专题10 圆锥曲线中的最值的问题（教师版）.docx

1、专题10 圆锥曲线中的最值的问题一、题型选讲题型一 、与线段有关的最值问题与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。例1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）A以线段为直径的圆与直线相离 B以线段为直径的圆与轴相切C当时，D的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.对

2、于选项C，D，设，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，若设，则，于是，最小值为4；当可得，所，.故选:ACD.例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线的焦点为F(4，0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=_，的最小值为_【答案】 【解析】 抛物线的焦点为F(4，0)， ， 抛物线的方程为，设直线的方程为，设，由得，由抛物线的定义得，当且仅当即时，等号成立，故答案为：例3（2019南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M(x0，y0)是椭圆C：y21上的一点，从原点O向圆M：(xx0)2(yy0)2r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率

3、分别记为k1，k2.(1) 若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；(2) 若r.求证：k1k2；求OPOQ的最大值 思路分析1 第(2)问，注意到直线OP，OQ与圆相切，因此，利用圆心到直线的距离等于半径可得到k1，k2与x0，y0的关系，利用点(x0，y0)在椭圆上，来求出k1k2的值由直线OP，OQ与椭圆相交，求出交点的坐标，进而将OPOQ表示为k1，k2的代数式，根据k1k2，消去k1(或k2)后，得到关于k2(或k1)的函数，利用基本不等式或函数求最值的方法，求出OPOQ的最大值思路分析2 对于第(2)问的第小题，由点P，Q在椭圆上以及k1k2，将OP，OQ表示为点P，Q的横

4、坐标的形式，然后来求它的最值规范解答 (1) 因为椭圆C右焦点的坐标为(，0)，所以圆心M的坐标为，(2分)从而圆M的方程为(x)2y2.(4分)(2) 因为圆M与直线OP：yk1x相切，所以，即(45x)k10x0y0k145y0，(6分)同理，有(45x)k10x0y0k245y0，所以k1，k2是方程(45x)k210x0y0k45y0的两根，(8分)从而k1k2.(10分)解法1 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立解得x，y，(12分)同理，x，y，所以OP2OQ2.由可知，k1k2，所以原式(14分)， 当且仅当k1时取等号. 所以OPOQ的最大值为. (16分)解法2 设

5、点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由知k1k2，得，16yyxx.(*)因为y1，y1代入(*)，整理得xx4.(12分)所以OP2OQ2(xy)(xy)11(14分)2，当且仅当x1x2时取等号，所以OPOQ的最大值为.(16分)题型二、 与向量有关的最值问题与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。例4、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是_.【答案】【解析】由题意可设，线段中点为，且，可得为的重心，设，由重心坐标公式可得，即有的中

6、点，可得，由题意可得点在椭圆内，可得，由，可得，即有.故答案为：.例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2) 记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；求的取值范围 第(2)问中有两个动点，点M和点P，思路1，把点P作为主动点，点M作为被动点，故可设P(m，2)，且m0，进而求出点M坐标，表示出k1，k2和后运算即可；思路2，把点M作为主动点，点P作为被动点，故可设M(x0，

7、y0)(x00)，进而求出点P坐标，表示出k1，k2和后运算即可规范解答 (1) 由题意B(0，1)，C(0，1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为1，即yx1，联立解得或(舍)，即M.(2分)连结BF，则直线BF：1，即xy0，而BFa2，点M到直线BF的距离为d.故SMBFBFd2.(4分)(2) 解法1(点P为主动点) 设P(m，2)，且m0，则直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为yx1，联立化简得x2x0，解得M，(6分)所以k1m，k2，(8分)所以k1k2m为定值(10分)由知，(m，3)，(m，2)，所以(m，3)，(12分)令m24t4，故t7

8、，(14分)因为yt7在t(4，)上单调递增，所以t7479，即的取值范围为(9，)(16分)解法2(点M为主动点) 设点M(x0，y0)(x00)，则直线PM的方程为yx1，令y2，得P.(6分)所以k1，k2，(8分)所以k1k2(定值)(10分)由知，(12分)所以3(y02)3(y02)3(y02).(14分)令ty01(0，2)，则t7，因为yt7在t(0，2)上单调递减，所以t7279，即的取值范围为(9，)(16分)题型三、与坐标或参数有关的最值问题与坐标或参数有关的最值问题关键是建立目标函数，然后运用基本不等式或者求导或者通过简单的函数问题进行求解。例6、（2019山东高三月考

9、）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.（1）求的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.【答案】（1）,； （2）存在点，且.【解析】（1）由题意可知，则，又的周长为8，所以，即，则，.故的方程为.（2）假设存在点，使得为定值.若直线的斜率不存在，直线的方程为，则.若直线的斜率存在，设的方程为，设点，联立，得，根据韦达定理可得：，由于，则 因为为定值，所以，解得，故存在点，且.例7、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点

10、，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q.已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围 (1)根据题意，建立关于a，c的方程组，求出a，c的值，进而确定b的值，得到椭圆的s标准方程(2)设出点B的坐标为(m，n)，用m，n表示x0，然后再减元转化为关于m的一元函数求求其值域也可以设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，得到点B和P的坐标，进而求得直线BQ和PQ的方程，由两直线方程联立求得交点Q的横坐标x0，根据函数的值域求得x0的取值范围规范解答 (1) 由题意得，a6，解得a2，

