专题10.4 二项式定理（解析版）.docx

1、专题10.4 二项式定理题型一利用二项展开式求指定项题型二利用二项展开式求有理项题型三两个多项式乘积的指定项题型四三项展开式的指定项题型五整除和余数问题题型六二项式系数之和及系数之和题型七奇（偶）项系数之和及绝对值型系数之和题型八二项式系数的最值及系数的最值题型九二项式与导数的交汇题型一利用二项展开式求指定项例1二项式展开式中的含项的系数为 【答案】-40【分析】根据二项式定理写出展开式通项，利用赋值法，可得答案.【详解】二项式展开式的通项为，令，则.故答案为：.例2已知多项式，则 .【答案】16【分析】令，运用换元法将等式变成，结合二项展开式的通项公式、赋值即可求得结果.【详解】令，则，因为

2、的展开式的通项为，所以令可得的展开式中一次项为，令可得的展开式的常数项为1，又因为的展开式的通项为，所以令可得的展开式中一次项为，令可得的展开式的常数项为，所以.故答案为：16.练习1已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（）A4B84C280D560【答案】B【分析】根据二项式系数的性质求得，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.【详解】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以则又因为的展开式的通项公式为，令，所以展开式中的项的系数为故选：B.练习2的展开式中的系数为，则实数的值为 【答案】【分析】利用二项展开式的通项即可得出答案【详解】解：，令

3、，得，故，由题意知，即，解得.故答案为：.练习3已知多项式，则 .【答案】74【分析】利用二项展开式的通项分别求得和的展开式的项，进而求得的值.【详解】对于，其二项展开式的通项为，令，得，故，对于，其二项展开式的通项为，令，得，故，所以.故答案为：74.练习4若，则 .【答案】【分析】将化为，后由二项式定理可得答案.【详解】，设展开式通项为，令，则.设展开式通项为，令，则.则.故答案为：练习5已知二项式展开式中含有常数项，则满足条件的一个n的值为 【答案】6（答案不唯一）【分析】写出二项式的通项，根据已知列式，求解即可【详解】二项式展开式的通项为，展开式中含有常数项，有解，当时，故答案为：6（

4、答案不唯一）题型二利用二项展开式求有理项例3已知的展开式前三项的二项式系数的和等于16.(1)求的值；(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)5(2)，【分析】（1）根据题意得到，结合组合数的计算公式，即可求解的值；（2）求得展开式的通项，结合题意确定的值，即可求解.【详解】（1）解：由的展开式前三项的二项式系数的和等于，可得，即，解得或（舍）所以的值为.（2）解：由（1）知，二项式展开式的通项为，当时，可得，此时展开式得到的为有理项，所以展开式中所有的有理项为，.例4在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项【答案】(

5、1)证明见解析(2)和【分析】（1）先根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列列方程求出，再写出展开式的通式，令的次数为计算即可；（2）求出使的次数为整数的，然后代入展开式的通式计算即可.【详解】（1）由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得解得（舍去）或的展开式的通式为令，得故展开式中没有常数项；（2）令，则，展开式中的有理项为和练习6 的展开式中所有有理项系数之和为（）ABCD【答案】C【分析】根据的展开式的通项，要使为有理项，需，又因为的展开式的通项为，则两个二项式的展开式的系数相等， 所以问题可以转化为求的展开式的所有偶数项的系数之和，然后利用赋值法求解.【详解】的展开式的通项

6、为，要使为有理项，需，又因为的展开式的通项为，则两个二项式的展开式的系数相等， 所以问题可以转化为求的展开式的所有偶数项的系数之和，令，令，则，令，则，则+可得：，则的展开式中所有有理项系数之和为.故选：C练习7已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式中的一个有理项 【答案】（或，或，写出其中一个即可）【分析】由二项式定理求解【详解】由题意知展开式中共有9项，所以，所以的展开式的通项为，若为有理项，则，所以，4，8，故展开式中所有的有理项为，故答案为：（或，或，写出其中一个即可）练习8（多选）二项式的展开式中的有理项为（）ABCD【答案】ACD【分析】先得到通项公式，当或或时为有理

