专题1.5平面直角坐标系10大必考考点精讲精练（知识梳理 典例剖析 变式训练）（解析版）【苏科版】.docx

1、【苏科版】专题 1.5 平面直角坐标系 10 大必考考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练【目标导航】【知识梳理】1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点 O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。学科网 注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念 点的

2、坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ba 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。3、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限0,0yx 点 P(x,y)在第二象限0,0yx 点 P(x,y)在第三象限0,0yx 点 P(x,y)在第四象限0,0yx 4、坐标轴上的点的特征来源:学_科_网 点 P(x,y)在 x 轴上0 y，x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上0 x，y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 x，y 同时为零，即点 P 坐标为（0，0）5、

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征来源:学_科_网 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x 与 y 互为相反数 6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。7、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数 8、点到坐标轴及原点的距离（1）点 P(x,y)到

4、 x 轴的距离等于 y （2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x （3）点 P(x,y)到原点的距离等于22yx 9、点的平移 点 P(x,y)沿 x 轴向右（或向左）平移 m 个单位后对应点的坐标是（xm,y）；点 P(x,y)沿 y 轴向上（或向下）平移 n 个单位后对应点的坐标是（x,yn）.【典例剖析】【考点 1】物体位置的确定【例 1】（2021 秋龙岗区校级期中）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么小刚的位置可以表示成（）A（5，4）B（4，5）C（3，4）D（4，3）【分析】直接利用原点位置建立平面直角坐标系

5、，进而得出点的坐标【解答】解：如图所示：小刚的位置可以表示为（4，3）故选：D【变式 1.1】（2022江苏八年级专题练习）某班级第3组第4排位置可以用数对(3,4)表示，则数对(1,2)表示的位置是（）A第2组第1排B第1组第1排C第1组第2排D第2组第2排【答案】C【分析】根据前一个数表示组，后一个数表示排进行判断即可【详解】第3组第4排位置为(3,4)，前一个数表示组，后一个数表示排，数对(1,2)表示第一组第二排，故选：C【点睛】本题考查数对，理解数对的含义是解题的关键【变式 1.2】（2022江苏八年级专题练习）下列数据中不能确定物体位置的是（）A电影票上的“5 排 8 号”B小明住

6、在某小区 3 号楼 7 号C南偏西 37D东经 130，北纬 54的城市【答案】C【分析】根据以坐标确定位置需要两个数据对各选项进行判断即可【详解】A电影票上的“5 排 8 号”，位置明确，故本选项不符合题意；B小明住在某小区 3 号楼 7 号，位置明确，故本选项不符合题意；C南偏西 37，位置不明确，故本选项符合题意；D东经 130，北纬 54的城市，位置明确，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解答本题的关键【变式 1.3】（2022江苏八年级专题练习）贵阳电视塔位于贵阳市云岩区扶风路仙鹤山森林公园内，是贵阳市内海拔最高的标志性建筑物，能

7、在 360 度旋转观光大厅里俯瞰贵阳全景小高将位于扶风山麓的阳明祠的位置记为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则下列哪个坐标可以表示贵阳电视塔的位置（）A(3,5)B(3,5)C(3,5)D(3,5)【答案】D【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的特点进行解答即可【详解】解：贵阳电视塔在第一象限内，因此横、纵坐标都应该是正数，所以（3，5）可以表示贵阳电视塔的位置，故 D 正确故选：D【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的特点，熟练掌握各象限内点的横、纵坐标的正负规律是解题的特点【考点 2】点的坐标【例 2】（2020海陵区一模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点 P，点 P 到

8、 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3，则点 P 的坐标是（）A（3，2）B（3，2）C（2，3）D（2，3）【分析】根据各象限内点的坐标特征，可得答案【解析】由题意，得|y|2，|x|3又在第二象限内有一点 P，x3，y2，点 P 的坐标为（3，2），故选：A【变式 2.1】（2021江苏无锡市港下中学八年级阶段练习）若点 P 是第二象限内的点，且点 P 到 x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3，则点 P 的坐标是（）A（4，3）B（4，3）C（3，4）D（3，4）【答案】C【分析】根据直角坐标系内的坐标特点即可求解【详解】点 P 到 x 轴的距离是 4，纵坐标为4，点 P 到

9、y 轴的距离是 3，横坐标为3，P 是第二象限内的点(3,4),故选 C【点睛】此题主要考查直角坐标系的坐标特点，解题的关键是熟知直角坐标系的点的坐标特点【变式 2.2】（2021江苏南通市启秀中学七年级阶段练习）一个点的横、纵坐标都是整数，并且他们的乘积为6，满足条件的点共有（）A2个B4个C8个D10个【答案】C【分析】设这个点的坐标为（a，b），则 ab=6，然后根据 a、b 都是整数进行求解即可【详解】解：设这个点的坐标为（a，b），由题意得 ab=6，=6，a、b 都是整数，当 b=6 时，a=1，当 b=3 时，a=2，当 b=2 时，a=3，当 b=1 时，a=6，当 b=6 时

