专题10 截长补短模型综合应用（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）.docx

1、专题10 截长补短模型综合应用（知识解读）【专题说明】 “截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“abc”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。【方法技巧】 常见类型及常规解题思路： 可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类型证明。 可以将与构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为的直角三角形等。截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法常规辅助线：（1） 延长短边。（2）通过旋转等方

2、式使两短边拼合到一起 【典例分析】【典例1】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明问题：如图，在ABC中，AD平分BAC交BC于点D，且B2C，求证：AB+BDAC截长法：在AC上截取AEAB，连接DE，证明CEBD即可补短法：延长AB至点F，使AFAC，连接DF，证明BFBD即可请结合右边的证明结论求证：AB+BDAC请结合右边的【模型分析】证明结论求证：AB+BDAC【截长法】 【补短法】 【变式1】如图，ABC为等边三角形，D为ABC外一点，连接AD，BD，CD，ADBADC60，求证：ADBD+CD

3、【变式2】如图，RtABC中，ACBC，AD平分BAC交BC于点D，CEAD交AD于F点，交AB于点E求证：AD2DF+CE【变式3】如图，ABC内接于O，ACBC，CD是O的一条弦，且，过点A作APCD，分别交CD，O于点E，P，连接BP，若CD6，ABP的周长为13，求AE的长【变式4】如图，在ABC中，ABAC，在AB左侧作BDCBAC，过点A作AEDC于点E（1）当90时，求证：AEDE；若BDAE2，请求出ABC的面积；（2）当90时，求证：BD+DEEC【变式5】【问题背景】如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EFA

4、E，与正方形ABCD的外角DCG的平分线交于点F李老师指出，当点E为线段BC的中点时，AEEF【初步探索】（1）如图，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AEEF”是否仍然成立；【问题解决】（2）当点E在线段BC上时，设BEx，ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【拓展延伸】（3）如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y2x+3上，求此时点E的坐标【典例2】如图1，在RtABC中，ABBC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DEEF，DEFB，A45（1）试猜想CF与BE之间

5、的数量关系，并证明；（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45的直角三角形换成含30的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系【变式1】如图，在ABC中，ABC45，ADBC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DECD，连接DF，若AF4，DF2，则BF的长为 【变式2】如图，四边形ABCD内接于O，BC是O的直径，连接AC，BD，若ABAC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系【变式3】如图，在ABC中，ACB120，BCAC，点E在BC上，点D在AB上，CECA，连接DE，ACB+ADE180，CHAB，垂足为点H求证：DE+AD2CH【变式4】如图，在ABC中，A

6、BAC，BAC90，点D是平面内一点，且ADCD点O是BC的中点，连接OA，OD（1）如图，若点D是BC下方一点，过点O作OEOD分别交AC，AD于点E，F求证：OAFOCD；若CD1，DF2，求BC的长；（2）如图，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由【变式5】【问题探究】如图，ABC是等腰三角形，ABAC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且CABCDB（1）如图，当CAB60时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；（2）如图，当CAB120时，探究是否为定值，并说明理由；【问题解决】（3）如图，在四边形ADBC中，ABAC，CABCDB120，若

7、AD2，BD3，求CD的长【变式6】如图，在矩形ABCD中，ABAD，点E为CD延长线上一点，连接AE，过点C作CFAE于点F，CF交AD于点H，过点D作DNAE于点N，连接DF（1）在不添加辅助线的情况下，找出一个与CDH相似的三角形，并证明；（2）求证：FD2DN；（3）求证：CFAF+2FD专题10 截长补短模型综合应用（知识解读）【专题说明】 “截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“abc”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。【方法技巧】 常见类型及常规解题思路： 可采取直接截长或补短，绕后进行证明。或者化为类

8、型证明。 可以将与构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为的直角三角形等。截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法常规辅助线：（2） 延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起 【典例分析】【典例1】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明问题：如图，在ABC中，AD平分BAC交BC于点D，且B2C，求证：AB+BDAC截长法：在AC上截取AEAB，连接DE，证明CEB

9、D即可补短法：延长AB至点F，使AFAC，连接DF，证明BFBD即可请结合右边的证明结论求证：AB+BDAC请结合右边的【模型分析】证明结论求证：AB+BDAC【截长法】 【补短法】 【解答】证明：【截长法】在AC上截取AEAB，连接DE，AD平分BAC，BADDAC，在ABD和AED中，ABDAED（SAS），BAED，BDDE，又B2C，AED2C，而AEDC+EDC2C，CEDC，DECE，AB+BDAE+CEAC证明：【补短法】延长AB到F，使BFBD，连接DF，BFBD，FBDF，ABCF+BDF2F，且ABC2C，CF，且CADBAD，ADAD，ADFADC（AAS）ACAF，AC