11、c1，所以b，所以椭圆C的标准方程为1.(4分)(2) 解法1设B(m，n)，则1.因为A(2，0)，ABBQ，所以直线BQ的方程为y(xm)n，因为P是AB的中点，所以P(，)，所以直线OP的方程为yx，联立直线BQ，OP的方程得(xm)nx，(8分)解得x0，由1得n2(m24)，代入上式化简得x0m6，(14分)因为2m2，所以4x03，所以04，448，即4x08.(16分) 直线和椭圆相交求范围(最值)问题，第(2)问解法1设出关键点B的坐标(m，n)，建立关于点中参数m，n的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决；解法2通常设出直线的方程，并与椭圆方程联立，进而转化关于x或y

12、的一元二次方程，通过根与系数关系，运用设而不求的思想，得到点的坐标，建立关于线中参数m的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决. 这两种解法都较常见. 解法1参量多一点，但运用得当，也很方便，这里解法1在建立目标函数后就显得很简单，解法2参量少目标集中例8、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：1(ab0)的离心率为，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1PA，l2PB，直线l1，l2交于点C.(1) 若点C的横坐标为1，求点P的坐标；(2) 若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围规范解答 由题意得解得所以b2a2

13、c23，所以椭圆M的方程是1且A(2，0)，B(2，0)(3分)解法1(点参数法) (1)设P(x0，y0)，kPA，因为l1PA，所以直线AC的方程为y(x2)同理直线BC的方程为y(x2)联立方程组解得.又因为点P(x0，y0)在椭圆上，故1，所以y0，所以点C的坐标为.(6分)因为点C的横坐标为1，所以x01.又因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以y0，所以点P的坐标为.(8分)(2)解法1 设Q(xQ，yQ)，因为，所以解得 因为点Q在椭圆M上，所以1.又y3，整理得7x36(1)x0721000，解得x02或x0.(14分)因为P为椭圆M上第一象限内一点 所以02，解得，故的取值范围

14、是.(16分)解法2 P为椭圆M上第一象限内由(1)可知直线AC的斜率为k，直线AC的方程为yk(x2)，联方方程组得(4k23)x216k2x16k2120，所以xAxQ(2)xQ，故xQ，故.因为0x02，所以.解法2(线参数法) (1) 设直线AP的斜率为k，P(x0，y0)因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以0k，所以kAPkBP，所以直线BP的斜率为.故直线AP，BP的方程分别为yk(x2)，y(x2)联立方程组解得即P.因为l1PA，所以kAC，则直线AC的方程为y(x2)因为l2PB，所以kBCk，则直线BC的方程为yk(x2)联立言程组得即C.(6分)因为点C的横坐标为1，所以

15、1，解得k.因为0k，所以k，所以点P的坐标为.(8分)(2)设Q(xQ，yQ)，C(xC，yC)，又直线AC的方程为y(x2)联立方程组得(3k24)x216x1612k20，所以2xQ，解得xQ.因为，所以1.(14分)因为0k0，b0)与椭圆1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为_【答案】. 8【解析】设椭圆的长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c，则c2，故椭圆的离心率e1，从而双曲线的离心率e2，可得a1，根据双曲线的定义有PF1PF22a，即PF1PF22，故PF24，由双曲线的范围可得PF2ca1，根据基本不等式

16、可得PF24248，当且仅当PF2，即PF22时取“”，所以的最小值为8.2、(2019南通、扬州、泰州、淮安三调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2y2a2于相异两点P，Q.(1) 若直线l的斜率为，求的值；(2) 若，求实数的取值范围 第(1)问，首先根据条件求出椭圆的方程，由于点P是直线l与椭圆的交点，所以由直线方程与椭圆的方程联立成方程组，求出点P的坐标，进而求出AP的长度而AQ为圆的弦，所以求出圆心到直线l的距离d，就可求出AQ的长度，进而得到的值；或者，注意到等于点P，Q的纵坐标之比，故由直线l的

17、方程与椭圆、圆的方程联立成方程组，求出交点的纵坐标即可；第(2)问，注意到，两个向量同向共线，所以.根据(1)的分析，方法一，由1可知，只需求出点P，Q的纵坐标则可，从而就能将表示为k的函数，由此求出它的取值范围；方法二，是将AP，AQ表示为直线l的斜率的形式，从而将表示为k的函数，由此求出它的取值范围规范解答 (1) 由条件知解得所以椭圆的方程为1，圆的方程为x2y24.(3分)解法1 直线l的方程为y(x2)，由消去y得3x24x40.解得xA2，xP，所以P.所以AP.(5分)又因为原点O到直线l的距离为d，所以AQ2，所以.(7分)解法2 由得3y24y0，所以yP.(5分)由消去x得

18、5y28y0，所以yQ.所以.(7分)(2) 解法1 因为，且，同向，则1，设直线l：yk(x2)，由得(2k21)x28k2x8k240，即(x2)0，所以xA2, xP，得P.所以AP222，即AP.(10分)同理AQ.(12分)所以111.因为k20，所以00，所以0b0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2(y3)21的一条直径，在y轴上截距为3的直线l与AF平行且与圆C2相切(1) 求椭圆C1的离心率；(2) 若椭圆C1的短轴长为 8，求的最大值规范解答 (1) 由题意得F(c,0)，A(0，b)，则kAF.(2分)因为在y轴上截距为3的直线l与AF平行，所以直线l：yx3，即bxcy(3)c0.(4分)因为圆C2的圆心C2(0,3)，半径r1，直线l与圆C2相切，所以1，即1，所以e.(6分)(2) 因为椭圆C1 的短轴长为 8，所以2b8，即b4.因为a2b2c2，1，所以ac,2c2b2c2.(8分)所以cb4，a4，所以椭圆方程是1.(10分)设P(x，y)，则()()()2()()2x2(y3)2132(y3)21y26y40(y3)249，又y4,4，所以当y3时，的最大值是49.(16分)