7、项，求出答案.【详解】的通项公式，当或或时，为有理项，当时，D正确；当时，C正确；当时，A正确.故选：ACD练习9（多选）展开式的有理项为（）AB80CD【答案】AD【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后由的次数为整数可求出的值，从而可求出展开式中的有理项.【详解】展开式的通项，由，或，当时，当时，故选：AD练习10在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.(1)求的值；(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)(2)所有的有理项为，【分析】（1）写出展开式的通项，求出其第4项系数和倒数第4项系数，列出方程即可求出n的值；（2）令的指数为整数，由此求出展开式的有理项【详解】（1

8、）由题意知：，则第4项的系数为，倒数第4项的系数为，则有，即；（2）由（1）可得，当时，所有的有理项为，即，.题型三两个多项式乘积的指定项例5已知的所有项的系数和为3，则的系数为（）ABCD【答案】D【分析】由题意令中即可求得的值，进一步若要得到，由分类加法以及分步乘法计数原理再结合组合数即可求解.【详解】由题意令中即可得到，解得，此时变为了，若要得到这一项分以下两种情形：情形一：第一步若取中的,则第二步只能取1个中的，取3个中的，所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形一所对应的的系数为；情形二：第一步若取中的,则第二步能取2个中的，取2个中的，所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形二所对

9、应的的系数为.因此由分类加法计数原理可知的展开式中的系数为.故选：D.例6的展开式中的系数是 .【答案】【分析】写出的展开式的通项，然后对分类求得答案【详解】展开式的通项为，令，则；令，则；综上可得：展开式中项的系数为故答案为：练习11展开式中的系数是（）ABC24D9【答案】A【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】依题意，展开式中含的项为：，所以的系数是.故选：A练习12已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为 .【答案】【分析】令，求得a，再利用二项展开通项公式即可求得含项的系数.【详解】因为的展开式中各项系数的和为，所以令，得，解得，所以，因为的二项展开通项公

10、式为，则展开式中含的项为，故该展开式中的系数为，故答案为：.练习13的展开式常数项是 .（用数字作答）【答案】7【分析】根据乘法的运算法则，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】展开式第项，所以展开式中常数项是：，所以的展开式常数项是7.故答案为：7练习14已知的展开式中x的系数为2，则实数a的值为 【答案】10【分析】根据多项式乘法，展开式中含有x的一次项为，求其系数即可.【详解】的展开式中含有x的一次项为，其系数为，解得.故答案为：10.练习15若的展开式中没有常数项，则的可能取值是（）ABCD【答案】AD【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由于的展开式中没有常数项

11、，所以的展开式中没有常数项，也没有含的项，二项式展开式的通项公式为，所以且，所以且，即被除时，余数为，所以AD选项正确，BC选项错误.故答案为：AD题型四三项展开式的指定项例7 展开式中含项的系数为 【答案】-160【分析】变形为，写出通项公式，求出，得到答案.【详解】变形为，故通项公式得，其中的通项公式为，故通项公式为，其中，令，解得，故.故答案为：-160例8的展开式中的系数为 【答案】92【分析】由于，根据二项式定理分别求得和的展开式的通项，从而分析可得的系数.【详解】，又展开式的通项，展开式的通项，所以含的项为则含的系数为.故答案为：.练习16展开式中的系数为 （用数字作答）【答案】【

12、分析】根据多项式乘积的性质即可求解【详解】由于表示5个因式的乘积，故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项，故展开式中的系数为，故答案为：练习17的展开式的常数项为 【答案】30【分析】根据多项式乘积的性质分别进行讨论求解即可【详解】每个括号内有，若的5项式乘积中先选，显然不会超过2项，显然不可能出现的项；再考虑，展开式中，唯有取会出现常数项，为而，不可能出现常数项故答案为：30练习18在的展开式中，形如的所有项系数之和是 【答案】320【分析】由二项式定理求解三项展开式中的系数即可.【详解】展开式的通项为令，得令，得所求系数之和为故答案为：320练习19已知的展开式中各项

13、系数和为1024，则展开式中不含的所有项系数和等于 .【答案】213【分析】直接利用二项式的展开式和项的系数及赋值法的应用求出结果【详解】因为的展开式中各项系数和为1024，令，整理得，解得；故的展开式满足，令时，的展开式满足，令，解得，故含的所有项系数为，由于的所有项的系数和满足当，时，所有项的系数和为，故不含的所有项系数和等于故答案为：213练习20已知常数，的二项展开式中项的系数是780，则m的值为 【答案】3【分析】转化为，利用展开式的通项公式讨论计算即可.【详解】=，设其通项为，设的通项为，要求项的系数，只有为偶数，当，此时项的系数为，当，此时项的系数为，当，此时项的系数为，当，不合