10、AFAB+BFAB+BD【变式1】如图，ABC为等边三角形，D为ABC外一点，连接AD，BD，CD，ADBADC60，求证：ADBD+CD【解答】证明：在DA上截取DEDB，连接BE，如下图所示，ADB60，DEDB，ABD为等边三角形，EBD60，BEBD，ABC为等边三角形，ABC60，BABC，EBDEBCABCEBC，ABECBD，在ABE和CBD中，ABECBD（SAS），AECD，ADAE+EDCD+BD【变式2】如图，RtABC中，ACBC，AD平分BAC交BC于点D，CEAD交AD于F点，交AB于点E求证：AD2DF+CE【解答】证明：在AF上截取FGDF，连接CG，则DG2D

11、F，ACB90，DCF+ACF90，又CFAD，ACF+CAF90，DCFCAF，AD平分CAE，CAFEAF，DFFG，CFDG，CDCG，CDGCGD，DGCGAC+ACG，ADCB+BAD，BACG，又ACBC，ACGCBE（ASA），AGCE，ADAG+DGCE+2DF【变式3】如图，ABC内接于O，ACBC，CD是O的一条弦，且，过点A作APCD，分别交CD，O于点E，P，连接BP，若CD6，ABP的周长为13，求AE的长【解答】解：在AE上截取AFBP，连接CF，PC，ACBC，CAFCBP，CAFCBP，CFCP，CDPA，EFPE，AEAF+FEPB+PE，ACBC，ABCD6

12、，ABP的周长是13，AP+PB7，AEPE+PB，2AEAP+PB，AE【变式4】如图，在ABC中，ABAC，在AB左侧作BDCBAC，过点A作AEDC于点E（1）当90时，求证：AEDE；若BDAE2，请求出ABC的面积；（2）当90时，求证：BD+DEEC【解答】（1）证明：过点B作BFAE，交AE的延长线于点F，AECD，DEF90，又BDE90，四边形BDEF为矩形，DEBF，BAC90，BAF+EAC90，又EAC+ACE90，BAFACE，又AECBFA90，ABAC，ABFCAE（AAS），BFAE，DEAE；解：四边形BDEF为矩形，BDAE2，BDEF2，DEBFAE，AF

13、AE+EF+2，BA2BF2+AF28+4，SABC；（2）证明：过点A作AFBD，交BD的延长线于F，连接AD，设CD与AB交于点O，BDCBAC，BODAOC，ACODOB，即ABFACE，又AECAFB90，ACAB，ACEABF（AAS），AEAF，BFCE，又ADAD，RtADERtADF（HL），DEDF，CEBFBD+DFBD+DE【变式5】【问题背景】如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EFAE，与正方形ABCD的外角DCG的平分线交于点F李老师指出，当点E为线段BC的中点时，AEEF【初步探索】（1）如图，当点

14、E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AEEF”是否仍然成立；【问题解决】（2）当点E在线段BC上时，设BEx，ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【拓展延伸】（3）如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y2x+3上，求此时点E的坐标【解答】解：【问题背景】如图1，取AB的中点H，连接EH，四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90BCD，CF平分DCG，DCF45，ECF135，E是BC的中点，BHBEAHCE，BHEBEH45，AHEECF135，AEEF，AEB+FEC90，AEB

15、+BAE90，FECBAE，AHEECF（ASA），AEEF；【初步探索】（1）仍然成立，理由如下：如图2，在BA的延长线上取一点N，使ANCE，连接NEABBC，ANCE，BNBE，NFCE45，四边形ABCD是正方形，ADBE，DAEBEA，NAECEF，在ANE和ECF中，ANEECF（ASA），AEEF；【问题解决】（2）如图3，在BA上截取BHBE，连接HE，同理得：AHEECF，ySAHEAHBEx（1x）x2+x（0x1）；【拓展延伸】（3）如图4，在BA上截取BHBE，连接HE，过点F作FMx轴于M，设点E（a，0），BEaBH，HEa，由（1）可得AHEECF，CFHEa，C

16、F平分DCM，DCFFCM45，FMCM，CFMFCM45，CMFMa，BM1+a，点F（1+a，a），点F恰好落在直线y2x+3上，a2（1+a）+3，a，点E（，0）【典例2】如图1，在RtABC中，ABBC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DEEF，DEFB，A45（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45的直角三角形换成含30的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系【解答】解：（1）CF与BE之间的数量关系为：CFBE理由：过点F作FHBC于点H，如图，RtABC中，ABBC，A45，C45，B90DEFB，DEF90

17、，DEB+FEH90BDE+DEB90，BDEFEH在BDE和HEF中，BDEHEF（AAS），BEFHFHBC，C45，FHC为等腰直角三角形，FCFH，FCBE；（2）CF与BE之间的数量关系为：CFBE理由：过点F作FHBC于点H，如图，RtABC中，A30，C60，B90DEFB，DEF90，DEB+FEH90BDE+DEB90，BDEFEH在BDE和HEF中，BDEHEF（AAS），BEFHFHBC，C60，sin60，FCFH，FCBE【变式1】如图，在ABC中，ABC45，ADBC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DECD，连接DF，若AF4，DF2，则BF的长为

