专题11 最值模型-阿氏圆问题（解析版）.docx

1、专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=kPB（k1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。【模型解读】如图 1 所示，O的半径为 r，点 A、B都在O 外，P为O上一动点，已知r=kOB， 连接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k

2、r，则可说明BPO与PCO相似，即kPB=PC。故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。例1（2022安徽九年级期末）如图，在RtABC中，ACB90，CB7，AC9，以C为圆心、3为半径作C，P为C上一动点，连接AP、BP，则APBP的最小值为（）A7B5CD【答案】

3、B【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM1，连接PM，PC，BM利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BPPM+PBBM，利用勾股定理求出BM即可解决问题答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM1，连接PM，PC，BMPC3，CM1，CA9，PC2CMCA，PCMACP，PCMACP，PMPA，AP+BPPM+PB，PM+PBBM，在RtBCM中，BCM90，CM1，BC7，BM5，AP+BP5，AP+BP的最小值为5故选：B例2（2020广西中考真题）如图，在Rt中，ABAC4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最

4、小值是_【答案】【分析】在AB上取一点T，使得AT1，连接PT，PA，CT证明，推出，推出PTPB，推出PB+CPCP+PT，根据PC+PTTC，求出CT即可解决问题【详解】解：在AB上取一点T，使得AT1，连接PT，PA，CTPA2AT1，AB4，PA2ATAB，PATPAB，PTPB，PB+CPCP+PT，PC+PTTC，在Rt中，CAT90，AT1，AC4，CT，PB+PC，PB+PC的最小值为故答案为【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键例3（2022四川成都模拟预测）如图，已知正方ABCD

5、的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_【答案】【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值连接PD，在PDM中，PD-PMDM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得【详解】如图，连接，在上取一点，使得， 在PDM中，PD-PMDM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，四边形是正方形在中，故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键例4（2022浙江舟山九年级期末）如图，矩形中，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E

6、，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（）ABCD【答案】C【分析】连接BP，取BE的中点G，连接PG，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，G是BE的中点，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，故选：C【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将转换成，再根据三点共线求出最小值例5（2022广东广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象

7、限内一动点，且，则4PD+2PC的最小值为_【答案】【分析】取一点，连接OP，PT，TD，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，过点D作交OC于点E，即可求出DT的最小值，即可得【详解】解：如图所示，取一点，连接OP，PT，TD，A（2，0），B（0，2），C（4，0），OA=OB=2，OC=4，以O为圆心，OA为半径作，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，A，P，B，Q四点共圆，过点D作交OC于点E，D的坐标为（5，3），点E的坐标为（5，0），TE=4，的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识

8、点例6（2021浙江金华一模）问题提出：如图1，在等边ABC中，AB9，C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD1，则有又PCD PDBPAP+BPAP+PD当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 (2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC6，AB8，P为矩形内部一点，且PB4，则AP+PC的最小值为 (请在图3中添加相应的

9、辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，COD120，OC4OA2，OB3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为【分析】(1)连结AD，过点A作AFCB于点F，AP+BPAP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF2，连接PF，PC，AB8，PB4，BF2，证明ABPPBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；(3)延长OC，使CF4，连接BF，O

10、P，PF，过点F作FBOD于点M，确定，且AOPAOP，AOPPOF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A作AFCB于点F，AP+BPAP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，AC9，AFBC，ACB60CF3，AF；DFCFCD312，AD，AP+BP的最小值为；故答案为：；(2)如图2， 在AB上截取BF2，连接PF，PC，AB8，PB4，BF2，且ABPABP，ABPPBF，PFAP，AP+PCPF+PC，当点F，点P，点C三点共线时，AP+P

11、C的值最小，CF，AP+PC的值最小值为2，故答案为：2；(3)如图3，延长OC，使CF4，连接BF，OP，PF，过点F作FBOD于点M，OC4，FC4，FO8，且OP4，OA2，且AOPAOPAOPPOF，PF2AP2PA+PBPF+PB，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，COD120，FOM60，且FO8，FMOMOM4，FM4，MBOM+OB4+37FB，2PA+PB的最小值为【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形.例7（2022广东二模）（1）初步研究：如图1，在PAB中，已知PA=2，AB

12、=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，A的半径为2，点P是A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，A=60，A的半径为2，点P是A上的一个动点，求2PCPB的最大值【答案】（1）见解析；（2）10；（3）【分析】（1）证明PAQBAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在

13、CQ交A的点P时，PCPQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PCPB的最大值【详解】解：（1）证明：PA=2，AB=4，AQ=1，PA2=AQAB=4又A=A，PAQBAPPB=2PQ；（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQAP=2，AB=4，AQ=1由（1）得PB=2PQ，2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)PC+PQQC，当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小QC=5，2PC+PB=2(PC+PQ)102PC+PB的最小值为10 （3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交A于点P，过点C作CH垂直AB的延长线于点H

