专题10 8字型 角分线求角（解析版）.docx

1、 专题10 8字型+角分线求角1【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成为“8”字形，并得出如下结论：A+BC+D，请你说明理由；（2）【尝试应用】如图2，AP、CP分别平分BAD、BCD，若ABC36，ADC16，求P的度数；小明结合（1）中的结论并利用方程思想轻松解答如下：解：由AP、CP分别平分BAD、BCD，可设12x，34y，由（1）的结论得：，请你帮小明把求解过程补充完整（3）【拓展延伸】如图3，已知C，B，CAPCAB，CDPCDB，请利用上述结论或方法直接写出P的度数（用含， 的代数式表示）【答案】（1）见解析；（2）26，过程见解析；（3）【解析】【分析】（1

2、）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证；（2）+，得2P+1+32+4+B+D，再由角平分线的定义，得到P （B+D），即可求解；（3）利用（1）的结论及（2）的思路，可得，从而得到， ，继而得到，即可求解【详解】解：（1）证明：在AOB中，A+B+AOB180，在COD中，C+D+COD180， AOBCOD，A+BC+D； （2）+，得2P+1+32+4+B+D即 2P+x+yx+y+B+D P （B+D）26（3） ， ，CAPCAB，CDPCDB，BAPCAB，BDPCDB， ， ，C，B， 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解

3、答是解题的关键2如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G， （1）若，求的度数；（2）若，求的度数【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；（2）根据角平分线的定义可得ADP=PDF，CBP=PBA，再根据三角形的内角和定理可得A+ADP=P+ABP，C+CBP=P+PDF，所以A+C=2P，即可得解【详解】解：（1）DP平分ADC，ADP=PDF=， ，；（2）BP平分ABC，DP平分ADC，ADP=PDF，CBP=PBA，A+ADP=P+ABP，C+CBP=P+PDF，A+C=2P，A=42，C=38，P=（38

4、+42）=40【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键3已知，（1）如图，是的平分线，是的平分线，求的度数；（2）如果（1）中条件变为，其它条件不变，则_（直接写出答案）【答案】(1)59；(2).【解析】【分析】(1)连接DB，由得出CDA=A，C=CBA，再利用角平分线的性质得出PDA和PBC的度数，用三角形外角性质的出DGB，根据三角形的内角和等于180，即可求出ADB+CBD，从而求出P的度数.(2)根据题(1)的思路，将，代入即可求得C的度数.【详解】解：(1)连接BD，CDA=A=40，C=CBA=78是的平

5、分线，是的平分线CDP=PDA=20，ABP=PBC=39C+CDG=DGBDGB=40+78=118GDB+GBD=180-118=62PBD+PDB=62+20+39=121P=180-121=59(2) ， CDA=A=，C=CBA是的平分线，是的平分线CDP=PDA=，ABP=PBC=C+CDG=DGBDGB=+GDB+GBD=PBD+PDB=P=【点睛】本题主要考查的是三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，平行线和角平分线的性质，结合图形找出各个角之间的关系是解题的关键.4已知：如图，AM，CM分别平分BAD和BCD若B32，D38，求M的度数；探索M与B、D的关系并证明你的结论

6、【答案】35；M=（B+D），证明见解析【解析】【分析】根据三角形内角和定理用B、M表示出BAM-BCM，再用B、M表示出MAD-MCD，再根据角平分线的定义可得BAM-BCM=MAD-MCD，然后求出M与B、D关系，代入数据进行计算即可得解；根据三角形内角和定理用B、M表示出BAM-BCM，再用B、M表示出MAD-MCD，再根据角平分线的定义可得BAM-BCM=MAD-MCD，然后求出M与B、D关系【详解】解：根据三角形内角和定理，B+BAM=M+BCM，BAM-BCM=M-B，同理，MAD-MCD=D-M，AM、CM分别平分BAD和BCD，BAM=MAD，BCM=MCD，M-B=D-M，M