18、 【解答】解：如图，在BF上截取HFAF，连接AH，ABC45，ADBC，ADBD，ADBADC90，在BDE和ADC中，BDEADC（SAS），EBDCAD，BEDAEF，AFEBDE90，AHFHAF45，AHAF，BAHDAF，AHB135，AEFBED，AFEBDE90，AFEBDE，AEBFED，AEBFED，EABEFD45，AFDAFH+EFD90+45135，AHBAFD，AHBAFD，BHDF，BFBH+HFDF+AF2+4故答案为：2+4【变式2】如图，四边形ABCD内接于O，BC是O的直径，连接AC，BD，若ABAC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系【解答】解：作AE

19、AD交BD于E，BC是直径，BAC90，BAE+EACDAC+EAC90，BAECAD，ABDACD，ABAC，ABEACD（SAS），BECD，AED是等腰直角三角形，DEAD，BDDE+BE，BDAD+CD【变式3】如图，在ABC中，ACB120，BCAC，点E在BC上，点D在AB上，CECA，连接DE，ACB+ADE180，CHAB，垂足为点H求证：DE+AD2CH【解答】证明：如图，作FCDACB，交BA延长线于F，FCA+ACDACD+DCB，FCADCB，ACB120，ACB+ADE180，EDB120，EDA60，FAC120+B，CED120+B，FACCED，在AFC和EDC

20、中，AFCEDC（ASA），AFDE，FCCD，CHFD，FHHD，FCHHCD60，DHCH，AD+DEAD+AFFD2DH2CH，AD+DE2CH【变式4】如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D是平面内一点，且ADCD点O是BC的中点，连接OA，OD（1）如图，若点D是BC下方一点，过点O作OEOD分别交AC，AD于点E，F求证：OAFOCD；若CD1，DF2，求BC的长；（2）如图，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由【解答】（1）证明：ABAC，O为BC的中点，OAOBOC，OAOC，OEOD，AOCEOD90，AOFCOD，AOMMDC90，A

21、MOCMD，OAMMCD，OAFOCD（ASA），OAFOCD；解：OAFOCD，AFCD1，DF2，ADAF+DF1+23，ADDC，ADC90，AC，ACAB，BCAC2；（2）解：AD+CDOD理由：过点O作OEOD，交DA的延长线于点E，DOEAOC90，AOECOD，ODC+ODA90，ODA+OEA90，ODCOEA，又OAOC，OCDOAE（AAS），CDAE，ODOE，DEOD，AD+AEAD+CDOD【变式5】【问题探究】如图，ABC是等腰三角形，ABAC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且CABCDB（1）如图，当CAB60时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；

22、（2）如图，当CAB120时，探究是否为定值，并说明理由；【问题解决】（3）如图，在四边形ADBC中，ABAC，CABCDB120，若AD2，BD3，求CD的长【解答】解：（1）BD，CD，AD之间的数量关系为：BDCD+AD，理由如下：在BD上取一点E，使BECD，连接AE，设AC交BD于H，如图所示：CABCDB，AHBCHD，ABEACD，在ABE和ACD中，ABEACD（SAS），ADAE，DACEAB，DAC+CAEEAB+CAECAB60，ADE是等边三角形，DEAD，BDBE+DECD+AD；（2）是定值，理由如下：在BD上取一点E，使BECD，连接AE，设AC交BD于H，过点A

23、作AFBD于F，如图所示：CABCDB，AHBCHD，ABEACD，在ABE和ACD中，ABEACD（SAS），ADAE，DACEAB，DAC+CAEEAB+CAECAB120，ADEAED（180120）30，AFDE，DFEF，AFAD，在RtAFD中，由勾股定理得：DFAD，DE2DFAD，DEBDBEBDCD，BDCDAD，是定值；（3）在CD上取一点E，使CEBD，连接AE，设AB交CD于H，过点A作AFCD于F，如图所示：CABCDB，AHCBHD，ACEABD，在ACE和ABD中，ACEABD（SAS），AEAD，EACDAB，EAC+BAEDAB+BAECAB120，ADEAE

24、D（180120）30，AFDE，DFEF，AFAD，在RtAFD中，由勾股定理得：DFAD，DE2DFAD，CDCE+DEBD+AD3+23+2【变式6】如图，在矩形ABCD中，ABAD，点E为CD延长线上一点，连接AE，过点C作CFAE于点F，CF交AD于点H，过点D作DNAE于点N，连接DF（1）在不添加辅助线的情况下，找出一个与CDH相似的三角形，并证明；（2）求证：FD2DN；（3）求证：CFAF+2FD【解答】（1）解：选择AFH，证明：四边形ABCD是矩形，ADC90，CFAE，AFC90，AFHCDH，AHFCHD，AFHCDH；（2）证明：连接AC，AFHCDH，FHDAHC，FHDAHC，DFCDAC，ABCDAD，DAC60，DFCDAC60，DFN30，DNAE，DNF90，FD2DN；（3）证明：在线段FC上截取FO，使FOAF，连接AO，AFO90，FAO60，DAC60，FADOAC，FADOAC，OC2FD，CFFO+OCAF+2FD，CFAF+2FD