图，正方形的边长为3，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y2x

7、2与y2x2的图像，则图中阴影部分的面积是_36如图所示，在同一坐标系中，作出y=3x2y=x2y=x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）_37通过_法画出和的图像：通过图像可知：的开口方向_，对称轴_，顶点坐标_的开口方向_，对称轴_，顶点坐标_38已知二次函数y2x24，则其图象开口向_，对称轴为_，顶点坐标为_39二次函数的图象都是_抛物线的图象性质： （1）抛物线的对称轴是_，顶点是_；（2）当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最_点；当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最_点；（3） |a|越大，抛物线的开口越_40二次函数的性质：一般地，当a0

8、时，抛物线的开口_，对称轴是_，顶点是_，顶点是抛物线的最_点，a越大，抛物线的开口越_一般地，当a0时，抛物线的开口_，对称轴是_，顶点是_，顶点是抛物线的最_点，a越小，抛物线的开口越_41若点，在抛物线上，则，的大小关系为：_（填“”，“=”或“”）42二次函数y=，当x0时，y随x增大而增大，二次函数的图象开口向上，a-10，即：a1，故选B【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键7D【分析】根据0，a0，得到a0，根据y的值恒小于0，判定x0解：0，a0，a0，y的值恒小于0，x0故选D【点拨】本题考查了抛物线的性质，实数的非负性，熟

9、练掌握抛物线的性质是解题的关键8D【分析】把P（1，a）、Q（1，b）分别代入y=x2得a和b的值，从而得到P、Q点的坐标，然后再计算两点之间的距离即可解：把P（1，a）、Q（1，b）分别代入y=x2得a=12=1，b=（1）2=1，即P（1，1），Q（1，1），PQ=1（1）=2故选：D【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质9C【分析】抛物线的开口大小与二次项系数的绝对值大小有关，绝对值越大，则开口越小，根据这个关系即可确定答案解：，二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小故选：C【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数

10、图象与性质是关键10C【分析】根据二次函数的图像形状相同，二次项系数的绝对值相等，即可求解解：抛物线与的形状相同，=故选C【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像形状和二次函数的二次项系数的关系，是解题的关键11C【分析】由|a|的绝对值越大其开口越小进行选择即可解：在y=ax2（a0）中，当|a|的绝对值越大时其开口越小，|-1|=|1|2|，二次函数y=x2的开口最大，故选：C【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的大小决定是解题的关键12A【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案解：如图所示：y=a1x2的开口小于y=a2

11、x2的开口，则a1a20，y=a3x2，开口向下，则a30，故a1a2a3故选：A【点拨】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键13C【分析】根据二次函数图象的性质判定即可解：抛物线y=，y=x2的开口向上，y=x2的开口向下，错误；抛物线y=，y=x2，y=x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，正确；综上分析可知，正确的个数为2个，故C正确故选：C【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键14C【分析】在同一坐标系中，作出，的图象，根据开口方向，顶点坐标，对称轴分析即可解：如图，y2x2，y-2x2，的图象都是关于y轴对称的，

12、其顶点坐标都是(0，0)故选C【点拨】本题考查了的图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键15D【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向可判断A，根据抛物线的顶点可判断B与C，根据抛物线的对称轴可判断D解：抛物线，a=20，开口向上，抛物线，a=20，开口向上，a=-20，开口向下，故选项A不正确；抛物线开口向上有最低点（0，0），抛物线开口向上，有最低点（0，0），抛物线开口向下，有最高点（0，），故选项B不正确；抛物线的顶点是原点， 和抛物线不过原点，故选项C不正确；抛物线的对称轴为y轴，的对称轴为y轴，的对称轴为y轴，故选项D正确故选择D【点拨】本题考查抛物线的性质，开口方向，顶点，

13、对称轴，掌握抛物线的性质是解题关键16A【分析】根据二次函数的图像和性质逐项分析即可解：A.因为，这三个二次函数的图像对称轴为，所以都关于轴对称，故选项A正确，符合题意；B.抛物线，的图象开口向上，抛物线的图象开口向下，故选项B错误，不符合题意；C.抛物线，的图象不经过原点，故选项C错误，不符合题意；D.因为抛物线，的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D选项错误，不符合题意；故选A【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键17B【分析】分别求出和的值即可得到答案解：点（1，y1），（2，y2）都在函数yx2的图象上，故选B【点拨】本题主要考

14、查了二次函数图像上点的坐标特征，正确求出和是解题的关键18D【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意；二次函数y=2x2的图象的对称轴是直线y轴，故选项B不合题意；当x0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；二次函数y=2x2，在-1x2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D符合题意；故选：D【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键19D【分析】根据函数的性质解答解：二次函数，当时，y随x增大而减小，a-10，故选：D【点