10、，a=1，当 b=3 时，a=2，当 b=2 时，a=3，当 b=1 时，a=6，一共有 8 个点满足题意，故选 C【点睛】本题主要考查了坐标系中各象限内点的坐标符号，正确理解题意是解题的关键【变式 2.3】（2019江苏南京师大苏州实验学校八年级期中）已知点的坐标为(+1,3 )，下列说法正确的是（）A若点在轴上，则=3B若点在一三象限角平分线上，则=1C若点到轴的距离是 3，则=6D若点在第四象限，则的值可以为2【答案】B【分析】根据各象限及坐标轴上的点的坐标特征列出关于的方程或不等式，求解即可【详解】解：A、若点在轴上，则+1=0，解得=1，故此选项错误，不符合题意；B、若点在一三象限角

11、平分线上，则+1=3 ，解得=1，故此选项正确，符合题意；C、若点到轴的距离是 3，则3 =3或3 =3，解得=0或=6，故此选项错误，不符合题意；D、若点在第四象限，则+1 03 3，故此选项错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，平面直角坐标系中各象限及坐标轴上的点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中各象限及坐标轴上的点的坐标特征是解本题的关键【考点 3】坐标与图形性质【例 3】（2021 春南充期末）在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（3，2），ABx 轴，且 AB5，则点 B的坐标为（）A（8，2）B（8，2）或（2，2）C（3，7）D（3，7）

12、或（3，3）【变式 3.1】（2020江苏苏州八年级期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为(4，3)，轴，=5，则点的坐标为（）A(1,3)B(4,8)C(1,3)或(9,3)D(4,8)或(4,2)【答案】D【分析】线段轴，、两点横坐标相等，又=5，点在点上边或者下边，根据距离确定点坐标【详解】解：ABy 轴，、两点的横坐标相同，又=5，点纵坐标为：3+5=8或3 5=2，点的坐标为：(4,2)或(4,8)故选：D【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于 y 轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标【变式 3.2】（2021江苏西安交大苏州附中八年级阶段练习

13、）如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点 P，若点 P 的坐标为（6a，2b1），则 a 与 b 的数量关系为（）A6a2b1B6a+2b1C6ab1D6a+b1【答案】B【分析】由作图可知，OP 平分MON，推出点 P 的横坐标与纵坐标互为相反数，列出方程即可解决问题【详解】解：连接 OP由作图可知，OP 平分MON，根据角平分线的性质定理可知：可知点 P 到 OM（x 轴）、ON（y 轴）的距离相等，又点 P 在第二象限，点 P 的横坐标与纵坐标互为

14、相反数，6a+2b-10，6a+2b1，故选：B【点睛】本题考查基本作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【变式 3.3】（2020江苏苏州八年级阶段练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（3，3），若 y 轴上存在点 P，使 OAP 为等腰三角形（其中 O 为坐标原点），则符合条件的点 P 有（）A2 个B3 个C4 个D5 个【答案】C【分析】由 A（3，3），分别从 OAAP，OAOP，OPAP 去分析，即可得到 P 点的坐标，继而可得点 P的个数【详解】解：A（3，3），OA32，如图：若 OAAP，则 P1（0，6），如图

15、：若 OAOP，则 P2（0，32），P4（0，32）；如图：若 OPAP，则 P3（0，3）综上可得：符合条件的点 P 有四个故选 C【点睛】此题考查了等腰三角形的判定此题属于开放题，解题的关键是注意分类讨论思想，注意分别从OAAP，OAOP，OPAP 去分析，注意不要漏解【考点 4】点的变化规律【例 4】（2020 春崇川区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（1，0）点 P 第 1 次向上跳动 1 个单位至点 P1（1，1），紧接着第 2 次向左跳动 2 个单位至点 P2（1，1），第 3 次向上跳动 1 个单位至点P3，第 4 次向右跳动 3 个单位至点 P4，第 5 次又

16、向上跳动 1 个单位至点 P5，第 6 次向左跳动 4 个单位至点 P6，照此规律，点 P 第 100 次跳动至点 P100 的坐标是（）A（26，50）B（25，50）C（26，50）D（25，50）【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100 次跳动后，纵坐标为 100250；其中 4 的倍数的跳动都在 y 轴的右侧，那么第 100 次跳动得到的横坐标也在 y 轴右侧P1 横坐标为 1，P4 横坐标为 2，P8 横坐标为 3，依此类推可得到 P100 的横坐标【解析】经过观察可得：P1 和 P2 的纵坐标均为 1，P3 和 P4 的纵坐标

17、均为 2，P5 和 P6 的纵坐标均为 3，因此可以推知 P99 和 P100 的纵坐标均为 100250；其中 4 的倍数的跳动都在 y 轴的右侧，那么第 100 次跳动得到的横坐标也在 y 轴右侧P1 横坐标为 1，P4 横坐标为 2，P8 横坐标为 3，依此类推可得到：Pn 的横坐标为 n4+1（n 是 4 的倍数）故点 P100 的横坐标为：1004+126，纵坐标为：100250，点 P 第 100 次跳动至点 P100 的坐标是（26，50）故选：C【变式 4.1】（2022江苏仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(1，2)，C(3，2)，

18、D(3，1)，一只瓢虫从点出发以 2 个单位长度/秒的速度沿 循环爬行，问第 2022 秒瓢虫在（）处A(3，1)B(1，1)C(1，2)D(3，2)【答案】B【分析】根据点的坐标求出四边形 ABCD 的周长，然后求出第 2022 秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案【详解】解：A（1，1）B（1，2），C（3，2），D（3，1）=1 (2)=1+2=3 =3 (1)=4，=1 (2)=3，=3 (1)=4，+=3+4+3+4=14瓢虫爬一圈，需要的时间是142=7 秒 2022=288 7+6，按 ABCDA 顺序循环爬行，第 2022 秒相当于从 A 点出发爬了 6 秒，路程是：

