专题1.5 平面图形的认识（1）苏科版初中数学单元考点题型举一反三讲练（学生版） 购买认准店铺名：学霸冲冲冲.docx

1、专题1.5 平面图形的认识（一）单元考点题型举一反三讲练【苏科版】 【考点1 直线、射线、线段的表示与计数】【方法点拨】线段：(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”射线：将线段向一个方向无限延长就得到了射线射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的射线的表示法：两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，若点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.注意：表示射线的两个大写字母，其

2、中一个一定是端点，并且要把它写在前面端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线两条射线为同一射线必须具备的两个条件：端点相同；延伸的方向相同直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的直线的两种表示方法：一条直线可以用一个小写字母表示，可记作：直线a.一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，可记作：直线AB或直线BA.【例1】（2020秋苍溪县期末）如图，点C是线段BD之间的点，有下列结论图中共有5条线段；射线BD和射线DB是同一条射线；直线BC和直线BD是同一条直线；射线AB，AC，AD的端点相同，

3、其中正确的结论是（）ABCD【变式1-1】（2020春广饶县期末）如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上线段AB与射线MN不相交；点C在线段AB上；直线a和直线b不相交；延长射线AB，则会通过点C其中正确的语句的个数有（）A0个B1个C2个D3个【变式1-2】（2020秋丰南区期末）下列语句正确的是（）A延长线段AB到C，使BCACB反向延长线段AB，得到射线BAC取直线AB的中点D连接A、B两点，并使直线AB经过C点【变式1-3】如图所示，能用所给字母表示的直线有 条，射线有 条，线段有 条【考点2 平行线与垂线】【方法点拨】平行线：在同一平面内不相交的两

4、条直线叫做平行线；基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.垂线的基本性质是：过直线上或直线外的一点,有且只有一条直线和已知直线垂直（在同一平面内）；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短.【例2】（2020春港南区期末）下列说法不正确的是（）A过任意一点可作已知直线的一条平行线B同一平面内两条不相交的直线是平行线C在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D平行于同一直线的两直线平行【变式2-1】（2019春邱县期末）下列语句：不相交的两条直线叫平行线在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线C

5、D平行如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行过一点有且只有一条直线与已知直线平行正确的个数是（）A1B2C3D4【变式2-2】（2020春丛台区校级月考）如果直线ON直线a，直线OM直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（）A两点确定一条直线B在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直C在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D两点之间，线段最短【变式2-3】（2020春长安区校级月考）下列说法：两点之间的所有连线中，线段最短；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；直线外一点到

6、这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（）A4个B3个C2个D1个【考点3 作图题】【方法点拨】依据直线、射线、线段的定义及两点之间线段最短、垂线段最短作图即可.【例3】（2020秋台州期末）已知：如图，平面上有A、B、C、D、F五个点，根据下列语句画出图形：（）直线BC与射线AD相交于点M；（）连接AB，并反向延长线段AB至点E，使AE=12BE；（）在直线BC上求作一点P，使点P到A、F两点的距离之和最小；作图的依据是 【变式3-1】（2019秋苍南县期末）已知点A，B，C如图所示，根据要求完成下列各题（1）画直线BC，线段AB和射线CA（2）过点A画BC的垂线段AD，垂足为

7、D，并量出点A到直线BC的距离为 cm（以答题纸为测量依据，结果精确到0.1cm）【变式3-2】（2020秋北仑区期末）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据【变式3-3】（2020春赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由【考点4 线段的

8、计算（方程思想）】【例4】（2020秋殷都区期末）如图，C，D是线段AB上的两点，已知M，N分别为AC，DB的中点，AB18cm，且AC：CD：DB1：2：3，求线段MN的长【变式4-1】（2020秋渝北区期末）如图所示点C，B是线段AD上的两点，AC：CB：BD3：1：4，点E，F分别是AB，CD的中点，且EF14，求AB，CD的长【变式4-2】（2020秋乐都区期末）如图所示，线段AB上有两点M，N，AM：MB5：11，AN：NB5：7，MN1.5，求AB长度【变式4-3】（2020秋南开区期末）如图，线段BD=14AB=15CD，点E、F分别是线段AB、CD的中点，EF14cm，求线段A

