专题11 空间向量及其运算11种常见考法归类（解析版）.docx

1、专题11 空间向量及其运算10种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、有关空间向量的概念的理解考点二、空间向量的加减运算考点三、空间向量的数乘运算考点四、向量共线问题考点五、向量共面问题考点六、空间向量的数量积运算考点七、利用数量积求夹角考点八、利用数量积求距离考点九、利用数量积证明垂直关系考点十、空间投影向量的计算知识点1空间向量的概念(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或|.(2)几类特殊的空间向量零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为

2、。规定：与任意向量平行。单位向量：长度为1的空间向量，即.相等向量：方向相同且模相等的向量。相反向量：方向相反但模相等的向量。共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。知识点2空间向量的加减运算及运算律如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面内，以任意点O为起点作a，b，则ab，ba.(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算ababab(2)空间向量加法交换律abba空间向量加法结合律(ab)ca(bc)空间向量加法的运算的小技巧（1）首

3、尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；知识点3空间向量的数乘运算(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作a，其长度和方向规定如下：|a|a|.当0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向相反；当0时，a0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律(a)()a；(ab)ab；(12)a1a2a(拓展)知识点4共线向量与共面向量(1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合充要条件对空间任意两个向

4、量a，b(b0)，存在唯一实数，使ab点P在直线l上的充要条件存在实数t满足等式ta在直线l上取向量a，则t 向量a为直线的方向向量(2)共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使pxayb点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使xy对空间任一点O，有xy知识点5空间向量数量积的概念(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律a(bc)abac(3)空间向量的夹角

5、定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b范围：a，b0，特别地：当a，b时，ab.知识点6空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则abab0若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a| 若为a，b的夹角，则cos |ab|a|b|知识点7 投影向量的概念1、向量在向量上的投影对于空间向量任意两个非零向量，设向量，过点作，垂足为，上述由向量得到向量的变换称为向量向向量的投影，向量称为向量在向量上的投影向量。与平面向量的情形类似，我们有2、向量在平面上的投影向量，过，作平面的

6、垂线，垂足为，得到向量，我们把向量称为向量在平面上的投影向量，此时数量积有1、在空间，平面向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反2、根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可以按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好3、应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目标4、判定向量a，

7、b(b0)共线，只需利用已知条件找到x，使axb即可证明点共线，只需证明对应的、向量共线5、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线（1）存在实数，使PA=PB成立.（2）对空间任一点O，有OP=OA+tAB(tR).（3）对空间任一点O，有OP=xOA+yOB(x+y=1).6、利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系7、两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律8、

8、求空间向量数量积的步骤（1）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，（2）利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积，（3）代入求解.9、求两个向量的夹角有两种方法：方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小（2）先求，再利用公式求，最后确定.方法二：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小10、利用空间向量求模长在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：。将其推广：注：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量

9、的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可考点剖析考点一、有关空间向量的概念的理解1（2023上山东日照高二校考阶段练习）下列命题中为真命题的是（）A向量与的长度相等B将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间非零向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系

10、判断C.【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误；故选：A.2（2023高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（）A与共面的单位向量有无数个B与垂直的单位向量有无数个C与平行的单位向量只有一个D与同向的单位向量只有一个【答案】C【分析】利用向量的定义，有大小，有方向两个方面进行判断

11、，即可确定每个选项的正确性【详解】解：与共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A正确；与垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B正确；与平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C错误；与同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D正确故选：C3（2023上福建泉州高二统考期中）在正方体中，与向量相反的向量是（）ABCD【答案】A【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可.【详解】如图所示，可知是的相反向量.故选：A4（2023上山东聊城高二校考阶段练习）给出下列命题：空间向量就是空间中的一条有向线段；在正方体中，必有；是向量的必要不充分条件；若空间向量满足，则其中正确的命题

12、的个数是（）A1B2C3D0【答案】B【分析】根据空间向量的相关概念逐项判断.【详解】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故错误；和大小一样、方向相同， 则，故正确；若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故正确；向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故错误.综上所述，正确.故选：B5（2023上高二课时练习）给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等；向量与平行，则与的方向相同或相反；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；有向