14、题意，故项的系数为.故答案为：3题型五整除和余数问题例9若，且（，且），则（）A1B2C15D16【答案】D【分析】根据题意，由二项式定理可得，然后结合条件可得可以被17整除，即可得到结果.【详解】，因为能被17整除，所以可以被17整除，即能被17整除，因为且，所以.故选：D.例10若，则被5除所得的余数为 【答案】1【分析】取，可以求得，进而根据二项式定理展开，判断被5除得的余数.【详解】由题知时， ，故所以被5除得的余数是1.故答案为：1练习21除以1000的余数是 【答案】24【分析】由题意可得，展开，结合二项式定理即可得答案.【详解】解：因为，所以除以1000的余数是：.故答案为：24

15、练习22除以所得的余数是 .【答案】22【分析】由，利用二项式定理展开，注意有余数的项，即可得余数.【详解】法一：由，前9项可以被整除，而，故余数为.法二：由，而，故余数为.故答案为：练习23被4除的余数为 .【答案】1【分析】根据二项式定理，可得答案.【详解】因为，且2024可以被4整除，所以余数为1.故答案为：1.练习24若能被13整除，则m的最小正整数取值为 【答案】12【分析】由于，利用二项式定理展开可求得结果.【详解】因为能被13整除，所以是13的倍数时，能被13整除，所以m的最小正整数取值为12，故答案为：12练习25被除的余数是 .【答案】【分析】依题意可得原式，再根据二项式的展

16、开式计算可得.【详解】.所以被除的余数是.故答案为：题型六二项式系数之和及系数之和例11已知，若，则该展开式各项的二项式系数和为（）A81B64C27D32【答案】D【分析】根据二项式定理求出，根据求出n的值，从而可求解.【详解】，解得，该展开式各项的二项式系数和为.故选：D例12在的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的比为64，则的系数为 .【答案】135【分析】根据各项系数和和二项式系数和的关系建立方程求出的值，然后求出展开式的通项公式令的次数等于3进行求解即可【详解】令，得各项系数和为，二项式系数和为，则，得，展开式的通项公式为，由，得，则，则的系数为135，故答案为：135练习26

17、已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）A36B30C15D10【答案】C【分析】先根据“所有项的系数和”求得，然后利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令，则可得所有项的系数和为且，解得，的展开式中的通项，当时，展开式中的常数项为.故选：C练习27若，则 【答案】64【分析】赋值令，即可求解【详解】令，则.故答案为：64练习28（多选）已知的展开式的各二项式系数的和为256，则（）AB展开式中的系数为C展开式中常数项为16D展开式中所有项的系数和为1【答案】ABD【分析】由二项式系数和求，利用展开式的通项求的系数和常数项，令求展开式中所有项的系数和.【详

18、解】由二项式系数之和为，可得，A选项正确；展开式的通项为，时，展开式中的系数为，B选项正确；时，展开式中常数项为，C选项错误；中，令，得展开式中所有项的系数和为，D选项正确.故选：ABD练习29（多选）在的展开式中，下列说法正确的有（）A展开式中所有奇数项的二项式系数和为128B展开式中所有项的系数和为C展开式中含项的系数为D展开式中二项式系数的最大项为第四项【答案】AC【分析】选项A：利用二项式系数和的性质即可求解；选项B：令x1即可求解；选项C：根据二项式定理即可求解；选项D：根据n8以及二项式系数的性质即可求解【详解】选项A：展开式中所有奇数项的二项式系数和，故A正确；选项B：令，则展开

19、式中所有项的系数和为，故B错误；选项C：展开式的通项为，则展开式中含的系数为，故C正确；选项D：因为n8，所以展开式中二项式系数的最大项为第5项，故D错误.故选：AC练习30的展开式中，各项的二项式系数和是 ，各项系数和是 【答案】 1【分析】用二项式系数和公式可求二项式系数之和；用赋值法，令变量为1，可求得系数之和.【详解】中,二项式系数之和为,中，令，可得各项系数之和为.故答案为：1024；1.题型七奇（偶）项系数之和及绝对值型系数之和例13若，则 .（用数字作答）【答案】【分析】利用赋值法求解即可.【详解】因为，令，则，令，则，两式相加得：，则.故答案：.例14若，请分别求出下列的值(1