9、B、CD的长【考点5 线段的计算（分类讨论思想）】【例5】（2020秋南关区校级期末）在直线l上有A、B、C三个点，已知BC3AB，点D是AC中点，且BD6cm，求线段BC的长【变式5-1】（2020秋宿豫区期末）画直线l，并在直线l上任取三个点A、B、C，使AB10，BC4，分别画线段AB、BC的中点E、F，求线段EF的长【变式5-2】（2019秋咸丰县期末）已知线段AB14，在AB上有四个点C，D，M，N，且AC：CD：DB1：2：4，AM=12AC，DN=16DB，计算线段MN的长【变式5-3】（2019秋柘城县期末）已知：点M是线段AB上（1）如图1，点C在线段AM上，且AC=13AM

10、，点D在线段BM上，且BD=23BM若AB18cm，求AC+MD的值（2）如图2，若AM=14AB，点N是直线AB上一点，且ANBN=23MN，求MNAB的值【考点6 线段的计算（含参问题）】【例6】（2019秋郊区期末）（1）如图1，线段AC6cm，线段BC15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB1：2，求MN的长（2）如图2，若C为线段AB上任意一点，满足AC+CBacm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上的一点，且满足ACBCbcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由【变式6-1】

11、（2019秋汾阳市期末）已知点C，线段AB（1）如图，若点C在线段AB上，且AC12，BC8，点M、N分别是AC、BC的中点，则线段MN的长度是 ；（2）若把（1）中点C在线段AB上，且AC12，BC8，改为点C是线段AB上任意一点，且ACa，BCb，其他条件不变，请求出线段MN的长度（用含a、b的式子表示）；（3）若把（2）中点C是线段AB上任意一点，改为点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果【变式6-2】（2019秋襄城县期末）已知线段ABm（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ2AQ，CP2BP（1）如

12、图，若AB6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ ；（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ2PQ与1的大小关系，并说明理由【变式6-3】（2019秋金牛区期末）已知线段ABm（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN3AN，CM3BM（1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m8时，则MN ；（2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM2MN的值是否与m有关？并说明理由

13、（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）【考点7 线段的计算（动点问题）】【例7】（2019秋宽城区期末）如图，AB10cm，C是线段AB上一个动点，沿ABA以2cm/s的速度往返运动一次，D是线段BC的中点，设点C的运动时间为t秒（0t10）（1）当t2时，求线段CD的长（2）当t6时，求线段AC的长（3）求运动过程中线段AC的长（用含t的代数式表示）（4）在运动过程中，设AC的中点为E，线段DE的长是否发生变化？若不变，直接写出DE的长；若发生变化，请说明理由【变式7-1】（2020秋锦江区校级期中）（1）如图

14、1，已知点C在线段AB上，线段AC10厘米，BC6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BCACa，请根据题意画出图形并求MN的长度；（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【变式7-2】（2019秋新都区期末）如图，直线l上有A，B两点，AB12cm，点O是线段AB上的一点，OA2OB

15、（1）OA cm，OB cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足ACCO+CB，求CO的长；（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动求当t为何值时，2OPOQ4（cm）；【变式7-3】（2019秋秦淮区期末）【探索新知】如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”（1）一条线段的中点是这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）【深入研究】如图2，点A表示数10

16、，点B表示数20，若点M从点B，以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，设运动的时间为t秒（2）点M在运动过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）；（3）求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；（4）同时点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值【考点8 钟面角的计算】【方法点拨】计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30的规律，计算出分针与时针的夹角的度数分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：36060=6时针：12小时转一圈，

