专题10 相似综合篇（原卷版）.docx

1、专题10 相似综合知识回顾1. 比例的性质： 基本性质：两内项之积等于量外项之积。即若，则。 合比性质：若，则。 分比性质：若，则。 合分比性质：若，则。 等比性质：若，则。2. 平行线分线段成比例：三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。即如图：有；。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。3. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等

2、，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。4. 相似三角形的判定：平行线法判定：平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。对应边判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似。两边及其夹角判定法：两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。两角判定：有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。专题练习1如图，在RtABC中，ABC90，E是边AC上一点，且BEBC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求

3、证：ADEABC2如图，在ABC与ABC中，点D、D分别在边BC、BC上，且ACDACD，若 ，则ABDABD请从；BADBAD这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明3如图所示，在等腰三角形ABC中，ABAC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CFBE，AE2AQAB求证：（1）CAEBAF；（2）CFFQAFBQ4如图，在矩形ABCD中，AB8，AD4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AFAE交CB的延长线于点F，设DEa（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GCAE时，求证：四边形AGCE是菱形5如图，在AB

4、C中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF已知四边形BFED是平行四边形，（1）若AB8，求线段AD的长（2）若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积6如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ACDABE（1）求证：ABCAEB；（2）当AB6，AC4时，求AE的长7如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DEBE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F（1）若BE平分CBD，求证：BFAC；（2）找出图中与OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF3，EF2，求DE的长度8如图，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM4，点E为BC边上的动

5、点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF（1）求证：ABMEBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BEx，DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？9【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE【类比探究】如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABCADE90连接BD，CE请直接写出的值【拓展提升】如图3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且连接BD，CE（1）求的值；（2）延长CE交BD于点F，交AB于点G求sinBFC的值10如图，在矩形ABCD中，

6、AB6，BC4，点M、N分别在AB、AD上，且MNMC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F（1）当F为BE的中点时，求证：AMCE；（2）若2，求的值；（3）若MNBE，求的值11在四边形ABCD中，BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BEFC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：GEGD；BOGDGOFC（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立请给出结论的证明12问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论如图1，已知AD是ABC的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2

7、，过点C作CEAB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；应用拓展：（2）如图3，在RtABC中，BAC90，D是边BC上一点连接AD，将ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处若AC1，AB2，求DE的长；若BCm，AED，求DE的长（用含m，的式子表示）13【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DEBC，BFCF，AF交DE于点G，求证：DGEG【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG若CGDE，CD6，AE3，求的值【拓展提高】（3）如图3，在ABCD中，AD

8、C45，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EGBD交AD于点G，EFEG交BC于点F若EGF40，FG平分EFC，FG10，求BF的长14如图1，在矩形ABCD中，AB4，BC6点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EFCE，交AB于点F（1）求证：AEFDCE；（2）如图2，连接CF，过点B作BGCF，垂足为G，连接AG点M是线段BC的中点，连接GM求AG+GM的最小值；当AG+GM取最小值时，求线段DE的长15已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG（1）如图1，当时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；（2）如图2，当时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB，AEB45，请直接写出MND的面积