19、6 2=12个单位，12=3+4+3+2，瓢虫此时在 AD 上，距离 D 为 2 个单位长度瓢虫在（1，1）处故答案为：B【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形 ABCD 一周的长度，从而确定 2022 秒瓢虫爬完了多少个整圈，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键【变式 4.2】（2022江苏八年级课时练习）如图，将边长为 1 的正三角形 OAP 沿 x 轴方向连续翻转若干次，点 P 依次落在点1，2，3，2021的位置，则点2021的横坐标为（）A2016B2017C2018D2020【答案】D【分析】根据 AOP 是边长为 1 的正三角形，可得点 P 的横

20、坐标为12观察图形的变化发现：1的横坐标为1，2的横坐标为 1，3的横坐标为52，进而可得点2021的横坐标【详解】解：AOP 是边长为 1 的正三角形，点 P 的横坐标为12观察图形的变化发现：1的横坐标为 1，2横坐标为 1，3的横坐标为52，4的横坐标为 4，5的横坐标为 4，6的横坐标为112，7的横坐标为 7，发现规律：3+1的横坐标为 3n+1，3+2的横坐标为 3n+1，3+3的横坐标为 3n+52，（n 为自然数）20216733+2，点2021的横坐标为 2020，故选：D【点睛】此题考查直角坐标系，点坐标的变化规律探究，等边三角形的性质，正确掌握直角坐标系中点的坐标的表示方

21、法，根据点的变化找到坐标的变化规律是解题的关键.【变式 4.3】（2022江苏八年级单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），I是等腰直角三角形且1=90，把 I绕点 B 顺时针旋转 180，得到 2，把 2绕点 C 顺时针旋转 180，得到 3，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点2022的坐标为（）A（4043，1）B（4043，1）C（2022，1）D（2022，1）【答案】A【分析】过点 P1作 P1Mx 轴于 M，先分别求出点 P1、P2、P3、P4的坐标并找出横纵坐标的变化规律，然后归纳出点 Pn 的坐标，即可求出结论【详解】解：过点 P1作 P1Mx

22、 轴于 M，(0,0),(2,0)，1是等腰直角三角形且1=90，P1Mx 轴，AM=BM=12，AM 为的中点，在 1中，1=90，AM 为的中点，P1M=12=1，点 P1的坐标为（1,1）其中横坐标为：211,纵坐标为：(1)1+1，同理可得点 P2的坐标为（3,-1）其中横坐标为：纵坐标为：(1)2+1，点 P3的坐标为（5,1）其中横坐标为：231,纵坐标为：(1)3+1，点 P4的坐标为（7,-1）其中横坐标为：241,纵坐标为：(1)4+1，点 Pn 的坐标为(2 1,(1)+1)，点2022的坐标为(2 2022 1,(1)2022+1)，即2022(4043,1)故选：A【点

23、睛】此题考查的是探索坐标规律题，掌握等腰直角三角形的性质、找出横纵坐标的变化规律并归纳公式是解决此题的关键【考点 5】关于坐标轴对称的点的坐标【例 5】（2020 秋天宁区校级期中）点 A（6，8）在第 象限，点 A 到 x 轴的距离为 ，点 A 关于x 轴的对称点为 ，点 A 到原点的距离为 【分析】依据平面直角坐标系的概念以及坐标的概念，即可得到结论【解析】点 A（6，8）在第四象限，点 A 到 x 轴的距离为 8，点 A 关于 x 轴的对称点为（6，8），点 A到原点的距离为62+82=10故答案为：四，8，（6，8），10【变式 5.1】（2021江苏西安交大苏州附中八年级阶段练习）已

24、知点1（a，3）和2（2，b）关于 x 轴对称，则(+)2021的值是（）A0B1C1D52021【答案】B【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出 a，b 的值，进而结合有理数的乘方运算法则计算得出答案【详解】解：点1（a，3）和2（2，b）关于 x 轴对称，a2，b3，(+)2021=(2 3)2021=1故选：B【点睛】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确得出 a，b 的值是解题关键【变式 5.2】（2020江苏苏州八年级阶段练习）已知点 P（x，y）在第四象限，且2=4，|y|=3，则点 P 关于 y 轴对称的点1的坐标是（）A（2，3）B（-2，3）C（-2，-3）D（2

25、，-3）【答案】C【分析】根据有理数的乘方和绝对值的性质求出 x、y 的值，再根据第四象限点的横坐标是正数，纵坐标是负数求出点 P 的坐标，然后根据关于“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答【详解】解：2=4，|y|=3，x=2，y=3，点 P（x，y）在第四象限，x=2，y=-3，点 P（2，-3），点 P 关于 y 轴对称的点是1，1（-2，-3）故选：C【点睛】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数【变式 5

26、.3】（2022江苏八年级课时练习）已知有序数对(,)及常数 k，我们称有序数对(+,)为有序数对(,)的“k 阶结伴数对”如(3,2)的“1 阶结伴数”对为(1 3+2,3 2)即(5,1)若有序数对(,)(0)与它的“k 阶结伴数对”关于 y 轴对称，则此时 k 的值为（）A2B32C0D12【答案】B【分析】根据“k 阶结伴数对”的定义求出有序数对(,)(0)的“k 阶结伴数对”为(+,)，再利用(,)和(+,)关于 y 轴对称，求出=(+)，进一步可求出=32【详解】解：由题意可知：有序数对(,)(0)的“k 阶结伴数对”为(+,)，(,)和(+,)关于 y 轴对称，=(+)，解得：=