13、线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为（）A2B3C4D5【答案】C【分析】可举出反例，可用向量的概念进行判断【详解】对于，故为真命题；对于，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故为假命题；对于，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以为假命题；对于，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故为假命题；对于，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题故假命题的个数为4.故选：C考点二、空间向量的加减运算6（2023上湖北孝感高二校考期末）如图，在长方体中，下列运算结果化简正确的是（）ABCD【答案】B【分析】根据空间向量加

14、减运算，结合长方体的性质逐项判断即可.【详解】对于A，错误；对于B，正确；对于C，错误；对于D，错误.故选：B7（2023上云南临沧高二校考期末）如图，在空间四边形中，则（）ABCD【答案】C【分析】根据图形，利用向量的线性运算即可求出结果.【详解】，故选：C.8（2024上辽宁辽阳高二统考期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，则（）ABCD【答案】A【分析】先得到，然后将表示出来并代入的表示中，由此可得结果.【详解】连接，如下图所示，因为，所以，所以故选：A.9（2023上湖南益阳高二南县第一中学校考期末）在三棱柱中，为中点，若，则下列向量中与相等的是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据空

15、间向量的线性运算可得解.【详解】如图所示，在三棱柱中，依题意，故选：A.10（2023上江苏高三校联考阶段练习）若空间中四点满足，则（）AB3CD【答案】A【分析】利用向量的运算法则求解即可.【详解】，,即,则.故选：A.考点三、空间向量的数乘运算11（2023上河南南阳高二校考阶段练习）求为（）ABCD【答案】B【分析】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案.【详解】原式.故选：B.12（2023上山东德州高二统考期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（）ABCD【答案】C【分析】根据向量的加法、数乘运算求解即可.【详解】如图，因为E为棱BC的中点，所以,故选：C13（

16、2023高二课时练习）在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（）ABCD【答案】C【分析】延长交于，得是中点，然后由向量的线性运算求解【详解】延长交于，如图，则是中点，故选：C14（2023上陕西榆林高二校联考阶段练习）在平行六面体中，设，分别是，的中点，则（）ABCD【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算求解.【详解】如图，故选：C考点四、向量共线问题15（2023上福建福州高二福州三中校考期中）已知空间向量，且，则一定共线的三点是（）A、B、C、D、【答案】C【分析】利用空间向量平行证明三点共线即可.【详解】因为，若、三点共线，则，而无解，故A错误.因为，若、三点共线，则，而无解

17、，故B错误.因为、，所以，即，所以、三点共线，故选C正确.因为、，所以，若、三点共线，则，而无解，故D错误.故选：C.16（2023贵州六盘水统考模拟预测）已知，不共面，若，且三点共线，则（）A0B1C2D3【答案】C【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案.【详解】因为三点共线，所以，即，故，解得，所以.故选：C17（2023上辽宁高二本溪高中校联考期中）设向量不共面，已知，若三点共线，则（）A0B1C2D3【答案】A【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可.【详解】因为，所以，因为三点共线，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故选：A.18（2023上河北

18、石家庄高二石家庄市第二十七中学校考阶段练习）若空间向量不共线，且，则xy（）A1B2C4D6【答案】D【分析】由题可知左右两边系数对应相等即可求出x和y.【详解】因为空间向量不共线，要使，则.故选：D.19（2023上河南洛阳高二校联考阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数=（）ABCD【答案】D【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.【详解】由F为BE 的中点，得 又所以，由 得 即所以 故选：D考点五、向量共面问题20（2024上云南玉溪高二统考期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（）ABCD【答案】C【分析】根据空间共面向量基本

19、定理即可求解.【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以.故选:C21（2023全国高二专题练习）八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ）A不共面B不一定共面C无法判断是否共面D共面【答案】D【分析】根据空间向量共面定理的推论进行判断即可.【详解】对于空间任意一点和不共线三点、，若点满足：，且，则、四点共面.而，其中，所以四点共面.故选：D22（2023上山东菏泽高二菏泽一中校考阶段练习）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（）ABCD【答案】D【分析】根据给定条件，利

