专题1.5 有理数的乘方【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题1.5 有理数的乘方【十大题型】【沪科版】【题型1 乘方的意义】1【题型2 乘方运算的符号规律】3【题型3 根据乘方运算判断整除问题】4【题型4 根据乘方运算解决进制问题】8【题型5 根据乘方运算判断末位数字问题】10【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】12【题型7 含乘方的新定义问题】15【题型8 应用乘方解决实际问题】19【题型9 科学记数法的表示与还原】22【题型10 近似数的表示】24【知识点1 有理数乘方的概念】求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.【题型1 乘方的意义】【例1】（2023春广西来宾七年级统考期中）（2）4表示

2、的意义是（）A2（2）（2）（2）B2+（2）+（2）+（2）C24D2222【答案】A【分析】根据乘方的定义进行判断即可.【详解】解：（2）4表示的意义是4个2相乘，即（2）（2）（2）（2），或2（2）（2）（2），故选A【点睛】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义，即：求n个相同因数积的运算，叫做乘方.【变式1-1】（2023春江苏苏州七年级苏州市工业园区第一中学校考阶段练习）如图，写成幂的形式 222m个23+3+3n个3【答案】2m3n【分析】根据乘方的意义写出幂的形式即可【详解】解：m个2相乘写成幂的形式为2m，：n个3相加写成积的形式为3n，故222m个2

3、3+3+3n个3=2m3n答案为：2m3n【点睛】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是明确乘方的意义，会熟练运用乘法意义把相同乘数的乘法写成幂的形式【变式1-2】（2022秋河北邯郸八年级校考期中）若 k 为正整数，则(k3)4的意义为（）A4 个k3 相加B3 个k4 相加C4 个k3 相乘D7 个 k 相乘【答案】C【分析】根据幂的乘方的含义即可解答【详解】解：根据幂的乘方的含义，可得(k3)4表示4 个k3 相乘，故选：C【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的含义是解题的关键【变式1-3】（2023春七年级课时练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：2223（22）（222

4、）25请你试一试，完成以下题目：（1）a3a4（aaa）（aaaa） ；（2）归纳、概括：aman ；（3）如果xm4，xn9，运用以上的结论，计算：xm+n 【答案】 a7 am+n 36【分析】（1）根据题意，乘方的意义，7个a相乘可以写成a7即可解决；（2）根据题意，总结规律，可以知道是几个相同的数相乘，指数相加即可解决；（3）运用以上的结论，可以知道：xm+nxmxn，即可解决问题【详解】解：（1）根据材料规律可得a3a4（aaa）（aaaa）a7；（2）归纳、概括：aman(aam)(aan)=am+n；（3）如果xm4，xn9，运用以上的结论，计算：xm+nxmxn4936故答案为

5、：a7，am+n，36【点睛】本题主要考查了有理数的乘方的认识，能够读懂乘方的意义并且能够仿照例题写出答案是解决本题的关键【知识点2 有理数乘方的运算】（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值【题型2 乘方运算的符号规律】【例2】（2023春湖南娄底七年级统考期末）计算（-2）11+（-2）10的值是（）A-2B（-2）21C0D-210【答案】D【分析】根据负数的乘方，偶数次方结果为正，奇数次方结果为负，可以对（-2）11+（-2）10

6、进行化简，可以得到-211+210，在利用乘法分配律，即可得出答案【详解】解：（-2）11+（-2）10=-211+210-2210+210=210（-2+1）=-210故选D【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，能够正确的运算出结果以及熟练利用乘法分配律是解决本题的关键【变式2-1】（2022秋湖南永州七年级统考期末）若x-2+y+32=0，则x+y2020= 【答案】1【分析】先根据绝对值和平方的非负性求出x和y的值，再根据有理数的乘方运算计算出结果【详解】解：x-2+y+32=0，x-2=0，y+3=0，即x=2，y=-3，x+y2020=2-32020=-12020=1故答案是：1【点睛

7、】本题考查绝对值和平方的非负性，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性【变式2-2】（2023春安徽安庆七年级统考期中）下列各组数中，数值相等的一组是（）A32和23B（2）3和23C32和（3）2D（23）2和232【答案】B【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号【详解】解：A329，238，故选项A不符合题意；B（2）38，238，故选项B符合题意；C329，（3）29，故选项C不符合题意；D（23）236，2322918，故选项D不符合题意故选：B【点睛】本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键【变式2-3】（2023春江苏南京七年级统考期末）若x