27、32故选：B【点睛】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，解题的关键是理解新定义，求出有序数对(,)(0)的“k 阶结伴数对”为(+,)，掌握坐标轴对称的特点，得到=(+)【考点 6】坐标与平移【例 6】（2021 春城阳区期中）如图，A，B 两点的坐标分别为（4，0），（0，2），将线段 AB 平移到线段A1B1 的位置若 A1，B1 两点的坐标分别为（b，2），（2，a），则 a+b 的值为（）A4B6C8D10【分析】由题意，线段 AB，向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位得到 A1B1，求出 a，b 的值，可得结论【解答】解：由题意，线段 AB，向右平移 2 个单位，再向上平移

28、 2 个单位得到 A1B1，a4，b6，a+b10，故选：D【变式 6.1】（2022江苏姜堰区实验初中八年级）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是(4,1)，(1,1)，将线段平移后得到线段，如点的坐标为(2,2)，则点坐标为（）A(4,3)B(3,4)C(1,2)D(2,1)【答案】B【分析】各对应点之间的关系是横坐标加 2，纵坐标加 3，那么让点的横坐标加 2，纵坐标加 3 即为点的坐标【详解】解：由(4,1)的对应点的坐标为(2,2)，得坐标的变化规律为：各对应点之间的关系是横坐标加 2，纵坐标加 3，所以点的横坐标为1+2=3，纵坐标为1+3=4，即所求点的坐标为(3,4)，

29、故选：B【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化-平移，解题的关键是能根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律【变式 6.2】（2022江苏南通七年级期中）三角形 ABC 在经过某次平移后，顶点 A(1，m+2)的对应点为A(2，m3)，若此三角形内任意一点 P(a，b)经过此次平移后对应点 P1(c，d)则 a+bcd 的值为（）A8+mB8+mC2D2【答案】C【分析】由 A（-1，m+2）在经过此次平移后对应点 A1（2，m-3），可得ABC 的平移规律为：向右平移 3个单位，向下平移 5 个单位，由此得到结论【详解】解：A（-1，m+2）在经过此次平移后对应点 A1（2，m-3），ABC

30、 的平移规律为：向右平移 3 个单位，向下平移 5 个单位，点 P（a，b）经过平移后对应点 P1（c，d），a+3=c，b-5=d，a-c=-3，b-d=5，a+b-c-d=-3+5=2，故选：C【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键【变式 6.3】（2022江苏八年级专题练习）如图，面积为 3 的等腰，=，点、点在轴上，且(1,0)、(3,0)，规定把 “先沿轴翻折，再向下平移 1 个单位”为一次变换，这样连续经过 2021次变换后，顶点的坐标为（）A(2,2018)B(2,2018)C(2,2019)D(2,2019)【

31、答案】A【分析】根据等腰三角形的面积和 B(1，0)、C(3，0)；可得 A(2，3)，然后先求出前几次变换 A 的坐标，进而可以发现第 2021 次变换后的三角形在 x 轴下方，且在第三象限，即可解决问题【详解】解：面积为 3 的等腰 ABC，AB=AC，B(1，0)、C(3，0)，点 A 到 x 轴的距离为 3，横坐标为 2，A(2，3)，第 1 次变换 A 的坐标为(-2，2)；第 2 次变换 A 的坐标为(2，1)；第 3 次变换 A 的坐标为(-2，0)；第 4 次变换 A 的坐标为(2，-1)；第 5 次变换 A 的坐标为(-2，-2)；第 2021 次变换后的三角形在 x 轴下方

32、，且第三象限，点 A 的纵坐标为-2021+3=-2018，横坐标为-2，所以，连续经过 2021 次变换后，ABC 顶点 A 的坐标为(-2，-2018)故选：A【点睛】本题考查了翻折变换，及点的坐标变化规律，等腰三角形的性质，坐标与图形对称、平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质【考点 7】坐标的性质综合问题【例 7】（2020 春广丰区校级期末）已知点 P（a2，2a+8），分别根据下列条件求出点 P 的坐标（1）点 P 在 x 轴上；（2）点 P 在 y 轴上；（3）点 Q 的坐标为（1，5），直线 PQy 轴；（4）点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等【分析】（1）利用 x 轴上点的

33、坐标性质纵坐标为 0，进而得出 a 的值，即可得出答案；（2）利用 y 轴上点的坐标性质横坐标为 0，进而得出 a 的值，即可得出答案；（3）利用平行于 y 轴直线的性质，横坐标相等，进而得出 a 的值，进而得出答案；（4）利用点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等，得出横纵坐标相等或相反数进而得出答案【解析】（1）点 P（a2，2a+8），在 x 轴上，2a+80，解得：a4，故 a2426，则 P（6，0）；（2）点 P（a2，2a+8），在 y 轴上，a20，解得：a2，故 2a+822+812，则 P（0，12）；（3）点 Q 的坐标为（1，5），直线 PQy 轴；，a21，解得：a3，