15、拨】此题考查了二次函数的性质：当a0时，开口向上，对称轴是y轴，对称轴左小右大；当a0时，开口向下，对称轴是y轴，对称轴左大右小，熟记性质并应用是解题的关键20B【分析】根据抛物线的图象的性质即可判断解：根据抛物线的图象的性质，当a0时，在对称轴（x=0）的左侧，y值随x值的增大而增大，故选B【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握的图象的性质是解题的关键21D【分析】过点C、A分别作CDx轴，AEx轴，垂足分别为D、E，可得CODOAE，在 中，由COD=60， 可得OCD=30，从而得到 ， ，进而得到 ，可得到点 ，即可求解解：如图，过点C、A分别作CDx轴，AEx轴，垂足分别为D、E，根

16、据题意得AOC=90，OA=OC=2，COD=90-30=60，AOE+COD=90，CDx轴，AEx轴，CDO=OEA=90，AOE+OAE=90，COD=OAE，CODOAE，AE=OD，OE=CD，在 中，COD=60，OCD=30， ， ， ，点 ，把代入，得： ，解得： 故选：D【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到CODOAE是解题的关键22C【分析】，即可求解解：设OB=a，则OP=a-x，则OQ=OPtanQPO=（a-x）tanQPO，故2tanQPO为大于0的常数，故上述函数为开口向上的抛物线，且x=a时，y取得最大值

17、0，故选：C【点拨】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解23C【分析】根据圆的面积公式即可找出圆的面积与其半径的函数关系式，结合二次函数的图象即可得出结论解：圆的面积与其半径的函数关系式为，其函数图象与选项相符故选C.【点拨】考查二次函数的图象，列出圆的面积与其半径的函数关系式是解题的关键，注意满足实际意义.24B【分析】根据抛物线的轴对称性结合图形进行解答即可解：“马”的坐标是(2，2)，抛物线y=ax (a0)的对称轴为y轴，“马”是抛物线y=ax (a0)上的一个点，根据抛物线的对称性得出“卒”在该抛物线上，故选B【点拨】本题考查了抛

18、物线的轴对称性，熟练掌握是解题的关键25 列表 描点 连线略26 2 8 一切实数 y【分析】（1）把x=-1，y=2代入，得a=2，可得，把x=2，y=b代入中，得b=8；（2）由（1）可得函数解析式，定义域是一切实数；（3）当x=-2，x=-3，x=3时，分别计算出对应的y值，然后观察数据即可得到结论解：（1）把x=-1，y=2代入，得a=2，函数解析式为：，把x=2，y=b代入中，得b=8，故答案为：a=2，b=8（2）函数的解析式为，定义域是一切实数，故答案为：，一切实数（3）当x=-2时，y=8；当x=-3时，y=18；当x=3时，y=18；可得该函数的图像关于y轴对称故答案为：y【

19、点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质是解题的关键27【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案解：如图所示：的开口小于的开口，则a1a2，故答案为：.【点拨】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键28解：令x1，则y1m，y2n，由图象可知当x1时，y1y2，mn故答案为【点拨】本题主要考查了二次函数的图象，数形结合是解决此题的关键29【分析】根据二次函数的定义及开口向下时m+10即可解答解：根据题意得：解得：故答案为：【点拨】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质30减小【分

20、析】先根据二次函数解析式即可得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，则当x0时，y随x的增大而减小解：二次函数解析式为yax2（a0），二次函数开口向上，对称轴为y轴，当x0时，y随x的增大而减小，故答案为：减小【点拨】本题主要考查了二次函数的增减性，熟知二次函数图像的性质是解题的关键319【分析】由题意易得点A、B关于二次函数的对称轴对称，进而可得，然后求解a的值，最后代入二次函数解析式求解b的值即可解：由抛物线过点，可得：该二次函数的对称轴为直线，点A、B关于二次函数的对称轴对称，解得：，把代入抛物线解析式得：，；故答案为9【点拨】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键

21、32-1【分析】根据二次函数开口朝下，得到，进而得到，即，即可求得a的值解：二次函数yax2开口向下，解得，故答案为【点拨】本题考查了二次函数的性质，绝对值的化简，关键是根据二次函数的开口方向判断a的正负338【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积解：函数yx2与yx2的图象关于x轴对称，图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而边长为4的正方形面积为16，所以图中的阴影部分的面积是8故答案为8【点拨】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据

22、正方形的面积即可解答34【分析】令x1，则y1m，y2n，结合图像求解即可解：令x1，则y1m，y2n，由图像可知当x1时，y1y2，mn故答案为【点拨】本题主要考查了二次函数的图像，数形结合是解决此题的关键354.5【分析】函数y2x2与y2x2的图象关于x轴对称，又因正方形的边长为3，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，可得出阴影部分的面积为正方形面积的一半，即可求解解：函数y2x2与y2x2的图像关于x轴对称，图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而边长为3的正方形面积为9，所以图中的阴影部分的面积为4.5，故答案为4.5【点拨】本题考查了抛物线yax2的性质，熟知yax2与ya