20、用空间共面向量定理的推论逐项判断即得.【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且，对于A，由，得，点不共面，A不是；对于B，由，得，点不共面，B不是；对于C，由，得，点不共面，C不是；对于D，由，得，点共面，D是.故选：D23（2023上湖北黄冈高二校联考期中）对空间任意一点和不共线三点，能得到，四点共面的是（）ABCD【答案】B【分析】根据共面向量的推论判断.【详解】A选项：，故A错；B选项：，故B正确；C选项：，故C错；D选项：，故D错.故选：B.24（2023上北京高二北京铁路二中校考期中）已知是空间两个不共线的向量，那么必有（）A共线B共线C共面D不共面【答案】C【分析】利用空间

21、向量的共线定理与共面定理.【详解】若共线，则，又，则共线，与条件矛盾，故A错误；同理若共线，则，又，则共线，与条件矛盾，故B错误；根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误.故选：C25（2023上贵州高二校联考期中）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（）ABCD【答案】B【分析】利用空间向量共面的基本定理化简可得出的值.【详解】因为点为所在平面内一点，设，其中、，即，所以，所以，所以，.故选：B.26（2023上四川宜宾高二四川省宜宾市第一中学校校联考期中）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（）ABCD【答案】B【分析】根据空间四点共面可得，解之即可.【详

22、解】因为四点共面，所以，解得.故选：B.考点六、空间向量的数量积运算27（2023上江苏高一校联考阶段练习）对于任意空间向量，下列说法正确的是（）A若且，则BC若，且，则D【答案】B【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A.【详解】对于A，若，则且，不能得到，故A错误，对于B，B正确，对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误，对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误，故选：B28（2023上广东东莞高二东莞市光明中学校考阶段练习）如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A与B与C与D与【答案】A【分析】根据

23、线线垂直、线面垂直的知识确定正确答案.【详解】由于平面，平面，所以，则与垂直，D选项错误.由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以与垂直，C选项错误.由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以与垂直，B选项错误.由于与不一定垂直，是在平面内的射影，所以与不一定垂直，即与的数量积不一定为，A选项正确.故选：A29（2023上天津静海高二校考阶段练习）已知向量和的夹角为，且，则（）A12BC4D13【答案】D【分析】根据空间数量积的运算性质求解【详解】故选：D30（2023上山东威海高二校考阶段练习）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（）AB1C3D7【答案】A【分析】利用正四面体的性质，

24、结合空间向量数量积的运算法则即可得解.【详解】将正四面体放在正方体中，如图，因为在正四面体中，棱长为2，两两夹角为， 所以，因为是棱中点，所以，又，所以.故选：A.31（2023上天津河东高二统考期中）如图，若正四面体的棱长为1，且，则（）ABCD1【答案】C【分析】选为基底，然后表示，利用向量的数量积的公式计算即可.【详解】正四面体的棱长为1，且，所以故选：C32（2023上福建高二福建师大附中校考期中）在正四面体中，是的中心，则等于（）ABCD【答案】D【分析】根据题意得到，然后求数量积即可.【详解】因为为正四面体，是的中心，所以，所以.故选：D.33（2023上福建福州高二校联考期中）如

25、图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数是（）A7B5C3D1【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，向量的垂直和向量的数量积即可求出解【详解】由图可知，则，因为棱长为，所以，故集合中的元素个数为1，故选：D.考点七、利用数量积求夹角34（2023下高二课时练习）已知，则与的夹角 .【答案】/【分析】利用数量积计算向量夹角余弦，进而求得夹角.【详解】，由的范围为，所以.故答案为：.35（2023高二课时练习）已知空间向量，且与垂直，则与的夹角为（）ABCD【答案】D【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律即可求出，进而求出结果.【详解】

26、因为与垂直，所以，即，所以.又，所以.故选：D.36（2023上福建三明高二福建省宁化第一中学校考阶段练习）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为 ；异面直线与夹角的余弦值为 【答案】 【分析】（1）设，由，利用向量法能求出的长（2）由，能求出与所成角的余弦值【详解】（1）设，由已知得，又，（2），故答案为：；37（2023下湖北恩施高一恩施土家族苗族高中校考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与的夹角都等于.若是的中点，则直线与所成角的余弦值为 .【答案】【分析】记，由题意可得，易得，再由数量积的运算性质求出，即可求解【详解】记，