34、故 2a+814，则 P（1，14）；（4）点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等，a22a+8 或 a2+2a+80，解得：a110，a22，故当 a10 则：a212，2a+812，则 P（12，12）；故当 a2 则：a24，2a+84，则 P（4，4）综上所述：P（12，12），（4，4）【变式 7.1】（2022江苏八年级单元测试）已知点(2 2,+5)，回答下列问题：(1)点 P 在 y 轴上，求出点 P 的坐标；(2)点 P 在第二象限，且它到 x 轴、y 轴的距离相等，求2022+2022的值【答案】(1)（0，6）(2)2023【分析】（1）根据 y 轴上点的特点进行解答即可；

35、（2）根据第二象限内点的特点及到两坐标轴的距离相等，进行解答即可（1）解：(2 2,+5)在 y 轴上，2 20，解得=1，P 点的坐标为（0，6）（2）解：根据题意可得：2 2=+5，解得=1，把=1代入2022+2022，得2022+2022=1+2022=2023【点睛】本题主要考查了坐标系内点的特点，熟练掌握象限内点的特点和坐标轴上点的特点，是解题的关键【变式 7.2】（2022江苏八年级单元测试）在平面直角坐标系中，已知点 M（m1，2m-5）(1)若点 M 在第四象限内，求 m 的取值范围；(2)若点 M 在过点 A（2，-4）且与 x 轴平行的直线上，求此时点 M 的坐标【答案】

36、(1)1 02 5 1解不等式得：52不等式组的解集为：1 52（2）点 M 在过点 A（2，-4）且与 x 轴平行的直线上，M 点纵坐标为-4，即 2m-5=-4，解得 m=12 +1=32，M 点坐标为(32，4)【点睛】本题考查解一元一次不等式组以及点的坐标特征，解题关键是根据题意列出不等式组并准确求解【变式 7.3】（2022江苏苏州中学八年级期中）已知点(3，2 1)，点(，3)(1)若点在第二、四象限角平分线上，求点关于轴的对称点的坐标(2)若线段 轴，求线段的长度(3)若点到轴的距离是到轴距离的 2 倍，求点的坐标【答案】(1)(3，3)(2)5(3)(1，2)或(3，6)【分析

37、】（1）先根据第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数求出 A 点的坐标，再根据关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可；（2）根据平行于 x 轴的直线上的点纵坐标都相同求出点 A 和点 B 的坐标即可得到答案；（3）根据到 x 轴的距离为纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离为横坐标的绝对值得到2|=|3|，据此求解即可【详解】（1）解：点(3，2 1)在第二、四象限角平分线上，3+2 1=0，=2(3，3)，点关于轴的对称点的坐标为(3，3)；（2）解：线段 轴，2 1=3，=2，(3，5)，(2，5)，=2 (3)=2+3=5；（3）解：点到轴的距离是到轴距离的 2 倍

38、，2|=|3|，2=3或2=3 ，=1或=3，(1，2)或(3，6)【点睛】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化轴对称，点到坐标轴的距离等等，灵活运用所学知识是解题的关键【考点 8】平面直角坐标系【例 8】（2021 秋姑苏区期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，学校位置坐标为 A（2，1），图书馆位置坐标为 B（1，2），解答下列问题：（1）在图中建立平面直角坐标系，并标出坐标原点 O；（2）若体育馆位置坐标为 C（1，3），请在坐标系中标出体育馆的位置 C；（3）点 C 绕原点顺时针旋转 90得到点 D，直接写出点 D 的坐标；（4）顺次连接学校、图书馆、体育馆

39、，得到ABC，求ABC 的面积【分析】（1）根据 A，B 两点坐标确定平面直角坐标系即可（2）根据点 C 的坐标，作出图形即可；（3）利用旋转变换的性质作出点 C 的对应点 D 即可；（4）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示；（2）如图，点 C 即为所求；（3）如图，点 D 即为所求，D（3，1）；（4）SABC352533124.5【变式 8.1】（2022江苏景山中学八年级期中）已知：(1,0),(0,4),(4,2)(1)在坐标系中描出各点（小正方形网格的长度为单位 1），画出；(2)若 111与 关于轴对称，请在图中画出 111

40、；(3)点是轴上的一动点，直接写出+的最小值 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)213【分析】（1）根据坐标在坐标系中描出点的坐标即可求解；（2）根据轴对称的性质画出 111，（3）作点关于轴的对称点2(0,4),连接2，交轴于点，则2即为所求，勾股定理即可求解【详解】（1）解：如图所示，即为所求，（2）如图所示，111即为所求（3）作点关于轴的对称点2(0,4),连接2，交轴于点，+=2+2，则2即为所求，(4,2)，2(0,4),2=(4+2)2+42=213，+的最小值为213故答案为：213【点睛】本题考查了在坐标系中描点，画轴对称图形，轴对称求线段和最短问题，勾股定理求两点距离，

41、掌握轴对称的性质是解题的关键【变式 8.2】（2022广西南宁市第四十七中学八年级期中）如图 1，在平面直角坐标系中，点(0，2)，(，0)，(6，)，且，满足()2+(8)2=0，连接、，交轴于点(1)求点的坐标；(2)求证：=；(3)如图 2，点在线段上，作 轴于点，交于点，若=，求证：=+【答案】(1)点的坐标为(2，8)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据平方的非负性，得出和的值，再根据题中点的坐标，计算即可得出答案；（2）根据（1），得出(0，6)，(8，0)，(2，8)，进而得出=，=，作轴，轴，过点作轴的平行线交、于、两点，连接，进而得出=90，再根据SAS，得出

