专题11图形的位似变换与综合与实践 测量与误差（4个知识点8种题型2种中考考法）（原卷版）.docx

1、专题11图形的位似变换与综合与实践 测量与误差（4个知识点8种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.位似图形的概念（重点）知识点2.图形的放大与缩小（重点）知识点3.平面直角坐标系中图形的位似变换知识点4.利用相似三角形解决测量问题（重点）【方法二】 实例探索法题型1.利用位似图形求图形的面积、周长等。题型2.画位似图形题型3.确定位似中心题型4.平面直角坐标系中的位似图形题型5.利用相似三角形解决测量问题题型6.利用位似图形解决实际问题题型7.位似与相似、函数的综合运用题型8.规律探究题【方法四】 仿真实战法考法1. 位似变换考法2. 相似三角形的应用【方

2、法五】 成果评定法【学习目标】1. 学会用位似变换把一个图形放大或缩小，了解平面直角坐标系下位似变换图形坐标的特点。2. 了解相似变换、位似变换，位似图形及其有关概念。3. 掌握常用的测量物体高度的方法，并会用这些方法测量物体的高度。【知识导图】 【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.位似图形的概念（重点）1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系

3、：位似图形是特殊的相似图形。2）相似图形与位似图形的区别与联系：区别：位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。联系：位似图形是特殊的相似图形。3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。【例1】（2022秋九年级单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（）A0组B1组C2组D3组【变式】（2023河北保定校考一模）如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点逆时针旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）A总与位似B与不会位似C当点落在上时，与位似D存在的两个位置使得与

4、位似知识点2.图形的放大与缩小（重点）利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。画位似图形的一般步骤：确定位似中心；连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；根据相似比确定各线段的长度；顺次连接上述个点，得到图形。【例2】（2021春河北邯郸八年级统考期末）如果一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，那么所得的图形与原图形相比()A形状不变，图形缩小为原来的一半B形状不变，图形放大为原来的2倍C整个图形被横向压缩为原来的一半D整个图形被纵向压缩为原来的一半知识点3.平面直角坐

5、标系中图形的位似变换在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的位似图形，使它与原图形的相似比为k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).【例3】（2022秋湖南衡阳九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（）ABC或D或【变式】（2022秋河南南阳九年级统考期中）如图，是的位似图形，已知，则点的坐标是（）ABCD知识点4.利用相似三角形解决测量问题（重点）（1）利用影长测量物体的高度测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即

6、相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度（3）借助标杆或直尺测量物体的高度利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度【例4】

7、（2022秋安徽合肥九年级合肥寿春中学校考期中）如图，身高为的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，于是得出树的高度为（）ABCD【变式】（2022秋安徽蚌埠九年级校考期中）如图所示，在井口A 处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，若测得米，米，米，则水面以上深度为（）A4米B3米C3.2米D3.4米【方法二】实例探索法题型1.利用位似图形求图形的面积、周长等。1.（2023重庆渝中重庆巴蜀中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为15，

8、则的周长为（）A10B6C5D42.（2023重庆九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，的面积为2，则的面积为（）A4B6C8D183（2023秋九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，矩形与矩形位似，位似中心是原点，若点，则矩形与矩形的面积比为（）ABCD4（2023重庆南岸统考一模）正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为（）ABCD题型2.画位似图形5（2023广东佛山校联考二模）如图所示，在学习图形的位似时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形(1)仅借助不带刻度的直尺，

9、在图1中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹），并写出点M的坐标_；(2)若以点O为位似中心，仅借助不带刻度的直尺，在图2中画出在y轴左侧的位似图形，且与的相似比为；(3)在（2）中，若边上的一点的坐标为，则点在在上的对应点的坐标为_题型3.确定位似中心6.（2023秋河北邯郸九年级统考期末）把放大为原图形的2倍得到，则位似中心可以是（）AG点BF点CE点DD点7.（2022秋山东济南九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心是（）ABCD8（2022秋山西太原九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形ABCD是位似图形位似中心是（）A（8

10、，0）B（8，1）C（10，0）D（10，1）9（2021春湖北武汉九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（） A点PB点QC点RD点S题型4.平面直角坐标系中的位似图形10.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：（1）将先向右平移个单位长度、再向下平移个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标；（2）以点为位似中心将放大倍，得到，画出并写出点B的坐标11（2023河南周口统考一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若与是位似图形且顶点均在格点上(1)在图中画出位似中心的位

11、置，并写出位似中心的坐标；(2)与的位似比为_，面积比为_题型5.利用相似三角形解决测量问题12如图，花丛中有一路灯.在灯光下，小明在点D处的影长，沿方向行走到达点G，这时小明的影长.如果小明的身高为1.7m，求路灯的高度.（精确到0.lm)13.为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度题型6.利用位似图形解决实

12、际问题14（2023秋山西忻州九年级校考期末）阅读与思考下面是某兴趣小组的一次实践活动记录：兴趣小组札记2022年月日，在数学兴趣小组开展的活动中，小华给每位同学发了一张扇形纸片，并要求大家按照下面的做法画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径，和上小李的做法如下：如图1，先在扇形内画出正方形，使得C，D两点在上，点F在上，连接并延长交于点G，过点G分别作于点J，交于点H，再作于点I(1)猜想证明：请问小李画出的四边形是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由(2)实践操作：如图2，给定锐角三角形，画出一个长宽比为的矩形，使得点D，E位于边上，点F，G分别位于边，上1