17、每分钟转动的角度为：3601260=0.5【例8】（2019秋顺城区期末）如图，八点三十分时针与分针所成的角是（）A75B65C55D45【变式8-1】（2020春五华区校级月考）11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（）A140B130C120D110【变式8-2】（2020春广饶县期末）当时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是多少度（）A115B120C105D90【变式8-3】（2019秋清苑区期末）下列时刻中的时针与分针所成的角最大的是（）A1：00B3：03C5：05D10：10【考点9 度分秒的换算】【方法点拨】度、分、秒是常用的角的度量单位1度=60分，即1=60，1分=6

18、0秒，即1=60具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法【例9】（2020春莱州市期中）35.48 度 分 秒【变式9-1】（2019秋岳阳楼区校级期末）35.15 ；121536 【变式9-2】（2020春肥城市期末）计算：651948+35176 （将计算结果换算成度）【变式9-3】（2020秋柘城县期末）计算：181354928524【考点10 余角和补角的认识】【方法点拨】余角：如果两个角的和等于90（直角），就说这两个

19、角互为余角即其中一个角是另一个角的余角补角：如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角即其中一个角是另一个角的补角性质：等角（同角）的补角相等等角（同角）的余角相等【例10】（2020春高新区校级月考）已知1和2互为余角，且2与3互补，160，则3为（）A120B60C30D150【变式10-1】（2020春六盘水期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少20，这个角的度数是（）A30B35C40D45【变式10-2】（2019秋裕安区期末）已知和互补，且，则有下列式子：90；90；12（+）12（）；12（90），其中，表示的余角的式子有（）A4个B3个C2个D1个【变式10-3】

20、（2020春雨花区校级月考）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（）ABOADOCBBOADOC90CBOA+DOC180DBOCDOA【考点11 角度的计算（对顶角、邻补角）】【例11】（2019秋姜堰区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OMAB（1）若12，求NOD的度数；（2）若AOD31，求AOC和MOD的度数【变式11-1】（2019秋武侯区期末）如图，射线OC的端点O在直线AB上，OEOC于点O，且OE平分BOD，OF平分AOE，若BOC70，分别求DOE与DOF的度数【变式11-2】（2020春公主岭市期

21、中）如图，直线AB，CD相交于点O，OMAB（1）AOC的邻补角为 （写出一个即可）；（2）若12，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；（3）若1=14BOC，求MOD的度数【变式11-3】（2020春芝罘区期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，BOE90（1）若BOD40，求COE的度数；（2）若AOC：BOC3：7，求DOE的度数【考点12 角度的计算（方程思想）】【例12】（2019秋息县期末）如图，OC平分AOB，AOD：BOD3：5，已知COD15，求AOB的度数【变式12-1】（2019秋渝中区校级期末）如图所示，AB为一条直线，OC是AOD的平分线，OE在BOD内，DOE：

22、BOD2：5，COE80，求EOB的度数【变式12-2】如图，A，O，B三点在一条直线上，AOC3COD，OE平分BOD，COE80，求COD的度数【变式12-3】（2019秋青龙县期末）如图，OC是AOD的平分线，OE是BOD的平分线（1）若AOB120，则COE是多少度？（2）如果BOC3AOD，EODCOD30，那么BOE是多少度？【考点13 角度的计算（分类讨论思想）】【例13】（2019秋沧州期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使COD90，当AOC50时，BOD的度数是 【变式13-1】（2019秋渝中区校级期末）平面内，已知AOB90，BOC20，OE平分AOB

23、，OF平分BOC，则EOF 【变式13-2】（2019秋蜀山区期末）已知，在同一平面内，AOB30，射线OC在AOB的外部，OD平分AOC，若BOD40，则AOC度数为 【变式13-3】已知AOB90，射线OC在AOB内部，且AOC20，COD50，射线OE、OF分别平分BOC、COD，则EOF的度数是 【考点14 角度的计算（旋转含参问题）】【例14】（2020秋长兴县期末）如图1，已知AOB150，COE与EOD互余，OE平分AOD（1）在图1中，若COE32，则DOE ；BOD ；（2）在图1中，设COE，BOD，请探索与之间的数量关系；（3）在已知条件不变的前提下，当COD绕点O逆时针