14、易得AP=2，AB=4，AQ=1由（1）得PB=2PQ，2PCPB=2PC2PQ=2(PCPQ) ，PCPQQC，当点P在CQ交A的点P时，PCPQ的值最大QC= =，2PCPB=2(PCPQ)22PCPB的最大值为2【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决例8（2022江苏苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.阿氏

15、圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在上取点，使得；第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分)：解：在上取点，使得，又.任务：将以上解答过程补充完整.如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值.【答案】（1）（2）.【分析】将PC+kPD转化成PC+MP，当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可；根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应O,D对应P

16、，A对应C，B对应M，当D在AB上时为最小值，所以= = 【详解】解，当取最小值时，有最小值，即三点共线时有最小值，利用勾股定理得的最小值为，提示：，的最小值为.【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键.课后专项训练1（2022福建南平九年级期中）如图，在RtABC中，ACB90，CB7，AC9，以C为圆心、3为半径作C，P为C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（）A3.B4C3D5【答案】D【分析】作辅助线构造相似三角形，进而找到P在何时会使得AP+BP有最小值，进而得到答案【详解】解：如图，连接CP，作PE交AC于点E，使 ，当B

17、、P、E三点共线，即P运动时有最小值EB 的最小值为 故选：D【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键2（2022江苏无锡市九年级期中）如图，O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 _【答案】【分析】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, 根据，AOP是公共角，可得AOPPOC，得PC=3PA，当B,C,P三点共线时，3PA+PB的值最小为BC，利用勾股定理求出BC的长即可得答案【详解】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC,O半

18、径为3，点A（0，1），点B（2，0），OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,，AOP是公共角，AOPPOC，PC=3PA，3PA+PB=PC+PB,当B,C,P三点共线时，3PA+PB最小值为BC,BC=，3PA+PB的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C、P、B三点在同一条直线上时3PA+PB有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键3（2022陕西三模）如图，在四边形中， ，对角线，设，则的最小值为 _【答案】#【分析】如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，在的上方构造，使得，取的中点，连接由，推出，设,则,由勾股定理求得，根据两

19、点之间线段最短可得的最小值，进而根据，即可求解【详解】解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，在的上方构造，使得，取的中点，连接在中，四边形是矩形，设,则,，,，AD的最小值为，k是最小值为故答案为：【点睛】本题考查轴对称问题，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是相似构造相似三角形解决问题4（2022湖北武汉模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 = k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在ABC 中，CB = 4 ， AB= 2AC ，则ABC 面积的最大值为_【答案】【分析】以A为顶点，AC为边

20、，在ABC外部作CAP=ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出APCBPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论【详解】解：以A为顶点，AC为边，在ABC外部作CAP=ABC，AP与BC的延长线交于点P，APC=BPA， AB= 2ACAPCBPA，BP=2AP，CP=APBPCP=BC=42APAP=4解得：AP=BP=，CP=，即点P为定点点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即ABC的面积最大SA1BC=BCA1P

21、=4=即ABC面积的最大值为故答案为：【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键5（2022浙江九年级期中）如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF，连接PF，AFDCE90，DE4，DPPE，PCDE2，PCFBCP，PCFBCP，PFPB，PA+PBPA+PF，PA+PFAF，AF，PA+PB，PA+PB的最小值为，故答案为6（20

22、22江苏苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _【答案】5【分析】因为DGEF2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI1，可证GDICDG，从而得出GICG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在RtDEF中，G是EF的中点，DG，点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI1，连接GI，GDICDG，GDICDG，IG，BG+BG+IGBI，当B、G、I共线时，BG+CG最小BI，在RtBCI中，CI3，BC4，BI5，故

23、答案是：5【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键7（2022山西九年级专题练习）如图，在中，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是_ 【答案】【分析】作BHAC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明BPDBCP得到PDPC，所以PAPCPA+PD，而PA+PDAD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值【详解】解：作BHAC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，AC为切线，BH为B的半径，ABC90，ABCB2，ACBA2，B

24、HAC，BP，而PBDCBP，BPDBCP，PDPC，PAPCPA+PD，而PA+PDAD（当且仅当A、P、D共线时取等号），而AD，PA+PD的最小值为，即PA的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC也考查了等腰直角三角形的性质8（2022湖北九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，点P是B上的一个动点，则PDPC的最大值为_【答案】5【详解】分析: 由PDPCPDPGDG，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大，最大值为DG5详解: 在BC上取一点G，使得BG1，如图，PBGPBC

25、，PBGCBP，PGPC，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大，最大值为DG5故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题9（2022北京九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则PAPB的最小值为_【答案】【分析】PAPB（PAPB），利用相似三角形构造PB即可解答【详解】解：设O半径为r，OPrBC2，OBr2，取OB的中点I，连接PI，OIIB， ， ，O是公共角，BOPPOI，PIPB，AP