20、)(2)(3)【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）令，即可求出答案；（2）把求和问题转化为二项式的展开式的各个项的系数和，令即可求解；（3）利用导数及赋值法即可得解.【详解】（1）由，令得，所以.（2）因为的和为二项式的展开式的各个项的系数和，令则；（3）令，则，且，令，则，且，所以.练习31（多选）已知，则（）ABCD【答案】ACD【分析】根据二项式定理以及赋值法相关知识直接计算求解即可.【详解】对于A，令，得到，故A正确；对于B，的通项公式为，令，得到，令，得到，所以，故B错误；对于C，令，得到，故C正确；对于D，令，则，又因为，两式相减得，则，故D正确.故选：ACD练习32（多选）

21、若，则下列结论中正确的是（）ABCD【答案】AC【分析】令，可判定A正确；求得展开式的通项，令，可判定B错误；由，令，可判定C正确；两边求导数得到，令，进而可判定以D错误.【详解】由，对于A中，令，可得，所以A正确；对于B中，由二项式展开式的通项为，令，可得，所以B错误；对于C中，由展开式的通项知：当时，可得展开式的系数为正值，当时，可得展开式的系数为负值；所以，令，可得，即，所以C正确；对于D中，由，两边求导数，可得，令，可得，又由，所以，所以D错误.故选：AC.练习33（多选）设，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】ACD【分析】由二项式展开式通项求得判断A；赋值法令、且求部分项系数和判

22、断B、C；确定各项系数正负，去绝对值符号求判断D.【详解】由题设，二项式展开式通项为，所以，时，时，故，A对；又，即，令，即，则，B错；令，即，则，由得：，则，C对；由知：展开式奇数项系数为负，偶数项系数为正，所以，而，故，即，D对.故选：ACD练习34若，则 .【答案】【分析】利用赋值法令、分别求出、，再解得即可.【详解】因为，令可得，令可得，所以.故答案为：练习35设求：(1)的值；(2)的值；(3)的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，由求出的值，求出的值，即可求出的值；（2）由求出的值，由求出的值，两式相减即可求出的值；（3）根据展开式的通项公式知，结合展开式的各项系数

23、，即可求出的值【详解】（1）由，令，得，则；令，得，则，所以；（2）令，得，令，得，得，所以；（3）根据展开式的通项公式知，为负，为正；令，所以题型八二项式系数的最值及系数的最值例15的展开式中二项式系数最大的为，则不可能为（）A10B11C12D13【答案】A【分析】根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解.【详解】根据二项式系数的对称关系，当时，所有二项式系数中，最大；当时，所有二项式系数中，且均为最大；当时，所有二项式系数中，最大；当时，所有二项式系数中，且均为最大；故选:A.例16在的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项【答案】(1)(2)、【分析】（1）

24、由二项式判断二项式系数最大的项，利用展开式通项公式求对应项；（2）利用不等式法求出系数绝对值最大的项，利用展开式通项公式求系数绝对值最大的项；【详解】（1）由题设，二项式展开式共有项，故第5项二项式系数最大，又展开式通项为，则.（2）系数绝对值最大，只需，且，所以，则，所以，可得，故或3时系数绝对值最大，即对应展开式中的第3和4项，则，.练习36（多选）关于的说法正确的是（）A展开式中二项式系数之和为1024B展开式中只有第6项的二项式系数最大C展开式中只有第6项的系数最小D展开式中第5项和第6项的二项式系数最大【答案】ABC【分析】由二项式直接求二项式系数之和及二项式系数最大的项，利用展开式