7、=（B+D）=（32+38）=35；根据三角形内角和定理，B+BAM=M+BCM，BAM-BCM=M-B，同理，MAD-MCD=D-M，AM、CM分别平分BAD和BCD，BAM=MAD，BCM=MCD，M-B=D-M，M=（B+D）【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用5如图，与的角平分线交于点P（1）若，求的度数；（2）猜想，的等量关系【答案】（1）32；（2）【解析】【分析】（1）根据对顶角相等可得AFC=BFP，BED =AEP，利用三角形的内角和定理可得CCAF=PPBF，DDBE=PPAE，两式

8、相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得CD=2P，从而求出P；（2）根据对顶角相等可得AFC=BFP，BED =AEP，利用三角形的内角和定理可得CCAF=PPBF，DDBE=PPAE，两式相加并利用角平分线的定义和等式的基本性质变形可得CD=2P，从而证出结论【详解】解：（1）AFC=BFP，BED =AEP180（CCAF）=180（PPBF），180（DDBE）=180（PPAE）CCAF=PPBF，DDBE=PPAE，得CCAFDDBE=PPBFPPAE与的角平分线交于点PCAF=PAE，DBE=PBFCD=2PP=32；（2），理由如下AFC=BFP，BED =AEP180

9、（CCAF）=180（PPBF），180（DDBE）=180（PPAE）CCAF=PPBF，DDBE=PPAE，得CCAFDDBE=PPBFPPAE与的角平分线交于点PCAF=PAE，DBE=PBFCD=2PP=【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和角的和与差，掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题关键6已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出、之间的数量关系： ；（2）在图2中，若，试求P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中和为任意角，

10、其他条件不变，试写出P与、之间数量关系（直接写出结论）【答案】（1）；（2）45；（3）【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180，易得A+ D=B+C；（2 ）仔细观察图2，不难看出它有两个图1构成ADMCP， APNCB由此，得到两个关系式2+D=3+ P，1+P= 4+B，再由角平分线的性质得1=2 ，3=4，两式相减，即可得结论 （3）与（2）相同【详解】（1）证明：在中， 在中， 故答案为： （2）解：如图2， AP、CP分别平分 、 ， 由（1）的结论得： +，得： （3）解：如图2， AP、CP分别平分 、 ， 由（1）的结论得： +，得： 【点睛】本题主要考查了三角形内

11、角和定理、角平分线性质、等量代换；难点在于灵活运用各等量关系7如图1，AB与CD相交于点O，若，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N试求： （1）的度数；（2）设，其他条件不变，如图2，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论【答案】(1)33；(2) 【解析】【分析】(1)根据角平分线可以得到DAP=PAB，DCP=PCB，利用三角形的外角和公式，得出等式结合题目给出的已知条件即可求解；(2)利用三角形的外角和性质找出题目中隐含的等量关系，从而得出P和D、B之间存在的数量关系【详解】解：(1)AP是DAB的角平分线，CP是DCB的角平分线DAP=

12、PAB，DCP=PCBP+PAB=B+PCB，P+PCD=D+DAPP+PAB+P+PCD=B+PCB+D+DAP2P=B+DB=28，D=38P=33(2) P=P+PCD=D+DAPPCD-DAP=D-PD+DAO=B+OCBDAB-DCB=B-D，DAB-DCB=3（DAP-DCP）B-D=3(P-D)，P=【点睛】本题主要考查的是三角形的外角和性质，正确的利用三角形的外角和性质，找出题目中隐含的等量关系是解题的关键8图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分

13、别相交于M、N.试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系： ；（2）图2中，当D=50度，B=40度时，求P的度数.（3）图2中D和B为任意角时，其他条件不变，试问P与D、B之间存在着怎样的数量关系.【答案】（1）A+D=C+B；（2）P=45；（3）2P=D+B.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出A+D=C+B；（2）由（1）得，DAP+D=P+DCP，PCB+B=PAB+P，再根据角平分线的定义可得DAP=PAB，DCP=PCB，将+整理可得2P=D+B，进而求得P的度数；（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2P=

14、D+B.【详解】解（1）A+D+AOD=C+B+BOC=180，AOD=BOC，A+D=C+B；（2）由（1）得，DAP+D=P+DCP，PCB+B=PAB+P， DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，DAP=PAB，DCP=PCB， +得：DAP+D+PCB+B=P+DCP+PAB+P， 即2P=D+B=50+40，P=45；（3）关系：2P=D+B；证明过程同（2）.9（1）如图1，求证ABCD（2）如图2，ABC和ADC的角平分线交于点P，若AC50，求P的度数（3）如图3，BAD和BCD的外角角平分线相交于点Q，请探究Q与B，D之间的数量关系，并直接写出结论【答案】（1）证明见解