26、PBAPPI，当A、P、I在一条直线上时，APPB最小，作IEAB于E，ABO45，IEBEBI1，AEABBE3，AI，APPB最小值AI，PAPB（PAPB），PAPB的最小值是AI故答案是【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形10（2022山东九年级专题练习）如图，在中，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值_最小值_【答案】 ； 【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证PCDBCP可得PD=BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在RtACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD=即可；在AC上取CE=，PCEACP

27、可得PE=AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在RtBCE中，由CE=，CB=4，根据勾股定理BE=即可【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，CP=2，BC=4， ，又PCD=BCP，PCDBCP，PD=BP，AP+BP=AP+PD，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在RtACD中，CD=1，CA=6，AD=，AP+BP的最小值为故答案为：在AC上取CE=，连接CP，PE又PCE=ACP，PCEACP，PE=AP，BP+AP=BP+PE，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在RtBCE中，CE=，CB=4，BD=，B

28、P+AP的最小值为故答案为：【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键11（2022重庆九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD的最小值为_，PD的最大值为_（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，B60，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD的最小值为_，PD的最大值为_【答案】 【分析】（1）如图3中，在上取一点，使得，先证明，得到，所以，而（当且仅当、共线时取等号），从而计算出得到的最小值，而（当且仅当、

29、共线时取等号），从而计算出得到的最大值；（2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点，解法同（1）【详解】（1）如图3中，在上取一点，使得，（当且仅当、共线时取等号），的最小值为， 的最小值为，的最大值为，故答案为：，；（2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点，（当且仅当、共线时取等号），的最小值为， 的最小值为，在中，在中，的最小值为，的最大值为，故答案为：，【点睛】本题考查圆的综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是学会构建相似三角形解决问题12（2022江苏淮安九年级期中）问题提出：如图1，在等边ABC中，AB=12，C半径为6，P为圆上一动点，连结AP

30、，BP，求AP+BP的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有=，又PCD=BCP，PCDBCP，=，PD=BP，AP+BP=AP+PD请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，COD=120，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程【答案】（1）AP+BP的最小值为3；（2）AP+PC的值最小值为5；

31、（3）2PA+PB的最小值为，见解析.【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF=6，AF=6，由勾股定理可求AD的长；（2）在AB上截取BF=1，连接PF，PC，由，可证ABPPBF，可得PF=AP，即AP+PC=PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FBOD于点M，由，可得AOPPOF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值【详解】解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作A

32、FCB于点F，AP+BP=AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，AC=12，AFBC，ACB=60CF=6，AF=6DF=CF-CD=6-3=3AD=3AP+BP的最小值为3（2）如图，在AB上截取BF=1，连接PF，PC，AB=9，PB=3，BF=1，且ABP=ABP，ABPPBF，PF=APAP+PC=PF+PC，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，CF=5AP+PC的值最小值为5，（3）如图，延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FBOD于点M，OC=4，FC=4，FO=8，且

33、OP=4，OA=2，且AOP=AOPAOPPOFPF=2AP2PA+PB=PF+PB，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，COD=120，FOM=60，且FO=8，FMOMOM=4，FM=4MB=OM+OB=4+3=7FB=2PA+PB的最小值为【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点.13（2022湖北九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值（2）如

34、图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值（3）如图3，已知菱形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值的最小值 【答案】见详解【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1由PBGCBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PGDG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG=5由PD-PC=PD-PGDG，当点P在DG的延长线上时，PD-PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把转化为4（），这样只需求出的最小值，问题即可解决。（2）如图3中，在BC上取一

35、点G，使得BG=4解法类似（1）；（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DFBC于F解法类似（1）；【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1PBGCBP，DP+PGDG，当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG=5当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5如图，连接BD，在BD上取一点F，使得BF=，作EFBCPBFPBD，PF=PD，当C、F、P三点共线时会有FP+CP的最小值即PD+PC，由图可知，BEF为等腰直角三角形，BF=，BE=EF=，最小值为FC= 的最小值为：（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4PBGCBP，DP+PG

36、DG，当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG= 当点P在DG的延长线上时，的值最大，最大值为DG=（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DFBC于FPBGCBP，DP+PGDG，当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG在RtCDF中，DCF=60，CD=4，DF=CDsin60=，CF=2，在RtGDF中，DG= PC=PD-PGDG，当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点

37、之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题14（2022山东聊城二模）如图，抛物线经过点，直线AC的解析式为，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作轴交AC于点F（1）求抛物线的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连结EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形?求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为上以动点，求的最小值【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，可判断出，当四边形是平行四边形时，可使四边形是矩形，分别设出点，点，点的坐标，在利用中

