专题11 利用垂线段最短求最值（三大类型含“胡不归”)（专项训练）（解析版）.docx

1、 专题11 利用垂线段最短求最值（三大类型含“胡不归”)（专项训练）1如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）ABCD【答案】B【解答】解：四个方案中，管道长度最短的是B故选：B2如图，点A为直线BC外一点，且ACBC于点C，AC4，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（）A3B4C5D6【答案】A【解答】解：ACBC，APAC，即AP4故选：A3体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A平行线间的距离相等B两点之间，线段最短C垂线段最短D两点确定一条直线【答案】C【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段

2、最短故选：C4如图，设点P是直线l外一点，PQl，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）APT2PQBPT2PQCPTPQDPTPQ【答案】C【解答】解：PQl，点T是直线l上的一个动点，连结PT，PTPQ，故选：C5如图，在ABC中，ACB90，ACBC4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ则CQ的最小值是（）AB1CD【答案】B【解答】解：解法一：如图在CD的下方作等边CDT，作射线TQCDTQDP60，DPDQ，DCDT，CDPQDT，在CDP和TDQ中，CDPTDQ（SAS），DCPDTQ90，CTD

3、60，CTQ30，点Q在射线TQ上运动（点T是定点，CTQ是定值），当CQTQ时，CQ的值最小，最小值CTCDBC1，解法二：如图，CD的上方，作等边CDM，连接PM，过点M作MHCB于HDPQ，DCM都是等边三角形，CDMPDQ60，DPDQ，DMDC，DPMDQC（SAS），PMCQ，PM的值最小时，CQ的值最小，当PMMH时，PM的最小值CHCD1，CQ的最小值为1故选：B6如图，ABC中，ACB90，AC6，BC8，AB10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A4B4.5C4.8D5【答案】C【解答】解：在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，AB10，当PC

4、AB时，PC的值最小，此时：ABPCACBC，PC故选：C7如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PEOA于点E，PFOB于点F若AC20，BD10，则EF的最小值为（）ABC4D【答案】D【解答】解：如图，连接OP，四边形ABCD是菱形，AC20，BD10，ACBD，AOAC10，BOBD5，AOB90，在RtABO中，由勾股定理得：AB5，PEOA于点E，PFOB于点F，OEPOFP90，四边形OEPF是矩形，EFOP，当OP取最小值时，EF的值最小，当OPAB时，OP最小，此时，SABOOAOBABOP，OP2，EF的最小值为2，故选：

5、D8如图，在矩形ABCD中，为线段BD上一动点，MPCD于点P，MQBC于点Q，则PQ的最小值为（）ABCD【答案】B【解答】解：如图，连接CM，MPCD于点P，MQBC于点Q，CPMCQM90，四边形ABCD是矩形，BCAD1，CDAB2，BCD90，四边形PCQM是矩形，PQCM，由勾股定理得：BD3，当CMBD时，CM最小，则PQ最小，此时，SBCDBDCMBCCD，CM，PQ的最小值为，故选：B9已知：RtABC中，C90，AC3，BC4，P为AB上任意一点，PFAC于F，PEBC于E，则EF的最小值是 【答案】2.4【解答】解：连接CP，如图所示：C90，PFAC于F，PEBC于E，

6、CPFCPEC90，四边形CEPF是矩形，EFCP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CPAB时，CP最小，在RtABC中，C90，AC3，BC4，由勾股定理得：AB5，由三角形面积公式得：435CP，CP2.4，即EF2.4，故答案为：2.410如图，E，F是菱形ABCD的边AB，AD的中点，P是菱形的对角线BD上的动点，若BD8，AC10，则PE+PF的最小值是 【答案】【解答】解：作E点关于BD的对称点G，连接FG交BD于点P，连接EP，EPGP，EP+FPPG+PFFG，当F、P、G三点共线时，EP+FP有最小值，最小值为GF，四边形ABCD是菱形，BD是菱形的一条对称轴，E是AB的中

7、点，G点是BC的中点，EGAC，AC10，EG5，连接EF，F是AD的中点，BD8，EFBD4，在RtEFG中，GF，PF+PE的最小值为，故答案为：11如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则AP+BP的最小值为 【答案】【解答】解：作B点关于EC的对称点F，连接AF交EC于点P，连接BP，过F点作FGBC交BC的延长线于点G，BF交EC于点H，BPFP，AP+BPAP+PFAF，当A、F、P三点共线时，AP+BP有最小值，最小值为AF，E点是AD的中点，EDAD，正方形ABCD的边长为5，ED，tanECD，BHEC，BHC90，BCD90，HBCECD，tan

