专题10.9统计、概率综合练（解析版）.docx

1、专题10.9统计、概率综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 是衡量空气质量的重要指标，下图是某地9月1日至10日的日均值（单位：)的折线图，则下列关于这10天中日均值的说法不正确的是（）A众数为30B中位数为31.5C平均数小于中位数D后4天的方差小于前4天的方差【答案】C【分析】将数据从小到大排序，根据众数的定义，可判定A正确；根据中位数的计算方法，可判定B正确；利用平均数的计算公式，求得数据的平均数，可判定C错误；根据数据的离散程度，可判定D正确.【详解

2、】对于A中，将数据从小到大排序，依次为，其中出现了2次，其他数据均出现了1次，所以数据的众数为，所以A正确；对于B中，根据中位数的概念，可得第5个数和第6个数的平均数为中位数，即为，所以B正确；对于C中，由平均数的公式得，其中，所以平均数大于中位数，所以C错误；对于D中，从图象可以看出后4天的数据更加集中，前4天的数据更加分散，所以后4天的方差小于前4天的方差，所以D正确.故选：C.2在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（）A二项式系数和为32B各项系数和为128C常数项为D常数项为135【答案】D【分析】令，求出系数之和，再根据二项式系数的和结合已知求出，进而可判断AB；求

3、出展开式的通项，令的指数等于零，即可判断CD.【详解】令，得各项系数和为，又二项式系数和为，则，得，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确；的展开式的通项为，令，得，因此展开式中的常数项为，故C不正确，D正确.故选：D.3袋子中装有大小形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（）ABCD【答案】B【分析】设第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件，根据古典概型结合计数原理求，进而根据条件概率运算求解.【详解】设第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件，则事件为第一次摸到红球且第二次摸到红球，可得，所以

4、.故选：B.4下列说法中正确的个数为（ ）个互斥事件一定是对立事件.在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位；两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；在回归分析模型中，若相关指数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好A1B2C3D4【答案】C【分析】根据互斥事件和对立事件的关系，回归分析及相关系数判断各项即可【详解】互斥事件不一定对立，所以是错误的；根据回归直线方程中回归系数的含义，可知当回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量增加个单位,是正确的；根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近，两个变量的相关性就越强，所以是

5、正确的；根据回归分析的基本思想可知相关指数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，是正确的故选：C.5随机变量服从正态分布，则的最小值为（）ABCD【答案】D【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案.【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线，则，且，所以，当且仅当，即时，取等号.故选：D.6已知事件，满足，则不能说明事件，相互独立的是（）ABCD【答案】A【分析】举反例判断A，利用条件概率公式及相互独立事件的定义判断BCD.【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子，事件A为向上的点数不超过4，事件B为向上的点数为4或5

6、，即，满足，但，所以事件不相互独立，故A错误；对于B，因为，所以，所以事件相互独立，故B正确；对于C，因为，所以，所以事件相互独立，故C正确；对于D，因为，所以，整理得，所以事件相互独立，故D正确；故选：A7随机变量的分布列如下所示则的最大值为（） ABCD【答案】D【分析】由分布列的性质可得的关系，再由期望公式求，由方差公式求，利用导数求的最大值.【详解】由题可知，所以，则，令，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为故选：D8设，是一个随机试验中的两个事件，且，则（）ABCD【答案】C【分析】利用全概率公式结合条件可得，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即

7、得.【详解】因为，所以，又，所以，所以，故A错误；由，可得，故B错误；所以，故C正确；所以，故D错误.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在内的居民有180人.则以下说法正确的是（）AB调查的总人数为4000C从频率分布直方图中，可以估计本次评测分数的中位数大于平均数D根据以上抽样调查数据，可以认为该地居民对当

8、地防疫工作的满意度符合“评分低于65分的居民不超过全体居民的”的规定【答案】ACD【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率分布直方图的性质，概率的计算方法，以及中位数、平均数的计算公式，逐项判定，即可求解.【详解】由频率分布直方图的性质，可得，即，解得，所以A正确；设总共调查了人，可得，解得，即调查的总人数为300人，所以B错误；中位数位于区间，设中位数为，则，解得，由频率分布直方图知各段的频率分别为，设平均数为，则.可得，所以C正确；由评分在的居民占调查总人数的，所以评分低于65分的居民不超过全体居民的，所以D正确.故选：ACD.10下列说法正确的是（）A在回归直线方程中，与具有负线性相关