42、，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；（3）作 交轴于点，连接，根据角之间的数量关系，得出=，再根据垂线的定义，得出=90，再根据AAS，得出 ，再根据全等三角形的性质，得出=，=，再根据（2）中的图形，继续推导出=45，再根据角之间的数量关系，得出=45，再根据SAS，得出 ，再根据全等三角形的性质，得出=，=，再根据平行的判定，得出，再根据平行线的性质，得出=，进而得出=，再根据等角对等边，得出=，再根据线段之间的数量关系，即可得出结论【详解】（1）解：()2+(8)2=0，又 0，8 0，=0，8=0，解得：=8，=8，6=2，=8，点的坐标为(2，8)；（2）证明：如图，由（1）可得

43、：(0，6)，(8，0)，(2，8)，作轴，轴，过点作轴的平行线交、于、两点，连接，=90，又(0，6)，(8，0)，(2，8)，=，=，(SAS)，=；（3）证明：如图，作 交轴于点，连接，=，=90，又=，(AAS)，=，=，又由（2）中的图形和结论，得出=，=，再根据+=90，进而得出+=90，得出=90，=45，=45，=，(SAS)，=，=，=，=，=，=+=+，=+【点睛】本题考查了非负性、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等角对等边，解本题的关键在正确作出辅助线【变式 8.3】（2022福建省厦门第六中学八年级期中）如图，平面直角坐标系中有点(1,0)和轴上

44、一动点(0,)，(1)当=2时，以 AB 为其中一边作等腰直角，请画出图形，并直接写出 C 点的坐标；(2)动点B在运动的过程中，若2 4，以为斜边，在第二象限作等腰直角，设点C的坐标为(,)，试写出 x 与 y 之间的数量关系以及 x 的取值范围，并说明理由【答案】(1)图见解析，点(2,3)，1(2,1)，2(1,1)，3(3,1)，4(12,12)，5(32,32)(2)=，52 32【分析】（1）分别以为直角边和斜边作图即可，写出坐标即可；（2）过点作 轴与点，交延长线于点，证明 (AAS)，可得=，从而得出=，然后画出图形求的取值范围即可【详解】（1）解：如图，,1,2,3,4,5即

45、为所作：则点(2,3)，1(2,1)，2(1,1)，3(3,1)，4(12,12)，5(32,32)；（2）如图，过点作 轴与点，交延长线于点，+=+=90，=，=90，=，(AAS)，=，点 C 的坐标为(,)，=,=，即=，由（1）得，当=2时，点的坐标为5(32,32)，若=4，则=12+42=17，2+2=2，=，=22=172，2+2=2，设=即(1)2+()2=(172)2，解得：=52或=32（舍），此时点的坐标为(52,52)，的取值范围为52 32【点睛】本题考查了坐标与图形，直角等腰三角形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等三角形的判

46、定与性质是解本题的关键【考点 9】有关坐标新定义问题【例 9】（2020 春海安市期中）阅读材料并回答下列问题：当 m，n 都是实数，且满足 2m8+n，就称点 P（m1，+22）为“爱心点”（1）判断点 A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点 A（a，4）是“爱心点”，请求出 a 的值；（3）已知 p，q 为有理数，且关于 x，y 的方程组+=3+=3 3解为坐标的点 B（x，y）是“爱心点”，求 p，q 的值【分析】（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解；（2）根据“爱心点”的定义，可得方程组 1=+22=4，先求得 n，再求得 m，进一步得到 a

47、 的值；（3）解方程组用 q 和 p 表示 x 和 y，代入 2m8+n，得到关于 p 和 q 的等式，再根据 p，q 为有理数，求出 p，q 的值【解析】（1）1=5+22=3，=6=4，268+4，点 A 是爱心点；1=4+22=8，=5=14，258+14，点 B 不是爱心点；（2）1=+22=4，n10，又2m8+n，2m8+（10），解得 m1，11a，即 a2；（3）解方程组得=3 =2，又点 B 是“爱心点”满足：1=3 +22=2，2m8+n，23 2+2=8+4 2，整理得：23 6=4，p，q 是有理数，p0，6q4，=0，=23【变式 9.1】（2022北京市西城外国语学

48、校八年级期中）在平面直角坐标系中，对于任意图形 G 及直线1，2，给出如下定义：将图形 G 先沿直线1翻折得到图形1，再将图形1沿直线2翻折得到图形2，则称图形2是图形 G 的1,2伴随图形例如：点(2,1)的x 轴，y 轴伴随图形是点(2,1)(1)点(3,2)的x 轴，y 轴伴随图形点的坐标为(2)已知(,1)，(3,1)，(,3)，直线 m 经过点(1,1)当=1，且直线 m 与 y 轴平行时，点 A 的x 轴，m伴随图形点 A 的坐标为；当直线 m 经过原点时，若 的x 轴，m伴随图形上只存在两个与 x 轴的距离为 0.5 的点，直接写出 t的取值范围【答案】(1)(3,2)(2)(3