15、析；（2）25；（3）【解析】【分析】（1）设AD，BC交于点O，根据AOC是AOB的外角，AOC是OCD的外角即可得证；（2）设PBAPBCx，PDAPDCy，根据（1）中结论可得到AxPy，CyPx，联立即可求得P；（3）根据角平分线的性质可得QAEQAD，QCBQCF，设，再结合（1）的结论可得到，在四边形ADCQ中，QQADDDCQ360，可得到，继而得到，从而得到【详解】（1）证明：如图所示，设AD，BC交于点O，AOC是AOB的外角，AOC是OCD的外角，ABAOC，CDAOC，ABCD；（2）解：ABC和ADC的平分线交于点P，PBAPBC，PDAPDC，设PBAPBCx，PDA

16、PDCy，由（1）的结论可得：APBAPPDA，AxPy，同理可得CyPx，由得：AxCyPyPx，2PAC50，P25；（3）BAD和BCD的外角的平分线交于点Q，AQ平分DAE，CQ平分BCF，QAEQAD，QCBQCF，设，则，由（1）的结论可得：BBADDBCD，在四边形ADCQ中，QQADDDCQ360，即，【点睛】本题考查三角形的外角性质、角平分线的性质、多边形的内角和与外角和，解题的关键是综合运用相关知识解题10（1）如图1，则A、B、C、D之间的数量关系为 （2）如图2，AP、CP分别平分BAD、BCD若B36，D14，求P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分BCE、FAD

17、，AG反向延长线交CP于点P，请猜想P、B、D之间的数量关系并说明理由【答案】（1）A+BC+D；（2）P25；（3）2PB+D，理由见解析【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；（2）根据角平分线的定义可得BAPDAP，BCPDCP，结合（1）的结论可得2PB+D，再代入计算可求解；（3）根据角平分线的定义可得ECPPCB，FAGGAD，结合三角形的内角和定理可得P+GADB+PCB，P+（180GAD）D+（180ECP），进而可求解【详解】解：（1）AOB+A+BCOD+C+D180，AOBCOD，A+BC+D，故答案为A+BC+D；（2）AP、CP分别平分

18、BAD、BCD，BAPDAP，BCPDCP，由（1）可得：BAP+BBCP+P，DAP+PDCP+D，BPPD，即2PB+D，B36，D14，P25；（3）2PB+D理由：CP、AG分别平分BCE、FAD，ECPPCB，FAGGAD，PABFAG，GADPAB，P+PABB+PCB，P+GADB+PCB，P+PADD+PCD，P+（180GAD）D+（180ECP），得：2PB+D【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键11（类比探究）如图1，线段AD，CB相交于点O，连接AB，DC，我们把形如图1的图形称之为“X型”如图2，

19、在图1的条件下，DAB和BCD的平分线AE和CE相交于点E，并且与CB，AD分别相交于F，G，试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出A，B，C，D之间的数量关系：_；（2）在图2中，共有_个“X型”；（3）在图2中，若D=40，B=30，则AEC=_；（4）在图2中，若D=，B=，则AEC=_【答案】（1）A+D=C+B；（2）6；（3）35；（4）+【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出A+B=C+D；（2）根据“X型”的定义，仔细观察图形即可得出“X型”共有6个；（3）先根据“X型”中的角的规律，可得BAE+B=E+ECB，ECD+D=EAD+E，再根据角平分线的定义，得出

20、BAE=EAD，BCE=ECD，将+，可得2E=D+B，进而求出E的度数；（4）同（3），根据“X型”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2AEC=+【详解】（1）A+B+AOB=C+D+DOC=180，AOB=DOC，A+B=C+D；故答案为：A+D=C+B；（2）线段AD、CB相交于点O，形成“X型”；线段AG、CF相交于点O，形成“X型”；线段AD、CE相交于点G，形成“X型”；线段AD、CF相交于点O，形成“X型”；线段AE、CB相交于点F，形成“X型”；线段AG、CB相交于点O，形成“X型”；故“X型”共有6个；故答案为：6（3）BAE+B=E+ECB，ECD+D=EAD+E，DA