27、因为，所以.又因为，所以.易得，所以，所以，又.故答案为：38（2023高二课时练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 【答案】【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得，关于的表达式，再由两向量夹角为钝角得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】因为，所以，故，因为向量与的夹角为钝角，所以，即，则，解得，即.故答案为：.39（2023上江苏南京高二期中）已知单位向量满足，若与的夹角为，则实数 【答案】【分析】根据向量夹角的余弦公式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可.【详解】因为与的夹角为，所以，即，解得，又，所以故答案为：考点八、利用数量积求距离40（2023上河北

28、石家庄高二校考期中）已知空间中三个单位向量两两夹角均为60OA的中点为M，BC的中点为N，则 【答案】【分析】利用空间向量的数量积运算律求解.【详解】如图，,所以，所以，故答案为: .41（2023上浙江高二校联考阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为1，则线段的长度为 .【答案】【分析】取，为一个基底，表示，再应用数量积及模长公式计算即可求解【详解】取，为一个基底， ，故答案为：.42（2023上江苏镇江高二统考期中）在平行六面体中，则 .【答案】【分析】利用空间向量基本定理，得到，即可求出.【详解】在平行六面体中，.因为，所以.所以.故答案为：43（2023上江苏无锡高二江苏省太湖高级中学

29、校考期中）已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，则向量的模长为（）AB4CD【答案】C【分析】以为基底表示出，再利用数量积的运算律计算可得.【详解】由平行六面体的所有棱长均为，得，依题意，因此，所以.故选：C44（2023上辽宁鞍山高二鞍山一中校考期中）如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，且，则 .【答案】【分析】根据二面角的定义，结合空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为分别在半平面内，二面角等于，所以，因为，所以，所以，故答案为：考点九、利用数量积证明垂直关系45（2023全国高二专题练习）棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD（）A相

30、交B平行C垂直D无法判位置关系【答案】C【分析】结合空间向量的数量积判断即可.【详解】因为，所以.所以，即.所以直线AB与CD垂直.故选：C.46（2023上高二课时练习）已知非零向量分别为直线的方向向量，且，则与的位置关系是（）A垂直B平行C相交D异面【答案】A【分析】运用及，求得，再由向量垂直的条件，即可判断直线与的位置关系.【详解】由，则，即，则直线,所以与的位置关系是垂直.故选：A.47（2023高二课时练习）在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是()A重合B垂直C平行D无法确定【答案】B【分析】用向量作空间向量的一组基底分别表示和，由数量积为0可得垂直.【详解】由题意，用向量作

31、空间向量的一组基底则设正方体的棱长为1，于是：故，即与垂直故选：B48（2023全国高二专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点(1)求；(2)判断与是否垂直【答案】(1)(2)垂直【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可；（2）计算与的数量积，根据结果可得答案.【详解】（1）正方体中，故.（2）由题意， ， ，故与垂直.考点十、空间投影向量的计算49（2023上河北唐山高二校联考期中）在空间四边形中，则在上的投影向量为（）ABCD【答案】B【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解.【详解】在四面体中，因为，设，且，则，在上的投影向量为.故选：B50（2023下

32、安徽合肥高二校考开学考试）已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（）ABCD【答案】D【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.【详解】，与夹角的余弦值为，在上的投影向量为.故选：D51（2023上广东高二校联考阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（）ABCD【答案】D【分析】应用空间向量基本定理及投影向量的定义求解即可.【详解】设正方体的棱长为1，则，向量在向量上的投影向量是.故选：D52（2023上辽宁营口高二统考期末）已知，空间向量为单位向量，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（）A2BCD【答案】B【分析】由空间向量在向量方向上的投影

33、为，运算即可的解.【详解】由题意，则空间向量在向量方向上的投影为.故选：B.53（2023上安徽合肥高二校考期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（）ABCD【答案】C【分析】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，设向量的夹角为，所以，可得，解得，所以在方向上的投影为，当且仅当时，即时，等号成立，所以在方向上的投影的最大值为故选：C.过关检测一、单选题1（2022上吉林长春高二长春十一高校考期末）下列说法错误的是（）A设是两个空间向量，则一定共面B设是两个空间向量，则C设是三个空间向量，则一定不共面D设是三个空间向量，则【答案