49、,1)；0.5 0.5或2.5 3.5【分析】（1）点先关于轴对称的点坐标为(3,2)，再关于轴对称的点坐标为(3,2)，故可得点的伴随图形点坐标；（2）=1时，A 点坐标为(1,1)，直线为=1，此时点 A 先关于轴对称的点坐标为(1,1)，再关于轴对称的点坐标为(3,1)，进而得到点的伴随图形点坐标；由题意知直线为直线=，A、三点的x 轴，m的伴随图形点坐标依次表示为：(1,)，(1,3)，(3,)，由题意可得|0.5，或|3|0.5解出的取值范围即可【详解】（1）解：由题意知(3,2)沿轴翻折得点坐标为(3,2)；(3,2)沿轴翻折得点坐标为(3,2)故答案为：(3,2)（2）解:=1，

50、A 点坐标为(1,1)，直线为=1，(1,1)沿轴翻折得点坐标为(1,1)(1,1)沿直线=1翻折得点坐标为(1+2(1 (1),1)即为(3,1)故答案为：(3,1)；解：直线经过原点直线为=A、的伴随图形点坐标先沿轴翻折，点坐标依次为(,1)，(3,1)，(,3)；然后沿直线=翻折，点坐标依次表示为：(1,)，(1,3)，(3,)由题意可知：|0.5或|3|0.5解得：0.5 0.5或2.5 3.5【点睛】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表示出来【变式 9.2】（2022江苏如皋市石庄镇初级中学七年级阶段练习）对于平面直角坐标系 xOy 中的

51、点 A，给出如下定义：若存在点 B（不与点 A 重合，且直线不与坐标轴平行或重合），过点 A 作直线轴，过点 B作直线轴，直线 m，n 相交于点 C当线段，的长度相等时，称点 B 为点 A 的等距点，称 的面积为点 A 的等距面积例如：如图，点(2,1)，点(5,4)，因为=3，所以点 B 为点 A 的等距点，此时点 A 的等距面积为92(1)点 A 的坐标是(0,1)，在点(1,2),(3,2),(1,1)中，点 A 的等距点是 (2)点 A 的坐标是(3,1)，点 A 的等距点(,)在第三象限，若点 A 的等距面积为 2，求此时点 B 的坐标；若点 B 的坐标是(4.5,0.5)，求此时点

52、 A 的等距面积；若点 A 的等距面积不小于98，直接写出 m 的取值范围【答案】(1),；(2)(1,1)或(5,1).点 A 的等距面积为98 4.5或1.5 0【分析】（1）轴交直线=1轴于，=1，即 D 是点 A 的等距点，同理=3，E 是点 A 的等距点，F 不是点 A 的等距点；（2）由点 A 的等距面积为 2，再建立方程求解即可；根据题意得 ,=1.5，可得等距三角形的面积；由点 A 的等距面积不小于98，结合的结论，由点 B 在第三象限，即可得出结果【详解】（1）解：如图，轴交直线=1轴于，过作轴的平行线，交轴于，点 A 的坐标是(0,1)，点(1,2),(3,2),(1,1)

53、=3,=1,=2，点 A 的等距点是,，故答案为：D，E（2）根据新定义画图如下：由点(3,1)的等距面积为 2，12 =2而=，=2，(1,1)或(5,1).根据新定义画图如下：(4.5,0.5)，(3,1)，(3,0.5),=1.5=，点 A 的等距面积为12 1.5 1.5=98根据新定义画图如下：由点 A 的坐标是(3,1)，点 A 的等距点(,)在第三象限，点 A 的等距面积等于98时，(4.5,1.5)或(1.5,1.5)，结合图形可得点 A 的等距面积不小于于98时，的范围为：4.5或1.5 0【点睛】本题主要考查了新定义等距点与等距面积、等腰直角三角形、坐标与图形的性质、三角形

54、面积的计算等知识；熟练掌握新定义等距点与等距面积是解题的关键【变式 9.3】（2022北京八年级期中）在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作1；1关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作2例如，点（2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）根据定义，回答下列问题：(1)点（3，4）的一次反射点为 ，二次反射点为 ；(2)当点在第三象限时，点（4，1），N（3，1），Q（1，5）中可以是点的二次反射点的是 ；(3)若点 A 在第二象限，点1，2分别是点的一次、二次反射点，12=50，求射线与轴所夹锐角的度数；(4)若点 A 在轴左侧，点

55、1，2分别是点的一次、二次反射点，12是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置【答案】(1)（3，4），（4，3）(2)（4，1）(3)20或 70(4)点 A 在轴上或直线=上【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解；（2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断2的位置即可；（3）判断出射线1与轴的夹角，可得结论；（4）利用图像法，点 A 在轴上或直线=上满足条件【详解】（1）点（3，4）的一次反射点为（3，4），二次反射点为（4，3）；故答案为：（3，4），（4，3；（2）点在第三象限时，一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，点 M（4，1），N（3，1），Q（

56、1，5）中可以是点 A 的二次反射点的是 M（4，1）；故答案为：（4，1）；（3）如图 1 中，12=50，1与轴的夹角为 20或 70，根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为 20或 70；（4）如图 2 中，观察图象可知，当点 A 在轴上时，12是等腰直角三角形 如图 3 中，观察图象可知，当点 A 在直线=上时，12是等腰直角三角形 综上所述，点 A 在轴上或直线=上【点睛】本题考查坐标与图形变化对称，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是理解一次反射点、二次反射点的定义，学会利用图像法解决问题【考点 10】两点间的距离公式【例 10】（2021 秋泰宁县期中）先阅读一段文字，再回答下