23、x2的图象关于x轴对称是解决问题的关键36(1)(3)(2)【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄解：y=3x2，y=x2，y=x2中，二次项系数a分别为3、1，31，抛物线y=x2的开口最宽，抛物线y=3x2的开口最窄故依次填：【点拨】二次函数的图象37 描点 向上 y轴 向上 y轴 【分析】根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，顶点坐标即可解：通过描点法画出和的图像，通过图像可知：的开口方向向上，对称轴为轴，顶点坐标为，的开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标，故答案为：描点；向上；y轴；向上；y轴；【点拨】本题考查了画函

24、数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的图像是解本题的关键38 下 【分析】根据二次函数的性质分别解答即可解：二次函数，图象开口向下，对称轴为直线，当时，顶点坐标为故答案为：下；【点拨】本题考查了二次函数的开口方向，对称轴与顶点坐标的确定，解题的关键是熟练掌握二次函数图象及性质39 抛物线 y轴 原点 低 高 小略40 向上 y轴 原点 低 小 向下 y轴 原点 高 小略41【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论解：若点A(1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=2x2上，y1=2（-1）2=2，y2=24=8，28，y1y2故答案为：.【点拨

25、】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键42【分析】根据二次函数定义可列出方程，再根据当x0时，y随x的增大而增大，可确定m的值解：由题意得，解得，当x【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论解：点A（-3，y1），B（1，y2）在抛物线上，y1y2故答案为：【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键44 4 0【分析】利用二次函数图像找到范围内的图像变化规律，从而求解解：二次函数，对称轴为y轴，顶点为原点，开口向上，y轴左边y随x的

26、增大而减小，在y轴右边，y随x的增大而增大当时，最小值是当x0时，y0；当x1时，y1；当x2时，y4故答案为4；0【点拨】本题主要考查二次函数图像与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键本题难度不大，注意顶点在不等式范围内，顶点为最小值45a0【分析】根据m、n关于y轴对称，则mn0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号解：抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴，A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称，mn0，又mnc0，即抛物线与y轴的正半轴相交，又抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0），函数开口向下，a0故答案是：a0【点拨

27、】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键46【分析】连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线及正方形的面积为18可得BOC=45，OB=6，过点B作BDy轴于D，然后求出BOD=60，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得OD=OB，再利用勾股定理列式求出BD，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可解：如图，连接OB，过点B作BDy轴于D，正方形的面积为18，BOC=45，OB=6，OC与y轴正半轴的夹角为15，BOD=45+15=60，OBD=30，OD= OB=3，BD= ，点B的坐标为（ ，3），点B在抛物线y=ax2（a0）的

28、图象上，a（ ）2=3，解得a= 故答案为： 【点拨】本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出点B的坐标是解题的关键47a3【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题解：设抛物线的解析式为yax2，当抛物线经过（1，3）时，a3，当抛物线经过（3，1）时，a，观察图象可知a3，故答案为：a3【点拨】本题考查抛物线与正方形的交点问题，掌握抛物线与点的关系，利用待定系数方法求出抛物线张口最小时a的值与张口最大时a的值是解题关键48或【分析】作出图象，首先求得线段AB

29、的长，然后利用面积求得点P的纵坐标，从而求得点P的坐标解：如图，令y=2则y=x2=2，解得：x=，A（，2），B（，2），AB=，设点P（x，x2），SABP=x2=，解得：x2=2，点P在y=2上方，点P的坐标为或，故答案为：或.【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意作出图形，难度不大49(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，1）(2)图像见分析【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象(

30、1)解：（1）二次函数yx21，抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴；(2)解：在yx21中，令y0可得x21=0解得x1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；令x0可得y1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；又顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴，再求出关于对称轴对称的两个点，将上述点列表如下：x-2-1012yx2130-103描点可画出其图象如图所示：【点拨】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标以及二次函数抛物线的画法解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐

31、标50（1）；（2）【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式；（2）先根据面积求得点的纵坐标，再代入直线的解析式可得其横坐标，然后将点的坐标代入二次函数即可得解：（1）设直线的解析式为，将点代入得，解得，故直线的表达式为；（2）如图，过点作轴于点，设点的坐标为，则，的面积为，解得，将点代入得：，解得，则，将点代入得：，解得，故的值为【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键51（1）（3）抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；（2）（4）抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）【分析】（1）根据如果抛物线，那么其对称轴为

32、轴，顶点坐标为（0，0），如果a0开口向上，a0开口向下进行求解即可；（2）根据如果抛物线，那么其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），如果a0开口向上，a0开口向下进行求解即可；（3）根据如果抛物线，那么其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），如果a0开口向上，a0开口向下进行求解即可；（4）根据如果抛物线，那么其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），如果a0开口向上，a0开口向下进行求解即可解：（1）抛物线解析式为a30，抛物线y3x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；（2）抛物线解析式为：，a-30， 抛物线y-3x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；（3）抛物线解析式为：，a抛物线yx2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；（4）抛物线解析式为：，a，抛物线yx2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）【点拨】本题主要考查了二次函数的开口方向，二次函数的对称轴，顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解