25、通项分析并求出最小项，即可判断各项的正误.【详解】A：展开式中二项式系数之和为，正确；由题设，展开式共有11项，故第6项的二项式系数最大，B对，D错；C：由且，显然奇数项系数为正，偶数项系数为负，所以，第6项系数最小为，正确.故选：ABC练习37（多选）已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，下列结论正确的是（）A第7项系数最小B第6项二项式系数最大C第7项二项式系数最大D第6项系数最小【答案】BD【分析】由已知可得，则可得，可求得，然后利用二项式的性质可得结论.【详解】因为因为，所以S能被9整除的正整数a的最小值是，得，所以，所以的展开式中，二项式系数最大的项为第6项，的展开式的

26、通项公式为，因为第6项的系数为负数，所以第6项系数最小，故选：BD练习38已知展开式前三项的二项式系数和为.(1)求展开式中各项的二项式系数和；(2)求展开式中的常数项；(3)求展开式中二项式系数最大的项.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据已知求参数n，进而求二项式系数和.（2）利用二项式通项公式求常数项；（3）根据项数直接写出二项式系数最大的项.【详解】（1）由题意，展开式前三项的二项式系数和为.二项式定理展开前三项二项式系数和为：，解得：或（舍去），即的值为，故有展开式中，各项二项式系数之和为.（2）由通项公式，令，可得：.展开式中的常数项为；（3）是偶数，展开式共有项，则第四项

27、最大，展开式中二项式系数最大的项为.练习39在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于.(1)求的值；(2)若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据展开式中前三项的二项式系数和为，可得出关于的方程，结合可求得的值；（2）求出的通项为根据展开式中的常数项为解得，再列不等式组求解即可.【详解】（1）解：由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为，整理可得，因为，解得.（2）解：的展开式通项为，令，可得，所以，展开式中的常数项为，解得，由不等式组，解得.因为，所以，因此，展开式中系数最大的项为.练习40已知二项式(1)求展开式中的有理项；(2)求展开式中

28、系数最大的项【答案】(1)，.(2)，【分析】（1）写出二项展开式的通项，由的指数为有理数求得的值，即可得答案；（2）直接由（1）中求得的项得结论【详解】（1）的展开式的通项为，展开式中的每一项都是有理项，分别为：，.（2）由（1）可知，展开式中系数最大的项为第三项与第四项，分别为，题型九二项式与导数的交汇例17若，且，则=（）A650B405C810D1620【答案】C【分析】令结合可求出，然后对两边求导，再令可求得结果【详解】令，则，解得，所以，所以，令，则，故选：C例18（多选）已知，若，则有（）ABCD【答案】BCD【分析】令，已知式变为，可求得，然后二项式变形为，并令二项式化为，可求

29、得，二项式两边都对求导后令可求得，从而判断各选项【详解】令，则，已知式变为，解得，令，则有，两边对求导得，再令得，所以，故选：BCD练习41设，则的值是（）A1008B1009C2016D2017【答案】B【分析】利用导数可求代数式的值.【详解】解法一 根据题意，两边求导，可得令，可得解法二 在题中等式中令，可得，对题中等式两边求导，可得，令，可得，于是故选：B.练习42已知，其中，则A182BCD【答案】B【解析】由题可知，令，得：，根据导数的运算公式，得，令和，即可求出答案.【详解】解：根据题意，令，得：，由于，即，令，解得，而，令，得.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的展开式以及导数

30、的应用，考查转化能力和计算能力.练习43（多选）已知，则（）ABCD【答案】AC【分析】利用赋值法可求ACD选项中系数的和，对恒等式两边求导后再结合赋值法可求B中系数的和，故可判断B的正误.【详解】对于A，令，则，故A正确.对于B，由可得：，令，则有，故B错误.展开式的通项公式为，当项的次数为奇数时，为偶数，故项的系数为正；当项的次数为偶数时，为奇数，故项的系数为负.故展开式中各项的系数的正负为：，令，则，所以，故C正确.对于D，令，则，故，故D错误.故选：AC.练习44若，若（），则 .【答案】【分析】对给定等式两边求导数，再借助赋值法即可得解.【详解】由求导 得，取得，解得.故答案为：练习45已知，且.(1)求的值(2)求展开式中的奇次项系数之和(3)求的值【答案】(1)(2)63(3)321【分析】（1）令得，计算，代入计算得到答案.（2）取，得到两式，相减得到答案.（3）令，求导取，计算即可.【详解】（1）令得，令得：，因为中项为，所以，所以，解得；（2）取得，取得两式相减得，所以；（3）令，令得