13、5（2023全国九年级专题练习）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解周髀算经时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理如图，在的正方形网格中，将弦图放大，使点A，B，C，D的对应点分别为，(1)与的比值为 ；(2)补全弦图16（2023河北石家庄校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，嘉琪用手机设计了动画，光点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右匀速运动；光点Q同时从点B出发，在点P的正下方沿抛物线运动，设运动时间为t，当时，P、Q第一次相遇(1)P、Q第一次相遇时，点P的坐标为_；求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)当P、Q相遇后，点P的运动保持不变，点Q沿与形状相同的抛物线（如图）运动，点Q仍在点

14、P的正下方，再次相遇时同时停止运动当时，光点Q运动到抛物线的最低点，求点P、Q在运动的整个过程中，距离不超过2的时间；(3)在（2）的条件下，P、Q运动结束后，嘉琪用手机截图、后，发现屏幕上有一个黑点K（位置固定），刚好落在平面直角坐标系的位置，嘉琪通过手机触屏功能将与横向、纵向同时放大a倍，使点K落在或上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的a的值题型7.位似与相似、函数的综合运用17.如图，RtABC，C90，AC10cm，BC8cm点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个

15、点随之停止（1）求经过几秒后，PCQ的面积等于ABC面积的25？（2）经过几秒，PCQ与ABC相似？题型8.规律探究题18.如图所示，在等腰ABC中，ABAC10cm，BC16cm点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连接DE，设运动时间为t（s）（0t10），解答下列问题：（1）当t为何值时，BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得BDE与ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由【方法三】 仿真实战法考法1. 位似变换1（2023浙江）如图，在直角坐标系中，ABC的三个

16、顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与ABC的位似比为2的位似图形ABC，则顶点C的坐标是（）A（2，4）B（4，2）C（6，4）D（5，4）2（2023朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把OAB放大，则点A的对应点A的坐标是（）A（1，1）B（4，4）或（8，2）C（4，4）D（4，4）或（4，4）3（2023辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（1，2），若四边形OABC与四边形OABC关于原点O位似，且四

17、边形OABC的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B的坐标为 4（2023阜新）如图，ABC和DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则ABC和DEF的面积比是 5（2023盘锦）如图，ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将ABO缩小为原来的，得到ABO，则点A的坐标为 考法2. 相似三角形的应用6（2023南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2

18、m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A6.4mB8mC9.6mD12.5m7（2023镇江）如图，用一个卡钳（ADBC，）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6cm，则AB等于 cm8（2023潍坊）在数书九章（宋秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上已知AC20米，CE10米，CD7米，EF1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度根据以上信息，塔的高度为 米【方法四】 成果评定法一、单选题1（2023春安

19、徽九年级专题练习）墨经最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是（）AB CD2（2023春安徽九年级专题练习）三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标是（ ）AB或C或D3（2022秋安徽蚌埠九年级统考阶段练习）如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若四边形与四边形的面积比为，则（）ABCD4（2022秋安徽安庆九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，以O为位似中心，与位似，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为()

20、ABCD5（2023秋安徽亳州九年级统考期末）如图，与的顶点都在格点上，且两个三角形位似，点A的坐标是，则位似中心的坐标是（）ABCD6（2022秋安徽亳州九年级统考期末）如图是赵师傅利用一块三角形的白铁皮剪成一块正方形铁皮备用在ABC中，BC120，高AD80，正方形EFGH的边GH在边BC上，E，F分别在边AB，AC上，则正方形EFGH的边长为（）A36B42C48D547（2023安徽宿州统考一模）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（）ABCD8（2023秋安徽滁州九年级校联考

21、期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（）ABCD9（2022秋安徽宣城九年级统考阶段练习）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（）ABCD10（2020秋安徽安庆九年级校考阶段练习）如图，圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面形成阴影，已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡距离地面，则地面上阴影部分面积为（）ABCD二、填空题11（2023秋安徽滁州九年级校考期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，

22、并且边与点在同一直线上已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，则树高为 12（2017安徽九年级专题练习）如图，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，相似比为，点的坐标为，则点的坐标是 13（2022秋安徽蚌埠九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 14（2022秋安徽阜阳九年级统考期中）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为若的周长为4，则的周长是 15（2020安徽合肥统考二模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与

23、矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 16（2022秋安徽合肥九年级统考期末）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为 17（2022秋安徽宿州九年级统考期末）如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC1m已知某一时刻BC在地面的影长CN1.5m，AC在地面的影长CM4.5m，则窗户的高度为 m18（2022秋安徽安庆九年级统考期中）如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米三、解答题19（

24、2022秋安徽宿州九年级校考阶段练习）如图，小树在路灯O的照射下形成投影若树高，树影，树与路灯的水平距离，求路灯的高度20（2022秋安徽蚌埠九年级统考阶段练习）铁血红安在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米请根据以上数据求出城楼的高度21（2022秋安徽宿州九年级统考期末）如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树（树与地面垂直）的高度，他调整自己的位置，设法使

25、斜边保持水平（即与地面平行），并且边与树顶B在同一直线上已知纸板的两条边，延长交于点C，测得边离地面的高度，求树高22（2022秋安徽六安九年级校考期中）如图在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为、(1)向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是_；(2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是_；（画出图形）23（2022秋安徽安庆九年级校考阶段练习）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置于是，他们做了以下尝试(1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有

26、一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为那么灯泡离地面的高度为多少(2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？24（2023秋安徽滁州九年级校联考期末）在的网格图中，已知和点(1)以点为位似中心，位似比为，画出放大后的位似图形；(2)写出的各顶点坐标(3)若点在内，则点的对应点的坐标为_25（2023秋安徽六安九年级统考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心得到的(1)画出以点为位似中心的位似图形；(2)与的相似比为_；(3)与的面积之比为_26（2023安徽合肥校考模拟预测）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积，之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在中，为斜边，分别以为斜边向外侧作，若，则面积，之间的关系式为 ；推广验证（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作任意，满足，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形中，点在上，求五边形的面积