34、】C【分析】根据空间向量可平移可判断AC，根据向量数量积定义可判断B，根据向量数量积的运算律可判断D.【详解】因为空间向量可平移，故任意两个向量均为共面向量，故A正确；，故B正确；设是三个空间向量，则可能共面，故C错误；空间向量数量积满足分配律，故，即D正确.故选：C2（2022上陕西渭南高二统考期末）给出下列四个命题，其中正确的有（1）若空间向量，满足，则；（2）空间任意两个单位向量必相等；（3）对于非零向量，由，则；（4）在向量的数量积运算中A0个B1个C2个D4个【答案】A【分析】根据向量相等的定义，单位向量的定义，以及向量的模的定义，逐个选项进行判断即可.【详解】对于（1），取，此时，

35、但是，故（1）为假命题；对于（2），取单位向量和，此时，故（2）为假命题；对于（3），若空间向量 取，取为零向量，此时，满足，但是 ，故（3）为假命题；对于（4），取，则，所以，故（4）为假命题.故选：A.3（2018北京高二北京八中校考期末）空间四边形中，（）ABCD【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算求解即可.【详解】根据向量的加法、减法法则，得.故选：A.4（2023上新疆伊犁高二校考期末）已知、为空间三个不共面的向量，向量，若与共线，则（）ABCD【答案】D【分析】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、的方程组，解出这三个量的值，即可得解.【详解】因为、为空间三个不共面的向量，

36、向量，若与共线，设，即，可得，解得，故.故选：D.5（2024上江苏高二期末）如图，平行六面体的各棱长均为，则（）ABCD【答案】B【分析】分析得出，利用平面向量数量积即可求得的值.【详解】平行六面体的各棱长均为，而，.故选：B.6（2019上陕西西安高二西安中学校考期末）平行六面体中，若则（）ABCD【答案】B【分析】根据空间向量加法的平行四边形法则，以及向量相等的概念，根据题意，列出等量关系，求解即可.【详解】因为，又因为且等式右边的三个向量不共面，故可得，解得，故可得.故选：B.7（2023上全国高二期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（）ABCD【答案】C【分析

37、】由空间向量的线性运算对选项一一计算即可得出答案.【详解】对于A，因为底面，所以底面，所以，所以，故A错误；对于B，因为，所以，所以为等边三角形，所以，所以，故B错误；对于C，故C正确；对于D，故D错误.故选：C.8（2023上全国高二期末）已知空间向量，满足，且，则与的夹角大小为（）A30B60C120D150【答案】C【分析】由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小.【详解】由题设，则，所以，又，可得，即.故选：C二、多选题9（2022上广东广州高二广东广雅中学校考期末）给出下列命题，其中不正确的有（）A若，则是钝角B若，则与一定共线C若，则与为同一线段D非零向量满足与，与，与都是

38、共面向量，则必共面【答案】ACD【分析】A. 由判断； B.利用共线向量定理判断； C.由线段与可能平行或重合判断；D.举例判断.【详解】A. 当时，但不是钝角，故错误；B. 当时，所以与一定共线，故正确；C.当时，与共线，线段与可能平行或重合，故错误；D.如图所示：，设满足与，与，与都是共面向量，但不共面，故错误；故选：ACD10（2023上江西吉安高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（）ABCD【答案】ACD【分析】根据空间向量共面定理及其推论，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】对A：，定有共面，且有公共顶点，故四点共面，故A正

39、确；对B：，故四点不共面，故B错误；对C：，可得三点共线，则四点一定共面，故C正确；对D：，故四点一定共面，故D正确.故选：ACD.11（2024上四川成都高二校考期末）下列命题中，正确的是（）A若非零向量，满足，则有B任意向量，满足C若，是空间的一组基底，且，则四点共面D对于任意向量，必有【答案】CD【分析】根据空间向量的平行和垂直关系判断A；根据空间向量的数量积运算判断B；根据空间向量基本定理，及四点共面问题判断C；向量的三解不等式判断D【详解】对于A：若非零向量，满足，则，不一定平行，如在长方体中，令，满足，显然，故A错误；对于B：，不一定共线，则不一定成立，故B错误；对于C：若、是空间