8、是有理数，则x21一定（）A大于1B小于1C不小于1D不大于1【答案】C【分析】根据偶数次幂的非负性，即可求解【详解】x20，x211，故选C【点睛】本题主要考查偶数次幂的非负性，掌握偶数次幂的非负性是解题的关键【知识点3 含乘方的混合运算】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行【题型3 根据乘方运算判断整除问题】【例3】（2023春重庆北碚七年级江北中学校考阶段练习）阅读理解题，阅读材料：设正整数a可以写成a=an1000n+an-11000n-1+a0，（其中0ai1000，i=

9、0,1,n）若a0+a2+-a1+a3+能被13整除，则a也能被13整除，反之，若a能被13整除，则a0+a2+-a1+a3+也能被13整除。比如：3055=31000+55，因为55-3=52=134，能被13整除，所以3055能被13整除2052596=210002+521000+596因为596+2-52=546=1342，能被13整除，所以2052596能被13整除2771855489=210003+77110002+8551000+489因为489+771-855+2=403=1331，能被13整除，所以2771855489能被13整除（1）按照上面提供的方法，试判断40606989

10、67能否被13整除，并写出过程；（2）若7位正整数307552m能被13整除，试求m的值.【答案】（1）能被13整除，过程见解析；（2）m=7【分析】（1）由题意按照题干的方法，将4060698967代入判断4060698967能否被13整除，并写出过程即可；（2）分析正整数307552m能被13整除，可知52m+3-75也能被13整除以此进行分析运算即可.【详解】解：（1）由题意可得：4060698967=410003+6010002+6981000+967又(967+60)-(698+4)=325=1325能被13整除4060698967能被13整除（2）307552m能被13整除且307

11、552m=310002+751000+52m52m+3-75也能被13整除即：5210+m+3-75=448+m能被13整除，其中0m9，且是整数m=7【点睛】本题为材料阅读题型，考查有理数的运算相关，理解材料并根据材料方法进行代入分析是解题的关键.【变式3-1】（2022秋浙江七年级专题练习）试说明257+513能被30整除【答案】理由见解析【分析】先利用有理数的乘方的逆运算将257进行变形，再提取公因子513，由此即可得出答案【详解】257+513=(52)7+513=514+513=513(5+1)=6513则(257+513)30=(6513)30=512因为512是整数所以257+5

12、13能被30整除【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆运算、乘法的分配律，掌握有理数的乘方的逆运算是解题关键【变式3-2】（2022秋全国七年级期中）当自然数n的个位数分别为0，1，2，9时，n2,n3,n4的个位数如表所示：n个位数0123456789n2个位数0149656941n3个位数0187456329n4个位数0161656161在10，11，12，13这四个数中，当n= 时，和数2001n+2002n+2003n+2004n能被5整除【答案】10、11、13【分析】根据表格中的规律，分别求出2001、2002、2003、2004这几个数的个位在n=10、11、12、13时的值，通过判

13、断这4个数字的个位数字和是否是0或5来判断是否能被5整除【详解】根据表格中的规律，可得下表：n个位数101112132001n个位数11112002n个位数48622003n个位数97132004n个位数6464个位数的和的个位数0040由表格知道，当n=10、11、13时，2001n+2002n+2003n+2004n的个位数字都是0，能够被5整除故答案为：10、11、13【点睛】本题考查了归纳总结的能力，解题关键是利用乘方的规律来确定个位数字，求出结果的个位数字之和判断是否能够被5整除.【变式3-3】（2023春重庆沙坪坝八年级重庆八中校考开学考试）阅读下列材料，回答问题：材料一：在大于1

14、的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其它数（0除外）整除的数，称为合数材料二：若一个各个数位上的数字都不为零的四位数，其千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字与十位上的数字相等，且该数前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数都是合数，则称该数为“对称合数”，如2552，6886都是“对称合数”（1）最小的“对称合数”为_，最大的“对称合数”为_；（2）若“对称合数”的前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和是完全平方数，求满足条件的所有“对称合数”的个数，并把它们写出来【答案】（1）1221，9999；（2）5665、6556【分析】（1）根据“对称合数”的定义即可求