9、关系B两个随机变量的线性相关性成强，则相关系数的绝对值就越小C已知随机变量服从二项分布，若，则D随机变量服从正态分布，若，则【答案】AD【分析】A选项，根据作出判断；B选项，由相关系数的定义作出判断；C选项，根据题意列出方程组，求出；D选项，根据正态分布对称性进行求解.【详解】A选项，因为，故与具有负线性相关关系，A正确；B选项，两个随机变量的线性相关性成强，则相关系数的绝对值就越大，越接近于1，B错误；C选项，解得，C错误；D选项，服从正态分布，故，则，即，则，D正确.故选：AD11若，则下列结论中正确的是（）ABCD【答案】AC【分析】令，可判定A正确；求得展开式的通项，令，可判定B错误；

10、由，令，可判定C正确；两边求导数得到，令，进而可判定以D错误.【详解】由，对于A中，令，可得，所以A正确；对于B中，由二项式展开式的通项为，令，可得，所以B错误；对于C中，由展开式的通项知：当时，可得展开式的系数为正值，当时，可得展开式的系数为负值；所以，令，可得，即，所以C正确；对于D中，由，两边求导数，可得，令，可得，又由，所以，所以D错误.故选：AC.12已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断不正确的是（）ABCD【答案】ACD【分析】利用两点分布的期望与方差公式求解即可.【详解】依题意，得，服从两点分布，所以，因为，则，所以，所以，即，所以ACD错误，B正确.故选：ACD.三、填

11、空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13 的展开式中项的系数为 【答案】【分析】根据多项式相乘展开方法求解.【详解】的展开式中，构成项只能是一个、一个、3个相乘，故此项为故答案为：.14某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示：x3467z22.54.57得到x与z的线性回归方程，则 .【答案】/【分析】根据已知条件，求得，进而代入回归方程可求得，从而得出，联立，即可求得本题答案.【详解】由已知可得，所以，有，解得，所以，由，得，所以，则.故答案为：15英雄联盟2023M

12、SI季中冠军赛在英国伦敦举办，中国战队“JDG”与“BLG”进入决赛，决赛采用五局三胜制，当两队中有一队赢得三局比赛时，就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设“JDG”战队在任一局赢得比赛的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是 .【答案】【分析】设比赛局数为，分别计算出可能取值的概率，进而求出期望值，再利用导数求得的最大值，由此得解【详解】设比赛局数为，则的可能取值为3，4，5，则，则，所以，因为函数的图象对称轴为，当时，当时，所以，所以当时，；当时，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为故答案为：16土壤修复是使遭受污染的土壤恢

13、复正常功能的技术措施中国现有耕地有近受到不同程度的污染，但随着新发展理念深入贯彻落实，国家对环境保护工作越来越重视.2021年我国正式启动（含已招标项目，不含未招标、流标项目）的土壤修复工程项目共510个，合同总金额为121.56亿元，覆盖全国除西藏、港、澳、台的30个省（区、市）如图为2021年30个省区市土壤修复工程类项目数量的前十名，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的第80分位数是 ，若图中未列出的其它20个省（区、市）土壤修复工程类项目数量的方差为44.7，则这30个省（区、市）土壤修复工程类项目数据的总体方差为 【答案】 30 188.6【分析】根据百分位数的定义即可求解

14、；根据总体方差公式即可求解.【详解】总共有30个省（区、市），第80分位数即为第24位和第25位的平均值，第24位为广东，项目数据为28，第25位为山东，项目数据为32，故其第80分位数为30.30个行政区域中，前10名的平均数为：所以前10名的方差为：除前10名外的20个省的平均数为，方差为44.7而30个省的平均数为17，方差故答案为：30；188.6四、解答题：本题共6小题，共计70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.172020年自主招生停止的同时，36所“双一流”试点名校的“强基计划”开启，其考核内容包括学科素质测试和体育测试.射洪中学为了解高一高二学生对“强基计划”的了解程

15、度，从高一高二两个年级的学生中随机抽取了100名同学进行问卷调查，经统计，抽到的学生中高一与高二的人数之比为，其中高二学生了解“强基计划”50人，高一学生有15人不了解.(1)请补充完整列联表，试通过计算判断是否有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关；了解不了解合计高二50高一15合计100(2)按照学生对“强基计划”的了解情况采用分层抽样的方法，从被调查的高一学生中抽取了7人，若从这7人中随机抽取2人进行“强基计划”的政策宣讲，求抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率.附表及公式：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063