40、的一组基底，且，则，即，则四点共面，故C正确；对于D：对于任意向量，必有，当且仅当与同向时取等号，故D正确；故选：CD12（2020上山东济南高三统考期末）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：为同时与，垂直的向量；，三个向量构成右手系（如图1）；.如图2，在长方体中中，则（）ABCD【答案】ACD【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项；根据新定义计算等号左右两边可判断；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断.【详解】对于，同时与，垂直，且，构成右手系，故成立，故正确.对于，则，故错误.对于，与共线，且方向相同，与共线，且方向相同，与共线，且方向相同，所以，与共

41、线，且方向相同，所以，故正确.对于，所以，故正确.故选：.三、填空题13（2022上辽宁锦州高二校联考期末）已知四面体的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则 .【答案】【分析】在四面体中，由题意可得任意两条棱的夹角为60，又，再根据数量积的定义求解【详解】由题意可得，所以故答案为：.14（2024上四川成都高二石室中学校考期末）如图，在平行六面体中，则与所成角的余弦值为 【答案】0【分析】取空间向量的一个基底，并表示出与，再利用空间向量数量积求解即得.【详解】在平行六面体中，设，则，于是，因此，所以与所成角的余弦值为0故答案为：015（2024上黑龙江哈尔滨高二黑龙江省哈尔滨市双

42、城区兆麟中学校联考期末）在四面体中，则 【答案】【分析】根据空间向量数量积的运算进行求解即可.【详解】因为，所以，又，所以，所以.又，所以，所以.又，所以故答案为：16（2024上广东广州高二统考期末）正四面体的棱长为2，设，则 .【答案】【分析】根据空间向量数量积的定义及运算律计算可得.【详解】在正四面体中，又，所以.故答案为：17（2023上上海松江高三统考期末）已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是 【答案】【分析】先判断出点在球上，然后根据数量积的运算求得的表达式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围.【详解】设BC的中点为O.因为动点满足，所以,即点P落在以O为球心，

43、以为半径的球上.因为,所以.因为正四面体的棱长为，所以，在三角形中，,.取AD的中点为E,OEAD，所以在上的投影向量的模为，所以.设，所以.因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查空间向量线性运算和数量积的运算，形如的点，其运动轨迹在以点为球心，半径为的球面上.求解一个式子的最值，可以考虑的方向有：基本不等式、函数的单调性、二次函数的性质、三角函数的值域等知识.四、解答题18（2023上四川绵阳高二绵阳南山中学实验学校校考期末）在平行六面体中，E为线段上更靠近的三等分点(1)用向量，表示向量；(2)求；(3)求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解；（2）根据

44、向量数量积的运算性质及数量积的定义运算即可；（3）根据向量的线性运算及向量的数量积的定义及运算性质求解.【详解】（1）如图，.（2）,.（3）.19（2024上上海高二上海市复旦中学校考期末）三棱柱中，设，(1)试用表示向量；(2)若，求的长【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案；（2）根据向量的数量积运算，可得答案.【详解】（1）由，则，由，则，由图形知（2）由题设条件：，同理可得，则，.20（2023上全国高二期末）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足(1)用向量，表示；(2)求【答案】(1)(

45、2)【分析】（1）由空间向量的线性运算直接求解；（2）结合（1）的结论，由空间向量的数量积公式求模长.【详解】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足所以（2）因为四面体OABC是正四面体，则，所以21（2024上全国高二期末）如图，三棱锥中，点D、E分别为和的中点，设，(1)试用，表示向量；(2)若，求异面直线AE与CD所成角的余弦值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据空间向量的运算即可求得答案；（2）根据空间向量的数量积的运算律求出，的模，以及二者的数量积，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）；（2）由题意可知：，故，故，则，由于异面直线和所成角范围大于小于等于，异面直线和所成角的余弦值为