15、解；（2）根据前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和的范围可得满足条件的完全平方数的范围，再根据规律两位数之和，依此可得是完全平方数的只有121，进一步即可求解【详解】解：（1）各个数位上的数字都不为零，且该数前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数都是合数，最小的“对称合数”为1221，最大的“对称合数”为9999故答案为：1221，9999；（2）前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和最小为12+2133，最大为99+99198，满足条件的完全平方数有：36、49、64、81、100、121、144、169、196，由规律可得两位数之和有33、44、55、66

16、、77、88、99、110、121、132、143、154、165、176、187，是完全平方数的只有121，而满足前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和是完全平方数121的只有5665、6556【点睛】本题主要考查质数与合数，理解新定义，得到满足条件的完全平方数只有121是解题的关键【题型4 根据乘方运算解决进制问题】【例4】（2022秋湖北武汉七年级统考期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干2n数的和，依次写出1或0即可如1910=16+2+1=124+023+022+121+1=100112为二进制下的五位数，则十进

17、制2022是二进制下的（）A10位数B11位数C12位数D13位数【答案】B【分析】根据题意，210=1024，211=2048，根据规律可知最高位应是1210，故可求共有11位数【详解】解：211=2048，210=1024，10242022b，b0，则2*1*-3*3= 【答案】-27【分析】根据新定义的运算法则，进行计算即可【详解】解：2*1*-3*3=12*-33=1*-27=-271=-27；故答案为：-27【点睛】本题考查定义新运算理解并掌握新运算法则，是解题的关键【变式7-2】（2022秋江苏南京七年级校考阶段练习）概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除

18、方，如222，（3）（3）（3）（3）等类比有理数的乘方，我们把222记作2，读作“2的圈3次方”，（3）（3）（3）（3）记作-3，读作“3的圈4次方”，一般地，把aaan个a（a0）记作a，读作“a的圈n次方”初步探究（1）直接写出计算结果：2 = ，-12= ；（2）关于除方，下列说法错误的是 A任何非零数的圈2次方都等于1；B对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；C3=4D负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运

19、算结果直接写成幂的形式-3的圈4次方 ；5的圈5次方 ；(-12)的圈6次方 （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_；（3）算一算：2423+-82【答案】初步探究（1）12；-8；（2）C；深入思考（1）132，153，24；（2）1an-2；（3）-1【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）根据法则计算出（3）的结果【详解】初步探究解：初步探究（1）2=222=12，(-12)=-12-12-12-12-12=1-12-12-12=-2-12-12=-8故答案为：12，

20、-8；（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1都等于1； 所以选项B正确；C、3=3333=19，4=444=14，则34； 所以选项C错误；D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数所以选项D正确；本题选择说法错误的，故选C；深入思考（1）(-3)=-3-3-3-3=1(13)2=132；5=55555=1(15)3=153；(-12)=-12-12-12-12-12-12=12222=24；故答案为：132，153，24（2）a=

21、aaaa=1an-2=1an-2故答案为：1an-2（3）2423+-82=248+(-8)12=3-4=-1【点睛】本题考查了新运算，幂的运算解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义【变式7-3】（2022秋全国七年级专题练习）请认真阅读下面材料，并解答下列问题如果a（a0，a1）的b次幂等于N，即指数式abN，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaNb例如：因为指数式224，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log242；因为指数式4216，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log4162.（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：6236；4364；

22、（2）将下列对数式改为指数式：log5252；log3273；（3）计算：log232【答案】（1）log6362；log4643；（2）5225；3327；（3）5【分析】（1）根据题意可以把指数式写成对数式；（2）根据题意可以把对数式写成指数式；（3）根据题目中提供的信息可以计算出式子的结果【详解】解：（1）6236；对数式记作：log6362；4364；对数式记作：log4643；（2）log5252；指数式为5225，log3273；指数式为3327；（3）2532，log2325.【点睛】本题考查了对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系

23、与相互转化关系【题型8 应用乘方解决实际问题】【例8】（2022秋江苏南京七年级统考期中）下列情景描述的结果与25相符的是 （填写所有正确选项的序号） 把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数；把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数【答案】/【分析】根据题干叙述分别计算找出对折的次数与折痕的条数，拉扣的次数和面条的根数，分裂的次数和细胞个数的规律，判断是否符合规律即可【详解】把一张报纸沿同一方向对折，对折一次有1条折痕，对折两次是3条折痕，以此类推，对折5次后有1+2+4