57、列问题：已知在平面内两点坐标 P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间距离公式为 P1P2，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于 x 轴或垂直于 x 轴，距离公式可简化成|x2x1|或|y2y1|（1）已知 A（3，5），B（2，1），试求 A，B 两点的距离；（2）已知 A、B 在平行于 y 轴的直线上，点 A 的纵坐标为 5，点 B 的纵坐标为1，试求 A，B 两点的距离（3）已知一个三角形各顶点坐标为 A（0，6），B（3，2），C（3，2），你能断定此三角形的形状吗？说明理由【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算；（2）利用与 y 轴平行的直线上所有点的横坐标相同，设点

58、 A 的坐标为（m，5），则点 B 的坐标为（m，1），然后利用两点间的距离公式计算；（3）先利用两点间的距离公式计算出 AB、AC、BC，然后利用三角形的分类可判断此三角形的形状【解答】解：（1）A（3，5）、B（2，1），AB；（2）设点 A 的坐标为（m，5），则点 B 的坐标为（m，1），AB6；（3）ABC 为等腰三角形理由如下：A（0，6），B（3，2），C（3，2），AB5，BC6，AC5，ABAC，ABC 为等腰三角形【变式 10.1】（2022山东济宁七年级期中）先阅读下列文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内有两点1(1 ,1)，(2 ,2)，其两点间的距离可用公式

59、12=(1 2)2+(1 2)2表示，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|1 2|或|1 2|(1)已知(2,4)，(3,8)，试求，两点间的距离；(2)已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为5，点的纵坐标为1，试求，两点间的距离【答案】(1)41(2)6【分析】（1）利用两点间的距离公式12=(1 2)2+(1 2)2求解即可；（2）因为，在平行于轴的直线上，所以两点间的距离为|1 2|.（1）解：（1）(2,4)、(3,8)，两点间的距离=2 (3)2+(4 8)2=41（2）解：，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为5，点的纵坐标为1，两

60、点间的距离=|5 (1)|=6【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点之间的距离公式，关键是掌握距离公式12=(1 2)2+(1 2)2【变式 10.2】（2020陕西西安八年级期中）如图所示，点(,)，(,)是平面直角坐标系中的两个点，且 轴于点，轴于点，填写下空：（1）|=_，|=_（用含，的式子表示请注意字母的正负号）（2）请构造直角三角形，利用勾股定理计算、两点之间的距离的平方为_（用含，的式子表示）（3）若(4,5)，(4,10)，求、两点之间的距离【答案】（1），；（2）()2+()2；（3）17【分析】（1）根据|=即可解决；根据|=|，|=|即可解决；（2）过点 B 作 BEAC

61、于 E，由（1）及在 Rt ABE 中即可求得结果；（3）根据（2）的结论即可完成计算【详解】（1）|=，|=|=，|=|=，|=故答案为：，（2）如图，过点 B 作 BEAC 于 E则|BE|=|CD|=ca，|AE|=|DB|CA|=db在 Rt ABE 中，由勾股定理得：|2=|2+|2=()2+()2故答案为：()2+()2（3）由（2）得：|2=(4+4)2+(10 5)2=289，所以|=17【点睛】本题考查了平面直角坐标系中求两点间距离，勾股定理等知识，体现了转化思想和构造思想【变式 10.3】（2022福建宁德八年级期中）小亮在网上搜索到下面的文字材料：在 x 轴上有两个点它们

62、的坐标分别为(，0)和(，0)则这两个点所成的线段的长为|；同样，若在轴上的两点坐标分别为(0，)和(0，)，则这两个点所成的线段的长为|如图 1，在直角坐标系中的任意两点1，2，其坐标分别为(，)和(，)，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边1=|，2=|，利用勾股定理可得：线段12的长为()2+()2根据上面材料，回答下面的问题：(1)在平面直角坐标系中，已知(2,2),(6,5),则线段的长为_；(2)若点在 y 轴上，点的坐标是(3，0)，且=6，则点的坐标是_；(3)如图 2，在直角坐标系中，点,的坐标分别为(1,3)）和(3,0)，点是轴上的一个动点，且

63、,三点不在同一条直线上，求 周长的最小值【答案】(1)5(2)(0,33)或(0,33)(3)周长最小值为13+5【分析】（1）根据勾股定理直接进行计算即可求解；（2）设(0,)，由点的坐标是(3，0)，且=6，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解（3）作点关于轴的对称点，根据对称性可得+即为 周长最小值，勾股定理求得,即可求解【详解】（1）解：(2,2),(6,5),=(6 2)2+(5 2)2=42+32=5，故答案为：5；（2）设(0,)，点的坐标是(3，0)，且=6，62=32+2，解得=33，点的坐标是：(0,33)或(0,33)，故答案为：(0,33)或(0,33)；（3）如图 2，作点关于轴的对称点，则点(1,3)，+，当,三点共线时，+最小，即 周长最小，(1,3)，(3,0)，(1,3)，=(3 1)2+(0 3)2=4+9=13，=3 (1)2+(0 3)2=16+9=5，ABC 周长最小值为：13+5【点睛】本题考查了勾股定理求两点距离，轴对称的性质求线段和的最值问题，掌握勾股定理，轴对称的性质是解题的关键