21、B和BCD的平分线AE和CE相交于点E，DAE=EAB，DCE=ECB，+得：BAE+B +ECD+D =E+ECB +EAD+E，即2E=D+B，又D=40，B=30，2E=40+30=70，AEC=35；故答案为：35；（4）由（3）知：2E=D+BD=，B=，2E=+故答案为：+【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力（1）中根据三角形内角和定理得出“X型”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“X型”；（3）（4）直接运用“X型”中的角的规律解题12【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明A+B=

22、C+D；【简单应用】（2）如图2， AP、CP分别平分BAD BCD，若ABC=46，ADC=26，求P的度数；【问题探究】（3）如图3，直线AP平分BAD的外角FAD，CP平分BCD的外角BCE，若ABC=36，ADC=16，请猜想P的度数，并说明理由【拓展延伸】（4） 在图4中，若设C=，B=，CAP=CAB，CDP=CDB，试问P与C、B之间的数量关系为： （用、表示P）； 在图5中，AP平分BAD，CP平分BCD的外角BCE， 猜想P与B、D的关系，直接写出结论【答案】（1）见解析；（2）36；（3）26，理由见解析；（4）P=P=【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（

23、2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；（3）由AP平分BAD的外角FAD，CP平分BCD的外角BCE，推出1=2，3=4，推出PAD=1802，PCD=1803，由P+（1801）=D+（1803），P+1=B+4，推出2P=B+D，即可解决问题（4）同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题【详解】（1）在AEB中，A+B+AEB=180在CED中，C+D+CED=180AEB=CED，A+B=C+D；（2）由（1）得：1+B=3+P，4+D=2+P，1+B+4+D =3+P+2+P1=2，3=4，2P=B+D=4

24、6+26=72，P=36（3）P=26，理由是：如图3：AP平分BAD的外角FAD，CP平分BCD的外角BCE，1=2，3=4，PAD=1802，PCD=1803PAB=1，P+PAB =B+4，P+1=B+4P+（1802）=D+（1803），2P=B+D，P=（B+D）=（36+16）=26（4）设CAP=m，CDP=n，则CAB=3m，CDB=3n，PAB=2m，PDB=2nC+CAP=P+PDC，P+PAB=B+PDB，C=，B=，+m=P+n，P+2m=+2n，P = nm，P=2n2m=2（nm），2+=3PP=故答案为：P=设BAP=x，PCE=y，则PAO=x，PCB=yPAO

25、+P=PCD+D，B+BAO=OCD+D，x+P=180y+D，B+2x=1802y+D，P=故答案为：P=【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型13【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明A+B=C+D； 【简单应用】 （2）如图2，AP、CP分别平分BADBCD，若ABC=36，ADC=16，求P的度数； 【问题探究】（3）如图3，直线AP平分BAD的外角FAD，CP平分BCD的外角BCE，若ABC=36，ADC=16，请猜想P的度数，并说明理由 【拓展延伸】 （4）在图4中

26、，若设C=，B=，CAP=CAB，CDP=CDB，试问P与C、B之间的数量关系为： _ （用、表示P,不必证明）【答案】（1）证明见解析；（2）26；（3）26；（4）P=+.【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明（2）根据角平分线的定义可得1=2，3=4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；（3）表示出PAD和PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；（4）列出方程组即可解决问题【详解】（1）证明：在AOB中，A+B+AOB=180，在COD中，C+D+COD=180， AOB=COD，A+B=C+D； (2) 如图2，AP、CP分别平分BAD、BCD，1=2，3=4，2+B=3+P，1+P=4+D，2P=B+D，P=（B+D）=（36+16）=26；(3)如图3，AP平分BAD的外角FAD，CP平分BCD的外角BCE，1=2，3=4，PAD=180-2，PCD=180-3，P+（180-1）=D+（180-3），P+1=B+4， 2P=B+D，P=（B+D）=（36+16）=26； (4)P=+.