38、点坐标公式求解即可；（3）先去的中点，进而判断出，即可得出，连接交圆于点，再求出点的坐标即可得出结论【详解】（1）将点，代入抛物线得：解得：抛物线的解析式为（2）如图： 设直线的解析式为则直线的解析式为又直线的解析式为当四边形是平行四边形时，可使四边形是矩形，此时对角线与互相平分设，则解得，(3)如图：由（2）知，设交于点,取的中点，则设，或（舍去）连接交于点，连接EM则又的最小值为【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用中点坐标公式构建方程，

39、以及构造相似三角形15（2022江苏泰州一模）如图，已知中，是上的一点，点是线段上的一个动点，沿折叠，点与重合，连接(1)求证：；(2)若点是上的一点，且，若与的面积比是，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的（保留作图痕迹，不写作法）；求的最小值【答案】(1)见解析(2)见解析；【分析】（1）由，得，又因为CAB=EAC即可得出结论；（2）设C到AB的距离为hE , C到BC的距离为hF，根据面积比得出hE=hF，从而得点C在ABC的平分线上，作ABC的平分线BC，以点A为圆心，AC为半径作弧形，交BC于C，再作CAC的平分线AD，交BC于D，连接AC，DC，则得ACD；由（1）知：

40、AECACB，得=，所以EC=BC，又因为BC+FC=(BC+FC)= (EC+FC），所以当E、C、F三点共线时，EC+FC最短，即EC+FC=EF，此时BC+FC的最小值为EF，在RtABC中，由勾股定理得：BC=，过点E作EGCB于G，证EBGABC，得，则可求出BG=，EG=，从而求得GF=BG-BF=，在RtEGF中，由勾股定理得：EF=，即可求解（1）解：依题意可得AC = AC= 6，AE= AB- BE= 9-5=4，CAB=EAC，AECACB；（2）解：设C到AB的距离为hE , C到BC的距离为hF，hE=hF，点C在ABC的平分线上，作ABC的平分线BC，以点A为圆心，

41、AC为半径作弧形，交BC于C，再作CAC的平分线AD，交BC于D，连接AC，DC，则ACD即为折叠后的三角形；如图所示：如图，由（1）知：AECACB，=，EC=BC，BC+FC=(BC+FC)= (EC+FC），当E、C、F三点共线时，EC+FC最短，即EC+FC=EF，BC+FC的最小值为EF，在RtABC中，由勾股定理得：BC=，过点E作EGCB于G，C=EGB=90，ACEG，EBGABC，BG=，EG=，BF=，GF=BG-BF=，在RtEGF中，由勾股定理得：EF=，BC+FC=EF=，BC+FC的最小值为【点睛】本题考查折叠问题，尺规作图：作角平分线，相似三角形的判定与性质，勾股

42、定理，最短距离问题，本题综合性强，难度较大16（2022广东九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD，AB4，以顶点B为直角顶点的等腰RtBEF绕点B旋转，BEBF，连接AE，CF(1)求证：ABECBF(2)如图2，连接DE，当DEBE时，求SBCF的值（SBCF表示BCF的面积）(3)如图3，当RtBEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值【答案】(1)见解析(2)2或6(3)【分析】（1）由“SAS”可证ABECBF；（2）由“SSS”可证ADEABE，可得DAEBAE45，可证A

43、HEH，由勾股定理可求BE的长，即可求解；（3）先确定点P的位置，过点B作BQCF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90，EBF90ABC，ABECBF，又BEBF，ABBC，在ABE和CBF中，ABECBF（SAS）；(2)解：如图2，过点E作EHAB于H，ABECBF，SABESCBF，ADAB，AEAE，DEBE，ADEABE（SSS），DAEBAE45，EHAB，EABAEH45，AHEH，BE2BH2+EH2，10EH2+（4EH）2，EH1或3，当EH1时SABESBCFABEH412，当EH3时SABESB

44、CFABEH436，SBCF的值是2或6；(3)解：如图3，过点P作PKAE于K，由（1）同理可得ABECBF，EABBCF，BAE+CAE+ACB90，BCF+CAE+ACB90，AGC90，AGCADC90，点A，点G，点C，点D四点共圆，ACDAGD45，PKAG，PGKGPK45，PKGKPG，MP+PGMP+PK，当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小，如图4，过点B作BQCF于Q，BEBF，EBF90，BQEF，EF2，BQEQFQ，CQ，CECQEQ，MKAE，CEAE，MKCE，又M是CD的中点，DC2DM，MPCE【点睛】本题主要

45、考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键17（2022河北九年级专题练习）如图1，在RTABC中，ACB90，CB4，CA6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：，的最小值【答案】；【分析】在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；由，即可求出结果；在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；由，即可求出结果【详解】解：如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD，又，即，当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长在中，的最小值为；，的最小值为；如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE，又，即，当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长在中，的最小值为；，的最小值为【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键