24、+8+16=31条折痕，不符合题意把一团和好的面，揉搓成一根长条后，拉扣一次时有两根面条，两次有4根面条，以此类推，拉扣5次有25根面条，符合题意由题意可得，一个这样的细胞分裂5次形成细胞个数为25个，符合题意故答案为【点睛】本题主要考查幂的应用，清楚理解幂的含义是解决本题的关键【变式8-1】（2022秋浙江七年级期中）小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（）A9次B10次C11次D12次【答案

25、】B【分析】根据题意得出第一次复制得2张，第二次复制最多得22=22=4张，第三次复制最多得222=23=8张，即可得出规律，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，问题得解【详解】解：由题意得第一次复制得2张，第二次复制最多得22=22=4张，第三次复制最多得222=23=8张，第四次复制最多得2222=24=16张，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，10241000，所以至少需要10次故选：B【点睛】本题考查了乘方的应用，根据题意得到乘方运算规律，并正确进行计算是解题关键【变式8-2】（2022秋四川成都七年级四川省成都市七中育

26、才学校校考期中）庄子中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是 【答案】116【分析】根据题意依次每一天剩余木棍的长度，即可求得第4天截取后木棍剩余的长度【详解】解：第一天截取后剩：11-12=12（米）；第二天截取后剩：121-12=122（米）；第三天截取后剩：1221-12=123（米）；第四天截取后剩：1231-12=124=116（米）；故答案为：116【点睛】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键【变式8-3】（2023春安徽亳州

27、七年级校考期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个，有一种细菌分裂速度很快，它每12min分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么60min后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍?【答案】60min后，盘子里有32000个细菌，2h后细菌的个数是1h后的32倍【分析】先求出60min，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个，用细菌的数量乘以2n，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果【详解】解：6012=5次，60min后，盘子里有细菌：100025=32000（个）；2h=120min,

28、12012=10（次），2h后，盘子里有1000210个细菌；1000210100025=25=32，答：60min后，盘子里有32000个细菌，2h后细菌的个数是1h后的32倍【点睛】本题考查有理数的乘方的实际应用解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数【知识点4 科学记数法的表示】（1） 科学记数法：把一个大于10的数记成a10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法（科学记数法形式：a10n，其中1a10，n为正整数）（2） 规律方法总结：科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整

29、数位数，即可求出10的指数n记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号【题型9 科学记数法的表示与还原】【例9】（2023春山西太原七年级统考期末）根据国家统计局发布的数据，2022年全国夏粮总产量约14700万吨，比去年增加143.4万吨，我国夏粮生产连续两年实现增长数据14700万吨用科学记数法表示为（）A1.47104吨B0.147105吨C1.47108吨D1.47109吨【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数

30、点移动的位数相同【详解】解：14700万吨=147000000吨=1.47108吨，故选C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值【变式9-1】（2022秋福建厦门七年级福建省厦门第六中学校考期中）一个正整数将其用科学记数法表示为a108，则下列说法正确的是（）A这个正整数是一个8位数B这个正整数是一个9位数C这个正整数一定有8个0D这个正整数一定有9个0【答案】B【分析】科学记数法：一个绝对值大于10的数表示为a10n的形式（其中，1|a|10，n为正整数，且等于原数的整数位数减去1），据此可知

31、a108表示的原数的位数【详解】解：一个正整数将其用科学记数法表示为a108，这个正整数是一个9位数；故选：B【点睛】此题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的概念是解答此题的关键【变式9-2】（2023春山西晋城七年级统考期末）月球的直径大约是3476千米，太阳直径大约是月球直径的400倍，那么太阳的直径用科学记数法表示约为（）A0.139107千米B1.3904107千米C1.3904106千米D3.476103千米【答案】C【分析】科学记数法的表现形式为a10n的形式，其中1a10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝

32、对值大于等于10时，n是非负数，当原数绝对值小于1时，n是负数【详解】解：太阳直径大约是月球直径的400倍，太阳的直径为3476400=1390400千米，1390400千米用科学记数法表示为：1.3904106千米，太阳的直径用科学记数法表示约为1.3904106千米，故选：C【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a10n的形式，其中1a10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值【变式9-3】（2022秋四川成都七年级统考期末）根据国家卫健委公布的数据，截止2021年12月5日，全国累计报告接种新冠病毒疫苗2.553109次，则数据2.553109表示的原数是（）A25530000B255300000C2553000000D25530000000【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同