24、转动到如图2的位置时，（2）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出与的数量关系【变式14-1】（2019秋普宁市期末）如图1直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，射线OE平分AOD（1）若COE40，则BOD （2）若COE，求BOD（请用含的代数式表示）；（3）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测COE与BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由【变式14-2】（2019秋沈河区期末）已知：点O为直线AB上一点，COD90，射线OE平分AOD，设COE，（1）如图所示，若25，则BOD （2）若将COD绕点O旋转至图

25、的位置，试用含的代数式表示BOD的大小，并说明理由；（3）若将COD绕点O旋转至图的位置，则用含的代数式表示BOD的大小，即BOD （4）若将COD绕点O旋转至图的位置，继续探究BOD和COE的数量关系，则用含的代数式表示BOD的大小，即BOD 【变式14-3】（2020秋南陵县期末）已知AOB130，COD80，OM，ON分别是AOB和COD的平分线（1）如果OA，OC重合，且OD在AOB的内部，如图1，求MON的度数；（2）如果将图1中的COD绕点O点顺时针旋转n（0n155），如图2，MON与旋转度数n有怎样的数量关系？说明理由；当n为多少时，MON为直角？（3）如果AOB的位置和大小不

26、变，COD的边OD的位置不变，改变COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m（0m100），如图3，MON与旋转度数m有怎样的数量关系？说明理由【考点15 角度的计算（旋转动态问题）】【例15】（2019秋海州区校级期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0t60，单位秒）（1）当t3时，求AOB的度数；（2）在运动过程中，当AOB第二次达到72时，求t的值；（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值

27、；如果不存在，请说明理由【变式15-1】（2019秋雨花区校级期末）一副三角尺（分别含45，45，90和30，60，90）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0刻度线重合，边AP与量角器180刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10的速度顺时针旋转，当边PB与0刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t（1）当t5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 度；（2）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转当t为何值时，边PB平分CPD；在旋转过程中，是否存在某一时刻使BPD2APC，若

28、存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由【变式15-2】（2019秋吴兴区期末）【阅读理解】射线OC是AOB内部的一条射线，若COA=12BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线例如，如图1，AOB60，AOCCODBOD20，则AOC=12BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于BOD=12AOD，称射线OD是射线OB的伴随线【知识运用】（1）如图2，AOB120，射线OM是射线OA的伴随线，则AOM ，若AOB的度数是，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是AOB的平分线，则NOC的度数是（用含的代数式表示）（2）如图3，如AOB180，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒

29、3的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止是否存在某个时刻t（秒），使得COD的度数是20，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线【变式15-3】（2019秋恩施市期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，AOC30，将一直角三角尺（M30）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分BOC时，如图2求t值；试说明此时ON平

30、分AOC；（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设AON，COM，当ON在AOC内部时，试求与的数量关系；（3）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分MON？请说明理由【考点16 线段与角的规律探究】【例16】（2019秋曲沃县期末）小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+23条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+36条一条直线

31、上有10个点，线段共有 条（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有 条（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角AOB（AOB180）；在AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC共形成 个角（4）解决问题：曲沃县某学校九年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？【变式16-1】（1）在AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；（2）在AOB内部画2条射线

32、OC，OD，则图2中有 个不同的角；（3）在AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；（4）在AOB内部画10条射线OC，OD，OE，则图中有 个不同的角；（5）在AOB内部画n条射线OC，OD，OE，则图中有 个不同的角【变式16-2】（2019春张店区期末）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性（3）拓展应用：从十二边形的一个顶点出发画出这个多边形的对角线，可以画 条；8位同学参加班上组织的

33、象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题【变式16-3】（2019秋李沧区期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们

34、连接起来由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成54条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有542=10条线段，所以该校一共要安排10场比赛（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图，我们可知该校一共要安排 场比赛；（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手 次拓展提高：（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为 种