8、HBC，2HCBH，在RtBCH中，BC5，BH2，BF2BH4，在RtBGF中，BG2FG，GF4，BG8，过点F作FMAB交于M，MF8，AM1，在RtAFM中，AF，AP+BP的最小值为，故答案为：12如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB4，BC4，则PE+PB的最小值为 【答案】6【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B，交AC于点F，连接BE交AC于点P，则PE+PB的最小值为BE的长度，四边形ABCD为矩形，ABCD4，ABC90，在RtABC中，AB4，BC4，tanACB，ACB30，由对称的性质可知，BB2BF，BBAC，B

9、FBC2，CBF60，BB2BF4，BEBF，CBF60，BEF是等边三角形，BEBFBF，BEB是直角三角形，BE6，PE+PB的最小值为6，故答案为：613如图，在矩形ABCD中，AB5，BC4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上且满足PQ2，则四边形APQB周长的最小值为 【答案】12【解答】解：AB5，PQ2，四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+ABAP+BQ+7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可在AB边上截取AMPQ，点F是BC的中点，点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值在RtBCM中，MBABAM52

10、3，BC4，CM5，四边形APQB的周长最小值为5+712故答案为：1214如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，CFBE，AE平分BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PNAC，垂足为N，连接PM，则PM+PN的最小值为 【答案】3【解答】解：四边形ABCD为正方形，BCDABC，ABBC，CFBE，ABEBCF，CBFBAE，CBF+ABF90，BAE+ABF90，AGB90，AE平分BAC，BAECAE，由等腰三角形三线合一的性质，可得BGMG，点M关于AE的对称点为点B过点B作BNAM，交AE于点P，则PM+PN的

11、最小值即为BN的长正方形ABCD的对角线相互垂直且平分，BNAC，ABBC6，AC6，BN3故答案为：315如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点P为矩形内一点，满足ABPBCP（1）若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为 ；（2）若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为 【答案】，4【解答】解：（1）四边形ABCD为矩形，ABP+PBC90，ABPBCP，BCP+PBC90，BPC90，点P是在以BC为直径为圆上点B，P，E在同一条直线上，ABEPCB，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点E为AD的中点，AE4，BE，（2）作点B关于AD的对称点B，连接BE，则BE

12、+PEBE+PE当B，E，P三点在同一条直线上时，BE+PE取得最小值，即为BP的长设BC的中点为O，连接BO，交以BC为直径的圆于点P，此时即为BP的最小值BPB0OP在RtOBB中，BOBP4BE+PE的最小值为416如图，在ABCD中，AB6，BC8，ABC60，P是ABCD内一动点，且SPBCSPAD，则PA+PD的最小值为 【答案】4【解答】解：如图所示，过P作直线lAD，作点A关于l的对称点A，连接AA，交l于E，交BC于F，连接AP，则APAP，AEAE，AABC，AP+PDAP+PD，当A，P，D在同一直线上时，AP+PD的最小值等于AD的长，AB6，ABC60，BFABcos

13、603，AF3，又SPBCSPAD，AEAF2，AA2AE4，BC8，AD8，RtAAD中，AD4，PA+PD的最小值为4，故答案为：417如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，点E是AB所在直线的一个动点，点F是对角线AC上的动点，且AECF，则BF+CE的最小值为 【答案】【解答】解：如图所示，延长CD到点G，使CGAC，连接FG，矩形ABCD中，ABCD，EACFCG，又AECF，ACECGF（SAS），CEGF如图，当G，F，B三点共线时，BF+GF的长最小，此时BF+CE的值也最小，最小值等于BG的长矩形ABCD中，AB4，ADBC6，ABC90，AC，CG，RtBCG中，BG，B

14、F+CE的最小值等于，故答案为：18如图，矩形ABCD中，AB4，BC8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点（点Q在点P的右边）若连结AP、PE，则PE+AP的最小值为 ；连结QE，若PQ3，当CQ 时，四边形APQE的周长最小【解答】解：（1）延长AB到M，使BMAB4，则A和M关于BC对称，APPM，连接EM，交BC于点P，此时AP+PE的值最小，AP+PEPM+EPEM，过点M作MNDC，交DC的延长线于点N，如图：四边形ABCD是矩形，ABCD4，ABCBCD90，MBCBCN90，MND90，四边形BMNC是矩形，BMCN4，BCMN8，E为CD的中点，ECCD2，ENEC+CN6，ME10，PE+AP的最小值为10，故答案为：10；（2）点A向右平移3个单位到点G，点E关于BC的对称点为点F，连接GF，交BC于点Q，EQFQ，GQ+EQGQ+FQFG，此时GQ+QE的值最小，四边形ABCD是矩形，BCAD，AGPQ3，四边形APQG是平行四边形，APGQ，GQ+EQAP+EQFG，AE，PQ的值是定值，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ的值最小即可，设CQx，BCAD，BCFD，CQFDGF，FCQFDG，x，当CQ时，四边形APQE的周长最小，故答案为：