专题10解三角形（解析版）.docx

1、五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题10 解三角形解三角形作为高考必考题，高考题型一般作为1小1大或者是2小1大模式。考点01 正弦余弦定理应用考点02 三角形中面积周长应用 考点03 结构不良结构考点01 正弦余弦定理应用1(2023年北京卷第7题)在中，则()ABCD【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以故选：B2(2020年高考课标卷理科第7题)在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=()ABCD【答案】A【解析】在中，根据余弦定理：可得 ，即由故故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题2(2

2、021年高考全国乙卷理科第9题)魏晋时刘徽撰写的海岛算经是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高()()A表高B表高C表距D表距【答案】A【解析】如图所示：由平面相似可知，而，所以，而，即故选：A【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出3(2021年高考全国甲卷理科第8题)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为884886(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的

3、一个示意图，现有ABC三点，且ABC在同一水平面上的投影满足，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则AC两点到水平面的高度差约为()()A346B373C446D473【答案】B【解析】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以所以因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以故选：B【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为二 填空题1(2021年高考全国乙卷理科第15题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_【答案】【解析】由题意，所以，所以，解得(负值舍去)故答案为：2(2021年高考浙江卷第14题)在中，M是中点，则

4、_，_【答案】(1) (2) 解析:由题意作出图形，如图，在中，由余弦定理得，即，解得(负值舍去)，所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得故答案为；3(2020年高考课标卷理科第16题)如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_【答案】【解析】，由勾股定理得，同理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得故答案为：【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题4(2019浙江第14题)在中，点在线段上若，则 ， 【答案】，【解析】由题可得，由正弦定理得，解得，所以5(2019全国理第15题)的内角，的对边分别

5、为，.若，则的面积为【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即，解得(舍去)，所以， 【点评】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算6(2023年全国甲卷理科第16题)在中，的角平分线交BC于D，则_【答案】【解析】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，因为，解得：，由可得，解得：故答案为：方法二：由余弦定理可得，因为，解得：，由正弦定理可得，解得

6、：，因为，所以，又，所以，即故答案为：三 解答题1(2023年天津卷第16题)在中，角所对边分別是已知(1)求的值；(2)求的值；(3)求【答案】(1) (2) (3)【解析】(1)由正弦定理可得，即，解得：；(2)由余弦定理可得，即，解得：或(舍去)(3)由正弦定理可得，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，故2(2023年新课标全国卷第17题)已知在中，(1)求；(2)设，求边上的高【答案】(1) (2)6【解析】(1)，即，又，即，所以，(2)由(1)知，由，由正弦定理，可得，2(2023年新课标全国卷第17题)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且(1)若，求；(2)若，求【答案

7、】(1)； (2)【解析】(1)方法1：在中，因为为中点， 则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，则，所以方法2：在中，因为为中点，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，过作于，于是，所以(2)方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以3(2021年新高考卷第19题)记是内角，的对边分别为，已知，点在边上，(1)证明：；(2)若，求【答案】【解析】(1)由题设，由正弦定理知：，即，又，得证(2)由题意知：，同理，整理得，又，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综

8、上，4(2020年浙江省高考数学试卷第18题)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(I)求角B；(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围【答案】(I)；(II)【解析】(I)由结合正弦定理可得：ABC为锐角三角形，故(II)结合(1)的结论有：由可得：，则，即的取值范围是5(2022新高考全国I卷第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求B；(2)求的最小值【答案】(1)； (2)【解析】(1)因为，即，而，所以；(2)由(1)知，所以，而， 所以，即有所以当且仅当时取等号，所以的最小值为6(2020天津高考第16题)在中，角所对的边分别为已

9、知()求角的大小；()求的值；()求的值【答案】()；()；()【解析】()在中，由及余弦定理得，又因为，所以；()在中，由，及正弦定理，可得；()由知角为锐角，由，可得，进而，所以7(2020江苏高考第16题)在中，角的对边分别为，已知(1)求的值；(2)在边上取一点，使得，求的值【答案】(1)；(2)【解析】(1)由余弦定理得，所以由正弦定理得(2)由于，所以由于，所以，所以所以由于，所以所以8(2019全国理第17题)的内角的对边分别为设(1)求；(2)若，求【答案】【解析】(1)由已知得，故由正弦定理得由余弦定理得因为，所以(2)由(1)知，由题设及正弦定理得，即，可得由于，所以，故9

10、(2019江苏第15题)在中，角的对边分别为(1)若，求的值；(2)若，求的值【答案】见解析【解析】(1)因为由余弦定理，得，即.所以.(2)因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.10(2019北京理第15题)在ABC中，()求的值；()求sin(BC)的值【答案】()由题可知，由余弦定理得：，解得：()由同角三角函数基本关系可得：，结合正弦定理可得：，很明显角C为锐角，故，故考点02 三角形中面积周长问题1(2023年全国乙卷理科第18题)在中，已知，(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积【答案】(1)； (2)【解析】(1)由余弦定理可得：，则，(2)由

11、三角形面积公式可得，则2(2021年新高考全国卷第18题)在中，角、所对的边长分别为、，(1)若，求的面积；(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】解析:(1)因为，则，则，故，所以，锐角，则，因此，；(2)显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，故3(2020年高考课标卷理科第17题)中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC(1)求A；(2)若BC=3，求周长的最大值【答案】(1)；(2)【解析】(1)由正弦定理可得：，(2)由余弦定理得：，即(当且仅当时取等号)，解得：(当且仅当时取等号)

12、，周长，周长的最大值为【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值4(2022高考北京卷第16题)在中，(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长【答案】解析:因为，则，由已知可得，可得，因此，解：由三角形的面积公式可得，解得由余弦定理可得，所以，的周长为5(2022年浙江省高考数学试题第18题)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知(1)求的值；(2)若，求的面积【答案】解析:(1)由于， ，则因为，由正弦定理知，则(2)因为，由余弦定理，

13、得，即，解得，而，所以的面积6(2022新高考全国II卷第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知(1)求面积；(2)若，求b【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，则；(2)由正弦定理得：，则，则，7(2022年高考全国乙卷数学(理)第17题)记的内角的对边分别为，已知(1)证明：；(2)若，求的周长【答案】(1)见解析 (2)14【解析】【小问1详解】证明：因为，所以，所以，即，所以；【小问2详解】解：因为，由(1)得由余弦定理可得， 则，所以，故，所以，所以的周长为考点03 机

14、构不良试题1(2020年新高考全国卷(山东)第17题)在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】解法一：由可得：，不妨设，则：，即选择条件的【解析】据此可得：，此时选择条件的【解析】据此可得：，则：，此时：，则：选择条件的【解析】可得，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在解法二：, ，,若选，,c=1;若选，,则,;若选,与条件矛盾2(2020年新高考全国卷数学(海南)第17题)在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角

15、形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即选择条件的【解析】据此可得：，此时选择条件的【解析】据此可得：，则：，此时：，则：选择条件的【解析】可得，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在解法二：, ，,若选，,c=1;若选，,则,;若选,与条件矛盾3(2021高考北京第16题)在中，(1)求角B的大小；(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长条件：；条件：周长为；条件：的面积为；【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析【解析】(1)，则由正弦定理可得，解得；(2)若选择：由正弦定理结合(1)可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择：由(1)可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择：由(1)可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：4(2020北京高考第17题)在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求：()的值：()和的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选择条件()()由正弦定理得：选择条件()由正弦定理得：()