16、.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，有把握(2)【分析】（1）根据题意，分别求出对应的人数，填表，然后代入公式得到的值与比较大小，即可得到本题答案；（2）用列举法，即可求得本题答案.【详解】（1）因为抽到的学生中高一与高二的人数之比为，所以抽到的高一人数：，高二人数：，又因为高二学生了解“强基计划”50人，高一学生有15人不了解，所以高二学生不了解“强基计划”的有15人，高一新生了解的有20人，列表如下：了解不了解合计高二501565高一201535合计7030100因为，所以，有95%的把握认为是否了解“强基计划”与就读年级有关；（2）因为高一学生中

17、，了解的人数与不了解的人数是4:3，从中抽取7人，则有4人了解情况，3人不了解情况，设了解情况的4人为，不了解情况的3人为共有情况21种：，满足情况有18种：， ，.所以抽到的2人中至少有1人对“强基计划”了解的概率.18习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：调查评分心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示

18、的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.(1)求的值及频率分布直方图中的值；(2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?【答案】(1)2000，(2)【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解，（2）由分层抽样与对立事件的概率公式求解【详解】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以，解得.（2）由（1

19、）知，所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，若按分层抽样抽取人，则调查评分在有人，有人， 因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的人经过心理疏导后，心理等级均达不到良好的概率为，所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.19已知在的展开式中，前项的系数分别为，且满足(1)求展开式中各项的二项式系数的和；(2)求展开式中系数最大的项；(3)求展开式中所有有理项【答案】(1)(2)和(3)和【分析】（1）由条件先求出，利用二项式定理系数的性质写出结果即可；（2）写出展开式的通项，记第项系数最大，则有，且，由此可得展开式中系数最大的项；（3）令的幂指数为整数，求得的值，即可求

20、得展开式中的有理项【详解】（1）的展开式通项公式为，则，因为，即，解得或（舍去），所以二项式展开式中各项的二项式系数的和为；（2）二项式的展开式通项公式为（且），记第项系数最大，则有，且，即，解得，又，所以或，所以系数最大项为第3项和第4项；（3）因为二项式的展开式通项公式为（且），令，且，则或，所以展开式中有理项为和.20为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为1840岁、41岁70岁及其他人群各100名，假设两个小区中每组人数相等）参与问卷测试，分为比较了解（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分的

21、人数绘制频数分布表如下分组A小区频数B小区频数1840 岁人群60304170 岁人群8090其他人群3050假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响(1)从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；(2)从A、B小区4170岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(3)求事件E：“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，这两名居民均对垃圾分类比较了解”的概率【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)【分析】（1）根据古典概型计算即可；（2）根据随机事件求分布列的步骤求解计算可

22、得；（3）根据全概率及独立事件的概率乘法公式计算可得.【详解】（1）设从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试其对垃圾分类比较了解为事件C，;（2）A小区比较了解的概率为：,B小区比较了解的概率为：X可取,X的分布列为.（3）从A小区的三个年龄组随机抽取两组取1840岁、41岁70岁各一人为事件,从A小区的三个年龄组随机抽取两组取1840岁及其他人群各一人为事件, 从A小区的三个年龄组随机抽取两组取41岁70岁及其他人群各一人为事件.21某研发小组为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近10年的年研发资金投入量和年销售额的数据（），建立了两个函数模型：，其中，均为

23、常数，为自然对数的底数.设，经过计算得如下数据.2066770200144604.2031250000.30821500(1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型.(2)根据（1）中选择的模型及表中数据，建立关于的线性回归方程（系数精确到0.01），根据线性回归方程，若当年的销售额大致为亿元，则估计当年的研发资金投入量为多少亿元.参考公式：相关系数，线性回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为，.【答案】(1)模型的拟合程度更好(2)，8亿元【分析】（1）根据题干所给数据求出相关系数为、即可判断；（2）由（1）可得两边取对数可得，即，再由所给数

24、据求出、，即可得到回归方程，再代入求出即可.【详解】（1）由题意可知，因为，所以从相关系数的角度，模型的拟合程度更好.（2）因为，所以，即.由题中数据可得，则，从而关于的线性回归方程为，故，即.将年销售额亿元，代入，得，解得，故估计当年的研发资金投入量为亿元.22根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：1230概率其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.）(1)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由.(2)若，求，并根据全概率公式，求.【答案】(1)不存在的值使得，理由见解析(2)，【分析】（1）由概率之和为1和期望公式得到方程组，联立得到，令，求导得到其单调性和极值，最值情况，从而得到答案；（2）由和求出，并用全概率公式求出.【详解】（1）不存在的值使得，理由如下：由题意得，且，由得到，将其代入，整理得到，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，又，故无解，所以不存在的值使得（2）若，则，解得，由全概率公式可得，因为，所以.